Nghiệm nhỏ nhất của phương trình cosx=1
|
Phương pháp giải: - Sử dụng công thức \({\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x\), áp dụng hằng đẳng thức. - Đưa phương trình về dạng tích, giải phương trình tích. - Giải bất phương trình \(x > 0\), tìm các số nguyên \(k\) nhỏ nhất thỏa mãn, từ đó tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình. Giải chi tiết: Ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {2\sin x - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = {\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = 1 - {\cos ^2}x\\ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = \left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 - \cos x} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {2\sin x - \cos x - 1 + \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {2\sin x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - 1\\\sin x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pi + k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\) + Xét họ nghiệm \(x = \pi + k2\pi \). Ta có: \(x > 0 \Leftrightarrow \pi + k2\pi > 0 \Leftrightarrow k > - \dfrac{1}{2}\). \( \Rightarrow {k_{\min }} = 0 \Rightarrow {x_{\min }} = \pi \). + Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \). Ta có: \(x > 0 \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{6} + k2\pi > 0 \Leftrightarrow k > - \dfrac{1}{{12}}\). \( \Rightarrow {k_{\min }} = 0 \Leftrightarrow {x_{\min }} = \dfrac{\pi }{6}\). + Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \). Ta có: \(x > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi > 0 \Leftrightarrow k > - \dfrac{5}{{12}}\). \( \Rightarrow {k_{\min }} = 0 \Leftrightarrow {x_{\min }} = \dfrac{{5\pi }}{6}\). Xét ba nghiệm \(x = \pi ,\,\,x = \dfrac{\pi }{6},\,\,x = \dfrac{{5\pi }}{6}\) ta thấy nghiệm nhỏ nhất là \(x = \dfrac{\pi }{6}\). Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là \(x = \dfrac{\pi }{6}\). Chọn A.
Giai phương trình và tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình: Các câu hỏi tương tự
Nghiệm của phương trình cosx=12là:
A. x=±π2+k2π.
B.x=±π6+k2π.
C.x=±π4+kπ.
D.x=±π3+k2π. Đáp án chính xác
Xem lời giải
Quảng cáo + Để giải phương trình trên khoảng (a;b) ( hoặc trên đoạn) thì ta cần: • Bước 1. Tìm họ nghiệm của phương trình đã cho. • Bước 2. Giải bất phương trình: ⇒ Các giá trị nguyên của k=... ⇒ các nghiệm của phương trình trong khoảng ( đoạn ) đã cho. + Để giải bất phương trình có chứa điều kiện ta cần: • Bươc 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình ( nếu có). • Bước 2.Biến đổi phương trình đưa về phương trình lượng giác cơ bản • Bước 3. Giải phương trình lượng giác cơ bản • Bước 4. Kết hợp với điều kiện xác định ⇒ nghiệm của phương trình . Ví dụ 1. Số nghiệm của phương trình tanx= tan3π/11 trên khoảng( π/4;2π) là? A. 1 B.2 C. 3 D. 4 Lời Giải. Chọn B. Ta có tanx = tan(3π/11) ⇔ x=3π/11+kπ k∈Z Do x∈( π/4;2π) nên π/4 < 3π/11+kπ < 2π ⇔ 1/4 < 3/11+k < 2 ⇔ (- 1)/44 < k < 19/11 Mà k nguyên nên k ∈{ 0;1} Tương ứng với hai giá trị của k cho ta hai nghiệm của phương trình đã cho thỏa mãn điều kiện đề bài. Quảng cáo Ví dụ 2. Số nghiệm của phương trình: sin ( x- π/4)=(- 1)/√2 với là: A.1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải Chọn D Ta có: sin(x- π/4)=(- 1)/√2 ⇒ sin(x- π/4)=sin(- π/4)  + Xét họ nghiệm x = k2π với π ≤ x ≤ 5π ⇒ π ≤ k2π ≤ 5π ⇒ 1/2 ≤ x ≤ 5/2 Mà k nguyên nên k=1 hoặc k= 2 ⇒ Họ nghiệm này cho ta hai nghiệm thỏa mãn điều kiện . + Xét họ nghiệm x= 3π/2+k2π với π ≤ x ≤ 5π ⇒ π ≤ 3π/2+k2π ≤ 5π ⇒ 1/2 ≤ x ≤ 5/2 Vì k nguyên nên k∈{0;1}. ⇒ Họ nghiệm này cho ta hai nghiệm của x thỏa mãn điều kiện . Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm thỏa mãn điều kiện. Chọn D. Ví dụ 3. Số nghiệm của phương trình: cos(x+π/3)= √2/2 với 0 ≤ x ≤ 2π là: A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. Lời giải Chọn D Ta có: cos(x+π/3)= √2/2 ⇒ cos(x+π/3)= cos π/4 + Xét họ nghiệm: x= -π/12+k2π Để 0 ≤ x ≤ 2π thì 0 ≤ -π/12+k2π ≤ 2π ⇔ π/12 ≤ k2π ≤ 25π/12 ⇔ 1/24 ≤ k ≤ 25/24 Mà k nguyên nên k = 1 khi đó x= 23π/12 + Xét họ nghiệm x= -7π/12+k2π Để 0 ≤ x ≤ 2π thì 0 ≤ -7π/12+k2π ≤ 2π ⇔ 7π/12 ≤ k2π ≤ 31π/12 ⇔ 7/24 ≤ k ≤ 31/24 Mà k nguyên nên k = 1 khi đó x= 17π/12 Vậy phương trình có hai nghiệm 0 ≤ x ≤ 2π là: x= 23π/12 và x= 17π/12 Chọn B. Ví dụ 4. Tìm nghiệm của phương trình: tanx = 1 trên đoạn (0; 1800 ) A. 450; 1350 B. 1350 C. 450 D. Đáp án khác Lời giải Ta có; tanx = 1 ⇔ tanx = 450 ⇔ x= 450+ k.1800 với k∈ Z. +Để 00 < x < 1800 thì 00 < 450+ k. 1800 < 1800 ⇔ - 450 < k.1800 < 1350 ⇔ (- 45)/180 < k < 135/180 Mà k nguyên nên k= 1. Khi đó;x= 450 Vậy phương trình tanx= 1 có một nghiệm thuộc khoảng (00; 1800) Chọn C. Quảng cáo Ví dụ 5. Tìm tổng các nghiệm của phương trình cosx = sinx trên đoạn [0;π] A. 3π/4 B. π/2 C. π/4 D. Đáp án khác Lời giải Ta có: cosx = sinx ⇒ cos x= cos( π/2-x) ⇔ x= π/4+kπ Xét các nghiệm trên đoạn [0; π] ta có: 0 < π/4+kπ < π ⇔ - π/4 < kπ < 3π/4 ⇔ (- 1)/4 < k < 3/4 Mà k nguyên nên k= 0. Khi đó; x= π/4 Chọn C. Ví dụ 6. Cho phương trình sin( x+ π/6)= 1/2. Tìm tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn [0; π] A. π/6 B. π/3 C. x= 4π/3 D. x= 2π/3 Lời giải Ta có: sin( x+ π/6)= 1/2 ⇒ sin( x+ π/6)= sin π/6 + Xét họ nghiệm x= k2π. Ta có: 0 ≤ k2π ≤ π ⇒ 0 ≤ k ≤ 1/2 Mà k nguyên nên k= 0 . Khi đó; nghiệm của phương trình là x= 0 + Xét họ nghiệm x=2π/3+k2π . Ta có: 0 ≤ 2π/3+ k2π ≤ π ⇔ (- 2)/3 ≤ k ≤ 1/6 Mà k nguyên nên k= 0. Khi đó; x= 2π/3 Vậy trên đoạn [0; π] phương trình đã cho có 2 nghiệm là x= 0 và x= 2π/3 ⇒ Tổng hai nghiệm là 2π/3 Chọn D. Ví dụ 7. Cho phương trình tan ( x+ 450 )= √3. Tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng (900 ;3600 ) A. 1750 B.1950 C. 2150 D. Đáp án khác Lời giải Ta có: tan(x+ 450 ) = √3 ⇔ tan(x+ 450 ) = tan 600 ⇔ x+ 450 =600 + k.1800 < x= 150 +k.1800 Các nghiệm của phương trình trên khoảng (900 ; 3600 ) thỏa mãn: 900 < 150 + k.1800 < 3600 < 750 < k.1800 < 3450 < 75/180 < k < 345/180 Mà k nguyên nên k= 1 Với k = 1 ta có x= 1950 Chọn B. Ví dụ 8. Cho phương trình sinx = 0.Biết số nghiệm của phương trình trên khoảng (00; a0) là 3. Tìm điều kiện của a. A. a > 540 B. a > 360 C.a > 270 D. a > 630 Lời giải Ta có: sinx=0 ⇒ x= k.1800 với k nguyên Ta xét số nghiệm cua phương trình trên khoảng (00; a0) 00 < k.1800 < a0 ⇒ 0 < k < a/180 (1) Do phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm trên khoảng (00;a0) nên k∈{1;2;3} (2) Từ (1) và (2) suy ra: a/180 > 3 ⇔ a > 540 Vậy điều kiện của a là a > 540. Chọn A. Ví dụ 9. Cho phương trình tan(x+ π/3) = √3. Tìm số nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng ( 0; 6π ) . A. 3 B.4 C. 5 D. 6 Lời giải Ta có: tan(x+ π/3) = √3 ⇔ tan(x+ π/3) = tan π/3 ⇒ x+ π/3= π/3+kπ ⇒ x= kπ với k nguyên Xét các nghiệm của phương trình trên khoảng ( 0; 6π) thỏa mãn: 0 < kπ < 6π < ⇒ 0 < k < 6 Do k nguyên nên k∈{ 1;2;3;4;5} Vậy số nghiệm của phương trình đã cho trên(0; 6π) là 5. Chọn C. Ví dụ 10. Cho phương trình cos(x+ 300) = cos( x + 900) . Tính số nghiệm của phương trình trên đoạn [1800; 6300] A.3 B.2 C. 4 D. 5 Lời giải Ta có: cos(x+ 300) = cos(x+ 900) Các nghiệm của phương trình trên đoạn[ 1800; 6300] thỏa mãn: ⇔ 1800 ≤ 300+k1800 ≤ 6300 ⇔ 1500 ≤ k1800 ≤ 6000 ⇔ 5/6 ≤ k ≤ 10/3 Mà k nguyên nên k∈ { 1; 2; 3} Vậy số nghiệm của phương trình đã cho trên [1800; 6300] là 3 Chọn A. Ví dụ 11. Cho phương trình cot(x- 300) = tanx. Tìm số nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng ( - 2700; 00) A.4 B. 3 C. 5 D.2 Lời giải Ta có: cot(x- 300)= tanx ⇔ cot( x- 300) =cot( 900- x) ⇔ x- 300 = 900 – x+ k.1800 ⇔ 2x= 1200 + k.1800 ⇔ x= 600 + k. 1800 Các nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng (-2700; 00) thỏa mãn: - 2700 < 600+ k.1800 < 00 ⇔ -3300 < k.1800 < - 600 ⇔ (- 33)/18 < k < (-1)/3 Mà k nguyên nên k∈ {-2; -1} Vậy có hai nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng( -2700; 00) Chọn D. Ví dụ 12. Cho phương trình: √3cosx+m-1=0. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm: A.m < 1-√3 . B.m > 1+√3 . C.1-√3≤ m ≤1+√3 . D. -√3 ≤m≤ √3 . Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: Ta có: Câu 1:Cho phương trình √6 sinx- (3√2)/2=0 . Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( 0; 4π) ? A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
mà k nguyên nên k =0 hoặc 1. + Tương tự; có 0 < 2π/3+k2π < 4π nên (-2π)/3 < k2π < 10π/3 ⇒ (- 2)/6 < k < 10/6, mà k nguyên nên k =0 hoặc 1. ⇒ Phương trình đã cho có tất cả bốn nghiệm trên khoảng (0; 4π) Chọn A. Câu 2:Cho phương trình sin(x+ 100) = cos( x- 200). Tìm số nghiêm của phương trình trên khoảng (900 ; 3600)? A.0 B.1 C.2 D.4
Ta có: sin(x+100) = cos(x-200) ⇔ sin(x+100) = sin (900- x+ 200) ⇔ sin (x+100) = sin (1100- x) Ta có: 900 < 500+ k.1800 < 3600 ⇔ 400 < k.1800 < 3100 ⇒ 4/18 < k < 31/18 Mà k nguyên nên k= 1. ⇒ Trên khoảng (900;3600) phương trình đã cho có đúng một nghiệm. Chọn B. Câu 3:Tìm số nghiệm của phương trình sinx= cos ( 2x- 300) trên khoảng ( 600; 3600) A.0 B.2 C.3 D.1
Lời giải Ta có: sinx= cos( 2x- 300) ⇔ cos ( 900- x) =cos (2x- 300) + khi đó: 600 < 400 – k.3600 < 3600 ⇔ 200 < - k.3600 < 3200 ⇔ (-32)/36 < k < (- 1)/18 Mà k nguyên nên không có giá trị nguyên nào của k thỏa mãn. + Tương tự; 600 < -600 + k.3600 < 3600 ⇔ 1200 < k.3600 < 4200 ⇔ 1/3 < k < 7/6 Mà k nguyên nên k= 1. ⇒ Phương trình đã cho có đúng một nghiệm thuộc khoảng (600;3600) Chọn D. Câu 4: Cho phương trình: √6 cot(π/2-x)+ √2=0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( π;4π) ? A. 2 B.3 C .4 D. 5
Ta có: √6 cot(π/2-x)+ √2=0 ⇔ √6.tanx+ √2=0 ⇔ tanx= (- 1)/√3 = tan (-π)/6 ⇔ x= (-π)/6+kπ + khi đó; π < (-π)/6+kπ < 4π ⇔ 7π/6 < kπ < 25π/6 ⇔ 7/6 < k < 25/6 Mà k nguyên nên k∈ { 2;3;4}. ⇒ phương trình đã cho có 3 nghiệm thuộc khoảng (π;4π). Chọn B. Câu 5:Phương trình cosx= m+ 1 có nghiệm khi m là A.-1≤m≤1 . B.m≤0 . C.m≥-2 . D.-2≤m≤0 .
Chọn D. Áp dụng điều kiện nghiệm của phương trình cosx=a + Phương trình có nghiệm khi + Phương trình có nghiệm khi Ta có phương trình cosx = m+ 1 có nghiệm khi và chỉ khi: Câu 6:Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của phương trình sin4x + cos5x=0 theo thứ tự là: A. B. C. D.
Chọn C. sin4x + cos5x=0 ⇒ cos5x=-sin4x Với nghiệm x=π/2+k2π ta có nghiệm âm lớn nhất và nhỏ nhất là -3π/2 và π/2 Với nghiệm x=-π/18 + k2π/9 ta có nghiệm âm lớn nhất và nhỏ nhất là -π/18 và π/6 Vậy hai nghiệm theo yêu cầu đề bài là -π/18 và π/6 Câu 7:Tìm tổng các nghiệm của phương trình trên A. 7π/18 B. 4π/18 C. 47π/8 D. 47π/18
Ta có: sin(5x+ π/3)=cos(2x- π/3) Suy ra các nghiệm: x=11π/18 Vậy tổng các nghiệm là: 47π/18 . Chọn D. Câu 8:Trong nửa khoảng , phương trình cos2x+ sinx=0 có tập nghiệm là A. B. C. D.
Chọn D. Câu 9:Cho phương trình sinx + √3.sin π/6=0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( 4π;10π) ? A. 5 B. 6 C. 7 D . 4 Lời giải
Ta có: sinx + √3.sin π/6=0 ⇒ sinx + √3.1/2=0 ⇔ sin x= (- √3)/2=sin (-π)/3 + Ta có: 4π < (-π)/3+k2π < 10π ⇔ 13π/3 < k2π < 31π/3 ⇔ 13/6 < k < 31/6 Mà k nguyên nên k∈ { 3; 4; 5} + Tương tự; ta có: 4π < 4π/3+k2π < 10π ⇔ 8π/3 < k2π < 26π/3 ⇔ 4/3 < k < 13/3 Mà k nguyên nên k∈ {2; 3;4} Kết hợp cả hai trường hợp; suy ra phương trình đã cho có tất cả 6 nghiệm trên khoảng (4π;10π) . Chọn B. Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. |
