=> Tham khảo Giải toán lớp 11 tại đây: Giải Toán lớp 11
Giải câu 1 đến 6 trang 57, 58 SGK môn Toán lớp 11
- Giải câu 1 trang 57 SGK Toán lớp 11 đại số và giải tích
- Giải câu 2 trang 58 SGK Toán lớp 11 đại số và giải tích
- Giải câu 3 trang 58 SGK Toán lớp 11 đại số và giải tích
- Giải câu 4 trang 58 SGK Toán lớp 11 đại số và giải tích
- Giải câu 5 trang 58 SGK Toán lớp 11 đại số và giải tích
- Giải câu 6 trang 58 SGK Toán lớp 11 đại số và giải tích
Ngoài nội dung ở trên, các em có thể tìm hiểu thêm phần Giải bài tập trang 33, 35, 36 SGK Hình Học 11 để nâng cao kiến thức môn Đại Số và Giải Tích 11 của mình.
Chi tiết nội dung phần Giải bài tập trang 54, 55 SGK Đại Số và Giải Tích 11 đã được hướng dẫn đầy đủ để các em tham khảo và chuẩn bị nhằm ôn luyện môn Đại Số và Giải Tích 11 tốt hơn.
Bài hướng dẫn Giải bài tập trang 57, 58 SGK Đại Số và Giải Tích 11 trong mục giải bài tập toán lớp 11. Các em học sinh có thể xem lại phần Giải bài tập trang 54, 55 SGK Đại Số và Giải Tích 11 đã được giải trong bài trước hoặc xem trước hướng dẫn Giải bài tập trang 59, 60 SGK Hình học 11 để học tốt môn Toán lớp 11 hơn.
Giải bài tập trang 57, 58 SGK Đại Số và Giải Tích 11 là bài học với đầy đủ những nội dung kiến thức hữu ích về nhị thức Niu- tơn cùng với hướng dẫn giải bài tập khá cụ thể và rõ ràng. Các bạn hãy cùng theo dõi tài liệu để ứng dụng cho quá trình giải toán lớp 11 dễ dàng và hiệu quả hơn nhé
Giải bài tập trang 57, 58 SGK Toán 3 Tập 1, sách Cánh Diều Giải bài tập trang 57, 58 SGK Toán 3 Tập 1, sách Chân trời sáng tạo Giải bài tập trang 92 SGK Đại Số và Giải Tích 11 Giải bài tập trang 17, 18 SGK Đại Số và Giải Tích 11 Giải Toán 11 trang 40, 41 Giải Bài 4 Trang 58 SGK Toán 5
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 2
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 3
Bài 1 trang 63 sgk đại số và giải tích 11
Bài 1. Gieo một đồng tiền ba lần:
a] Mô tả không gian mẫu.
b] Xác định các biến cố:
A: "Lần đầu xuất hiện mặt sấp";
B: "Mặt sấp xảy ra đúng một lần";
C: "Mặt ngửa xảy ra ít nhất một lần".
Bài giải:
Không gian [KG] mẫu: gồm \[8\] phần tử
\[ Ω=\]{SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN}.
Trong đó SSS là kết quả "ba lần gieo đồng tiền xuất hiện mặt sấp"; NSS là kết quả "lần đầu đồng tiền xuất hiện mặt ngửa, lần thứ 2, lần thứ 3 xuất hiện mặt sấp"
b]
\[A\] = {SSS, SSN, SNS, SNN},
\[B\] = {SNN, NSN, NNS},
\[C\] = {SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN} = \[Ω\backslash \]{SSS}.
Bài 2 trang 63 sgk đại số và giải tích 11
Bài 2. Gieo một con súc sắc hai lần.
a] Mô tả không gian mẫu.
b] Phát biểu các biến cố sau dười dạng mệnh đề:
\[A\] = {[6, 1], [6, 2], [6, 3], [6, 4], [6, 5], [6, 6]};
\[B\] = {[2, 6], [6, 2], [3, 5], [5, 3], [4, 4]};
\[C\] = {[1, 1], [2, 2], [3, 3], [4, 4], [5, 5], [6, 6]}.
Bài giải:
Phép thử \[T\] được xét là: "Gieo một con súc sắc hai lần".
a] Các phần tử của không gian mẫu của phép thử \[T\] được liệt kê trong bảng sau đây.
Trong bảng này, cột I là các mặt \[i\] chấm có thể xảy ra ở lần gieo thứ nhất, \[i = \overline {1,6} \]
Dòng II [dòng trên cùng] là các mặt \[j\] chấm có thể xảy ra ở lần gieo thứ 2, \[j= \overline {1,6} \]. Mỗi ô \[[i, j]\] [giao của dòng \[i\] và cột \[j\], \[1 ≤ i, j ≤ 6\]] biểu thị một kết quả có thể có của phép thử \[T\] là: lần gieo thứ nhất ra mặt \[i\] chấm, lần gieo thứ 2 ra mặt \[j\] chấm.
Không gian mẫu:
Ta có thể mô tả không gian mẫu dưới dạng như sau:
\[\Omega = \left\{ {[i,j]|i,j = 1,2,3,4,5,6} \right\}\]
ở đó \[[i, j]\] là kết quả: " Lần đầu xuất hiện mặt \[i\] chấm, lần sau xuất hiện mặt \[j\] chấm".
Không gian mẫu có \[36\] phần tử.
b]
\[A\] = "Lần gieo đầu được mặt \[6\] chấm";
\[B\] = "Tổng số chấm trong hai lần gieo là \[8\]";
\[C\] = "Kết quả ở hai lần gieo là như nhau".
Bài 3 trang 63 sgk đại số và giải tích 11
Một hộp chứa bốn cái thẻ được đánh số \[1, 2, 3, 4\]. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ.
a] Mô tả không gian mẫu.
b] Xác định các biến cố sau.
\[A\]: "Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn";
\[B\]: "Tích các số trên hai thẻ là số chẵn".
Bài giải:
Phép thử \[T\] được xét là: "Từ hộp đã cho, lấy ngẫu nhiên hai thẻ".
a] Đồng nhất mỗi thẻ với chữ số ghi trên thẻ đó, ta có: Mỗi một kết quả có thể có các phép thử là một tổ hợp chập \[2\] của \[4\] chữ số \[1, 2, 3, 4\]. Do đó, số phần tử của không gian mẫu là \[C_4^2 = 6\], và không gian mẫu gồm các phần tử sau:
\[Ω\] = \[\left\{{[1, 2], [1, 3], [1, 4], [2, 3], [2, 4], [3, 4]}\right\}\].
b]
\[A\] = \[\left\{{[1, 3], [2, 4]}\right\}\].
\[B \]=\[\left\{{ [1, 2], [1, 4], [2, 3], [2, 4], [3, 4]}\right\} = Ω \setminus\left\{{[1, 3]}\right\}\].
Bài 4 trang 64 sgk đại số và giải tích 11
Hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Kí hiệu \[A_k\] là biến cố: "Người thứ \[k\] bắn trúng", \[k = 1, 2\].
a] Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố \[A_1 A_2\] :
\[A\]: "Không ai bắn trúng";
\[B\]: "Cả hai đểu bắn trúng";
\[C\]: "Có đúng một người bắn trúng";
\[D\]: "Có ít nhất một người bắn trúng".
b] Chứng tỏ rằng \[A\] = \[\overline{D}\]; \[B\] và \[C\] xung khắc.
Bài giải:
Phép thử \[T\] được xét là: "Hai xạ thủ cùng bắn vào bia".
Theo đề ra ta có \[\overline{A_{k}}\] = "Người thứ \[k\] không bắn trúng", \[k = 1, 2\]. Từ đó ta có:
a] \[A\] = "Không ai bắn trúng" = "Người thứ nhất không bắn trúng và người thứ hai không bắn trúng". Suy ra
\[A\] = \[\overline{A_{1}}\] . \[\overline{A_{2}}\].
Tương tự, ta có \[B\] = "Cả hai đều bắn trúng" = \[A_{1}\] . \[A_{2}\].
Xét \[C\] = "Có đúng một người bắn trúng", ta có \[C\] là hợp của hai biến cố sau:
"Người thứ nhất bắn trúng và người thứ hai bắn trượt" =\[ A_1\] . \[\overline{A_{2}}\].
"Người thứ nhất bắn trượt và người thứ hai bắn trúng" = \[\overline{A_{1}}\] .\[ A_2\] .
Suy ra \[C = A_1\]. \[\overline{A_{2}}\] ∪ \[\overline{A_{1}}\] . \[A_2\] .
Tương tự, ta có \[D = A_1 ∪ A_2\] .
b] Gọi \[\overline{D}\] là biến cố: " Cả hai người đều bắn trượt". Ta có
\[\overline{D}\] = \[\overline{A_{1}}\] . \[\overline{A_{2}}\] = \[A\].
Hiển nhiên \[B ∩ C =\phi \] nên suy ra \[B\] và \[C\] xung khắc với nhau.
Giaibaitap.me
Page 4
Bài 5 trang 64 sgk đại số và giải tích 11
Từ một hộp chứa \[10\] cái thẻ, trong đó các thẻ đánh số \[1, 2, 3, 4, 5\] màu đỏ, thẻ đánh số \[6\] màu xanh và các thẻ đánh số \[7, 8, 9, 10\] màu trắng. Lấy ngẫu nhiên một thẻ.
a] Mô tả không gian mẫu.
b] Kí hiệu \[A, B, C\] là các biến cố sau:
\[A\]: "Lấy được thẻ màu đỏ";
\[B\]: "Lấy được thẻ màu trằng";
\[C\]: "Lấy được thẻ ghi số chẵn".
Hãy biểu diễn các biến cố \[A, B, C\] bởi các tập hợp con tương ứng của không gian mẫu.
Bài giải:
Phép thử \[T\] được xét là: "Từ hộp đã cho, lấy ngẫu nhiên một thẻ".
a] Không gian mẫu được mô tả bởi tập
\[Ω = \left\{{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}\right\}\].
b]
\[A = \left\{{1, 2, 3, 4, 5}\right\}\];
\[B = \left\{{7, 8, 9, 10}\right\}\];
\[C = \left\{{2, 4, 6, 8, 10}\right\}\].
Bài 6 trang 64 sgk đại số và giải tích 11
Gieo một đồng tiền liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp hoặc cả bốn lần ngửa thì dừng lại.
a] Mô tả không gian mẫu.
b] Xác định các biến cố:
\[A\] = "Số lần gieo không vượt quá ba";
\[B\] = "Số lần gieo là bốn".
Bài giải:
a] Không gian mẫu của phép thử đã cho là:
\[Ω = \left\{{S,NS, NNS, NNNS, NNNN}\right\}\].
b]
\[A = \left\{{S, NS, NNS}\right\}\];
\[B = \left\{{NNNS, NNNN}\right\}\].
Bài 7 trang 64 sgk đại số và giải tích 11
Từ một hộp chứa năm quả cầu được đánh số \[1, 2, 3, 4, 5\], lấy ngẫu nhiên liên tiếp hai lần mỗi lần một quả và xếp theo thứ tự từ trái sang phải.
a] Mô tả không gian mẫu.
b] Xác định các biến cố sau:
\[A\]: "Chữ số sau lớn hơn chữ số trước";
\[B\]: "Chữ số trước gấp đôi chữ số sau";
\[C\]: "Hai chữ số bằng nhau".
Bài giải:
Phép thử \[T\] được xét là: "Từ hộp đã cho, lấy ngẫu nhiên liên tiếp hai lần mỗi lần một quả và xếp theo thứ tự từ trái qua phải".
a] Mỗi một kết quả có thể có của phép thử \[T\] là một chỉnh hợp chập \[2\] của \[5\] quả cầu đã được đánh số \[1, 2, 3, 4, 5\]. Do đó số các kết quả có thể có của phép thử \[T\] là
\[A_5^2 = 20\], và không gian mẫu của phép thử \[T\] bao gồm các phần tử sau:
\[Ω\] = {[1, 2], [2, 1], [1, 3], [3, 1], [1, 4], [4, 1], [1, 5], [5, 1], [2, 3], [3, 2], [2, 4], [4, 2], [2, 5], [5, 2], [3, 4], [4, 3], [3, 5], [5, 3], [4, 5], [5, 4]},
trong đó \[[i, j]\] là kết quả: "Lần đầu lấy được quả cầu đánh số \[j\] [xếp bên phải]",
\[1 ≤ i, j ≤ 5\].
b]
\[A\] = {[1, 2], [1, 3], [1, 4], [1, 5], [2, 3], [2, 4], [2, 5], [3, 4], [3, 5], [4, 5]};
\[B\] = {[2, 1], [4, 2]};
\[C\] = \[\phi \].
Giaibaitap.me
Page 5
Bài 1 trang 74 sgk đại số và giải tích 11
Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần.
a] Hãy mô tả không gian mẫu.
b] Xác định các biến cố sau:
A: "Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn \[10\]";
B: "Mặt \[5\] chấm xuất hiện ít nhất một lần".
c] Tính \[P[A], P[B]\].
Bài giải:
Phép thử \[T\] được xét là "Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần".
a] \[Ω = \left\{{[i, j] \mid i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6}\right\}\].
Số phần tử của không gian mẫu là \[n[Ω] = 36\].
Do tính đối xứng của con súc sắc và tính độc lập của mỗi lần gieo suy ra các kết quả có thể có của phép thử \[T\] là đồng khả năng.
b]
\[A\] = {[6, 4], [4, 6], [5, 5], [6, 5], [5, 6], [6, 6]},
\[B\] = {[1, 5], [2, 5], [3, 5], [4, 5], [5, 5], [6, 5], [5, 1], [5, 2], [5, 3], [5, 4], [5, 6]}.
c] \[P[A]\] = \[\frac{6}{36}\] = \[\frac{1}{6}\]; \[P[B]\] = \[\frac{11}{36}\].
Bài 2 trang 74 sgk đại số và giải tích 11
Có bốn tấm bìa được đánh số từ \[1\] đến \[4\]. Rút ngẫu nhiên ba tấm.
a] Hãy mô tả không gian mẫu.
b] Xác định các biến cố sau:
\[A\]: "Tổng các số trên ba tấm bìa bằng \[8\]";
\[B\]: "Các số trên ba tấm bìa là ba số tự nhiên liên tiếp".
c] Tính \[P[A], P[B]\].
Bài giải:
Phép thử \[T\] được xét là: "Từ bốn tấm bìa đã cho, rút ngẫu nhiên ba tấm".
a] Đồng nhất số \[i\] với tấm bìa được đánh số \[i\] = \[\overline{1,4}\], ta có: mỗi một kết quả có thể có của phép thử \[T\] là một tổ hợp chập \[3\] của \[4\] số \[1, 2, 3, 4\]. Do đó không gian mẫu là:
\[Ω = \left\{{[1, 2, 3], [1, 2, 4], [1, 3, 4], [2, 3, 4]}\right\}\].
Số phần tử của không gian mẫu là \[n[Ω] = C_4^3 = 4\].
Vì lấy ngẫu nhiên, nên các kết quả có thể có của phép thử \[T\] là đồng khả năng.
b] \[A = \left\{{[1, 3, 4]}; B = {[1, 2, 3], [2, 3, 4]}\right\}\]
c] \[P[A] \]= \[\frac{1}{4}\];\[ P[B]\] =\[\frac{2}{4}\] = \[\frac{1}{2}\].
Bài 3 trang 74 sgk đại số và giải tích 11
Một người chọn ngẫu nhiên hai chiếc giày từ bốn đôi giày cỡ khác nhau.
Tính xác suất để hai chiếc chọn được tạo thành một đôi.
Bài giải:
Phép thử \[T\] được xét là: "Lấy ngẫu nhiên \[2\] chiếc giày từ \[4\] đôi giày có cỡ khác nhau".
Mỗi một kết quả có thể là một tổ hợp chập \[2\] của \[8\] chiếc giày. Do đó số các kết quả có thể có thể có của phép thử \[T\] là \[n[Ω] = C_8^2\] = \[\frac{8!}{2!6!}= 28\].
Vì lấy ngẫu nhiên, nên các kết quả có thể có của phép thử \[T\] là đồng khả năng. Gọi \[A\] là biến cố: "Lấy được hai chiếc giày tạo thành một đôi". Mỗi một kết quả có thể có thuận lợi cho \[A\] là một đôi giày trong \[4\] đôi giày đã cho. Do đó số các kết quả có thể có thuận lợi cho \[A\] là \[n[A] = 4\]. Suy ra \[P[A] \]= \[\frac{4}{28}\] = \[\frac{1}{7}\].
Bài 4 trang 74 sgk đại số và giải tích 11
Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt \[b\] chấm. Xét phương trình \[x^2 + bx + 2 = 0\]. Tính xác suất sao cho:
a] Phương trình có nghiệm
b] Phương trình vô nghiệm.
c] Phương trình có nghiệm nguyên.
Bài giải:
Không gian mẫu là \[Ω = \left\{{1, 2, 3, 4, 5, 6}\right\}\]. Số kết quả có thế có thể có là \[6\] [hữu hạn]; các kết quả đồng khả năng.
Ta có bảng:
| b | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ∆ = b2 - 8 | -7 | -4 | 1 | 8 | 17 | 28 |
a] Phương trình \[x^2 + bx + 2 = 0\] có nghiệm khi và chỉ khi \[∆ = b^2 - 8 ≥ 0\] [*]. Vì vậy nếu \[A\] là biến cố: "Xuất hiện mặt \[b\] chấm sao cho phương trình \[x^2 + bx + 2 = 0\] có nghiệm"
thì \[A =\left\{{3, 4, 5, 6}\right\}, n[A] = 4\] và
\[P[A]\] = \[\frac{4}{6}\] = \[\frac{2}{3}\].
b] Biến cố \[B\]: "Xuất hiện mặt \[b\] chấm sao cho phương trình \[x^2 + bx + 2 = 0\] vô nghiệm" là biến cố \[A\], do đó theo qui tắc cộng xác suất ta có
\[P[B] = 1 - P[A]\] = \[\frac{1}{3}\].
c] Nếu \[C\] là biến cố: "Xuất hiện mặt \[b\] chấm sao cho phương trình \[x^2 + bx + 2 = 0\] có nghiệm nguyên" thì \[C = \left\{{3}\right\}\], vì vậy
\[P[C]\] = \[\frac{1}{6}\].
Giaibaitap.me
Page 6
Bài 5 trang 74 sgk đại số và giải tích 11
Từ cỗ bài tứ lơ khơ \[52\] con, rút ngẫu nhiên cùng một lúc bốn con. Tính xác suất sao cho:
a] Cả bốn con đều là át;
b] Được ít nhất một con át;
c] Được hai con át và hai con \[K\].
Bài giải:
Phép thử \[T\] được xét là: "Từ cỗ bài tú lơ khơ \[52\] con bài, rút ngẫu nhiên \[4\] con bài".
Mỗi kết quả có thể có là một tổ hợp chập \[4\] của \[52\] con bài. Do đó số các kết quả có thể có của phép thử \[T\] là \[n[Ω] =C_{52}^4\] = \[\frac{52!}{4!48!} = 270725\].
Vì rút ngẫu nhiên nên các kết quả có thể có là đồng khả năng.
a] Gọi biến cố \[A\]: "Rút được bốn con át". Ta có, số kết quả có thể có thuận lợi cho \[A\] là \[n[A] = 1\]. Suy ra \[P[A]\] = \[\frac{1}{270725}\] \[≈ 0,0000037\].
b] Gọi biến cố \[B\]: "Rút được ít nhất một con át". Ta có
\[\overline{B}\] = "Rút được \[4\] con bài đều không là át". Mỗi kết quả có thể thuận lợi cho \[\overline{B}\] là một tổ hợp chập \[4\] của \[48\] con bài không phải là át. Suy ra số các kết quả có thể có thuận lợi cho \[\overline{B}\] là \[C_{48}^4\]= \[\frac{48!}{4!44!}\] = \[194580\]. Suy ra \[P\][\[\overline{B}\]] = \[\frac{194580}{270725}\] \[≈ 0,7187\].
Qua trên ta có \[P[B] = 1\] - P[\[\overline{B}\]] \[≈ 0,2813\].
c] Gọi \[C\] là biến cố: "Rút được hai con át và hai con \[K\]".
Mỗi kết quả có thể có thuận lợi cho \[C\] là một tổ hợp gồm \[2\] con át và \[2\] con K. Vận dụng quy tắc nhân tính được số các kết quả có thể có thuận lợi cho \[C\] là
\[n[C] = C_4^2.C_4^2 = 6 . 6 = 36\].
Suy ra \[P[C]\] = \[\frac{36}{270725}\] \[≈ 0,000133\].
Bài 6 trang 74 sgk đại số và giải tích 11
Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau. Tính xác suất sao cho:
a] Nam, nữ ngồi đối diện nhau;
b] Nữ ngồi đối diện nhau.
Bài giải:
Mỗi cách xếp \[4\] bạn vào \[4\] chỗ ngồi là một hoán vị của \[4\] phần tử, vì vậy không gian mẫu có \[4! = 24\] phần tử.
a] Trước hết ta tính số cách xếp chỗ cho \[4\] bạn sao cho nam, nữ không ngồi đối diện nhau. Trong các cách xếp chỗ như vậy thì \[2\] nữ phải ngồi đối diện nhau, \[2\] nam cũng ngồi đối diện nhau. Trong các cách xếp chỗ như vậy thì \[2\] nữ phải ngồi đối diện nhau, \[2\] nam cũng phải ngồi đối diện nhau. Có \[4\] chỗ để cho bạn nữ thứ nhất chọn, với mỗi cách chọn chỗ của bạn nữ thứ nhất chỉ có duy nhất một chỗ [đối diện] cho bạn nữ thứ hai chọn. Sau khi bai bạn nữ đã chọn chỗ ngồi [đối diện nhau] thì còn lại \[2\] chỗ [đối diện nhau] để xếp cho \[2\] bạn nam và có \[2!\] cách xếp chỗ cho \[2\] bạn này. Vi vậy theo quy tắc nhân, tất cả có \[4 . 1 .2! = 8\] cách xếp chỗ cho nam nữ không ngồi đối diện nhau. Do đó có \[[8\] kết quả không thuận lợi cho biến cố \[A\]: "Nam, nữ ngồi đối diện nhau". Do đó có \[8\] kết quả không thuận lợi cho biến cố \[A\]: "Nam, nữ ngồi đối diện nhau". Vậy xác suất xảy ra biến cố đối của \[A\] là \[P\][\[\overline{A}\]] = \[\frac{8}{24}\] = \[\frac{1}{3}\]. Theo quy tắc cộng xác suất ta có \[P[A] = 1 - P\][\[\overline{A}\]] = \[\frac{2}{3}\].
b] Vì chỉ có \[4\] người: \[2\] nam và \[2\] nữ nên nếu \[2\] nữ ngồi đối diện nhau thì \[2\] nam cũng ngồi đối diện nhau. Do đó \[\overline{A}\] cũng là biến cố: "Nữ ngồi đối diện nhau". Xác suất xảy ra biến cố này là \[P\][\[\overline{A}\]] = \[\frac{1}{3}\].
Bài 7 trang 75 sgk đại số và giải tích 11
Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa \[6\] quả trắng, \[4\] quả đen. Hộp thứ hai chứa \[4\] quả trắng, \[6\] quả đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu:
\[A\] là biến cố: "Quả lấy từ hộp thứ nhất trắng";
\[B\] là biến cố: "Quả lấy từ hộp thứ hai trắng".
a] Xét xem \[A\] và \[B\] có độc lập không.
b] Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu.
c] Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra khác màu.
Bài giải:
Phép thử \[T\] được xét là: "Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả cầu".
Mỗi một kết quả có thể có của phép thử \[T\] gồm hai thành phần là: \[1\] quả cầu của hộp thứ nhất và \[1\] quả cầu của hộp thứ \[2\].
Có \[10\] cách để lấy ra \[1\] quả cầu ở hộp thứ nhất và có \[10\] cách để lấy \[1\] quả cầu ở hộp thứ \[2\]. Từ đó, vận dụng quy tắc nhân ta tìm được số các cách để lập được một kết quả có thể có của hai phép thử \[T\] là \[10 . 10 = 100\]. Suy ra số các kết quả có thể có của phép thử \[T\] là \[n[Ω] = 100\].
Vì lấy ngẫu nhiên nên các kết quả có thể có của phép thử \[T\] là đồng khả năng.
Xét biến cố \[A\]: "Quả cầu lấy từ hộp thứ nhất có màu trắng".
Mỗi một kết quả có thể có thuận lợi cho \[A\] gồm \[2\] thành phần là: \[1\] quả cầu trắng ở hộp thứ nhất và \[1\] quả cầu [nào đó] ở hộp thứ \[2\]. Vận dụng quy tắc nhân ta tìm được số các kết quả có thể có thuận lợi cho \[A\] là: \[n[A] = 6 . 10 = 60\].
Suy ra \[P[A] \]= \[\frac{60}{100}\] = \[0,6\].
Xét biến cố \[B\]: "Quả cầu lấy từ hộp thứ hai có màu trắng".
Tương tự như trên ta tìm được số các kết quả có thể thuận lợi cho \[B\] là:
\[n[B] = 10 . 4 = 40\].
Từ đó suy ra \[P[B]\] = \[\frac{40}{100}\] = \[0,4\].
a] Ta có \[A . B\] là biến cố: "Lấy được \[1\] cầu trắng ở hộp thứ nhất và \[1\] cầu trắng ở hộp thứ hai". Vận dụng quy tắc nhân ta tìm được số các kết quả có thể có thuận lợi cho \[A . B\] là:
\[6 . 4 =24\]. Suy ra:
\[P[A . B]\] = \[\frac{24}{100}\] = \[0,24 = 0,6 . 0,4 = P[A] . P[B]\].
Như vậy, ta có \[P[A . B] = P[A] . P[B]\]. Suy ra \[A\] và \[B\] là hai biến cố độc lập với nhau.
b] Gọi \[C\] là biến cố: "Lấy được hai quả cầu cùng màu". Ta có
\[C = A . B\] + \[\overline{A}\] . \[\overline{B}\].
Trong đó \[\overline{A}\] = "Quả cầu lấy từ hộp thứ nhất có màu đen" và \[P\][\[\overline{A}\]] = \[0,4\].
\[\overline{B}\]: "Quả cầu lấy từ hộp thứ hai có màu đen" và P[\[\overline{B}\]] = \[0,6\].
Và ta có \[A . B\] và \[\overline{A}\] . \[\overline{B}\] là hai biến cố xung khắc với nhau.
\[A\] và \[B\] độc lập với nhau, nên \[\overline{A}\] và \[\overline{B}\] cũng độc lập với nhau.
Qua trên suy ra;
\[P[C]\] = \[P\][\[A . B\] + \[\overline{A}\] . \[\overline{B}\]] = \[P[A . B]\] + \[P\][ \[\overline{A}\] . \[\overline{B}\]] = \[P[A] . P[B]\] + \[P\][\[\overline{A}\]] . \[P\][\[\overline{B}\]]
= \[0,6 . 0,4 + 0,4 . 0,6 = 0,48\].
c] Gọi \[D\] là biến cố: "Lấy được hai quả cầu khác màu". Ta có
\[D\] = \[\overline{C}\] \[=> P[D] = 1 - P[C] = 1 - 0,48 = 0,52\].
Giaibaitap.me
Page 7
Bài 1 trang 82 sách đại số và giải tích 11
Chứng minh rằng với \[n \in {\mathbb N}^*\], ta có đẳng thức:
a] \[2 + 5+ 8+.... + 3n - 1 =\frac{n[3n+1]}{2}\];
b] \[ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{n}}=\frac{2^{n}-1}{2^{n}}\];
c] \[{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}= \frac{n[n+1][2n+1]}{6}\]
Hướng dẫn giải
a] Với \[n = 1\], vế trái chỉ có một số hạng là \[2\], vế phải bằng \[ \frac{1.[3.1+1]}{2} = 2\]
Vậy hệ thức a] đúng với \[n = 1\].
Đặt vế trái bằng \[S_n\]
Giả sử đẳng thức a] đúng với \[n = k ≥ 1\], tức là
\[S_k=2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 = \frac{k[3k+1]}{2}\]
Ta phải chứng minh rằng a] cũng đúng với \[n = k + 1\], nghĩa là phải chứng minh
\[S_{k+1}= 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + [3[k + 1] – 1] = \frac{[k+1][3[k+1]+1]}{2}\]
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: \[{S_{k + 1}} = {\rm{ }}{S_k} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}2\] = \[ \frac{k[3k+1]}{2} + 3k + 2\]
= \[ \frac{3k^{2}+k+6k+4}{2}\] \[ =\frac{3[k^{2}+2k+1]+k+1}{2}=\frac{[k+1][3[k+1]+1]}{2}\] [điều phải chứng minh]
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức a] đúng với mọi \[n \in {\mathbb N}^*\]
b] Với \[n = 1\], vế trái bằng \[ \frac{1}{2}\], vế phải bằng \[ \frac{1}{2}\], do đó hệ thức đúng.
Đặt vế trái bằng \[S_n\].
Giả sử hệ thức b] đúng với \[n = k ≥ 1\], tức là \[ S_{k}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{k}}=\frac{2^{k}-1}{2^{k}}\]
Ta phải chứng minh \[ S_{k+1}=\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}\].
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: \[ S_{k+1}=S_{k}+\frac{1}{2^{k+1}}=\frac{2^{k}-1}{2^{k}}+\frac{1}{2^{k+1}}\]
\[= \frac{2^{k+1}-2+1}{2^{k+1}}=\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}\] [điều phải chứng minh]
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b] đúng với mọi \[n \in {\mathbb N}^*\]
c] Với \[n = 1\], vế trái bằng \[1\], vế phải bằng \[ \frac{1[1+1][2+1]}{6}= 1\] nên hệ thức c] đúng với \[n = 1\].
Đặt vế trái bằng \[S_n\].
Giả sử hệ thức c] đúng với \[n = k ≥ 1\], tức là
\[S_k= {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2}=\frac{k[k+1][2k+1]}{6}\]
Ta phải chứng minh \[ S_{k+1}=\frac{[k+1][k+2][2[k+1]+1]}{6}\]
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
\[{S_{k + 1}} = {\rm{ }}{S_k} + {\rm{ }}{\left[ {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right]^2}\] = \[ \frac{k[k+1][2k+1]}{6}+[k+1]^{2}\]\[= [k + 1].\frac{k[2k+1]+6[k+1]}{6} = [k + 1]\frac{2k^{2}+k+6k+6}{6}\]
\[ =\frac{[k+1][2k[k+2]+3]+3[k+2]}{6}=\frac{[k+1][k+2][2[k+1]+1]}{6}\] [đpcm]
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c] đúng với mọi \[n \in {\mathbb N}^*\].
Bài 2 trang 82 sgk toán 11
Chứng minh rằng với \[n\in {\mathbb N}^*\] ta luôn có:
a] \[{n^3} + {\rm{ }}3{n^2} + {\rm{ }}5n\] chia hết cho \[3\];
b] \[{4^n} + {\rm{ }}15n{\rm{ }} - {\rm{ }}1\] chia hết cho \[9\];
c] \[{n^3} + {\rm{ }}11n\] chia hết cho \[6\].
Hướng dẫn giải:
a] Đặt \[S_n={n^3} + {\rm{ }}3{n^2} + {\rm{ }}5n\]
Với \[n = 1\] thì \[S_1= 9\] chia hết cho \[3\]
Giả sử với \[n = k ≥ 1\], ta có \[S_k= [{k^3} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}5k] \vdots\] \[ 3\]
Ta phải chứng minh rằng \[S_{k+1}\]\[ \vdots\] \[3\]
Thật vậy :
\[{\left[ {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right]^3} + {\rm{ }}3{\left[ {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right]^2} + {\rm{ }}5\left[ {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right]\]
\[ = {k^3}{\rm{ }} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}6k{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} + {\rm{ }}5k{\rm{ }} + {\rm{ }}5\]
\[ = {\rm{ }}{k^3} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}5k{\rm{ }} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}9k{\rm{ }} + {\rm{ }}9\]
hay \[{S_{k + 1}} = {S_k} + {\rm{ }}3[{k^2} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}3]\]
Theo giả thiết quy nạp thì \[S_k \] \[ \vdots\] \[3\], mặt khác \[3[{k^2} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}3] \vdots\] \[3\] nên \[S_{k+1} \vdots\] \[3\].
Vậy \[{n^3} + {\rm{ }}3{n^2} + {\rm{ }}5n\] chia hết cho \[3\] với mọi \[n\in {\mathbb N}^*\] .
b] Đặt \[{S_n} = {4^n} + {\rm{ }}15n{\rm{ }} - {\rm{ }}1\]
Với \[n{\rm{ }} = {\rm{ }}1,{S_1} = {\rm{ }}{4^1} + {\rm{ }}15.1{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}18\] nên \[S_1 \vdots\] \[9\]
Giả sử với \[n = k ≥ 1\] thì \[{S_k} = {\rm{ }}{4^k} + {\rm{ }}15k{\rm{ }} - {\rm{ }}1\] chia hết cho \[9\].
Ta phải chứng minh \[S_{k+1} \vdots\] \[9\].
Thật vậy, ta có:
\[{S_{k + 1}} = {\rm{ }}{4^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}1}} + {\rm{ }}15\left[ {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right]{\rm{ }}-{\rm{ }}1\]
\[ = {\rm{ }}4[{4^k} + {\rm{ }}15k{\rm{ }}-{\rm{ }}1]{\rm{ }}-{\rm{ }}45k{\rm{ }} + {\rm{ }}18{\rm{ }} = {\rm{ }}4{S_k}-{\rm{ }}9\left[ {5k{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right]\]
Theo giả thiết quy nạp thì \[S_k \vdots\] \[9\] nên \[4S_1 \vdots\] \[9\], mặt khác \[9[5k - 2] \vdots\] \[9\], nên \[S_{k+1} \vdots\] \[9\]
Vậy \[[4^n+ 15n - 1] \vdots\] \[9\] với mọi \[n\in {\mathbb N}^*\]
c] Đặt \[{S_n} = {n^3} + {\rm{ }}11n\]
Với \[n = 1\], ta có \[{S_1} = {\rm{ }}{1^3} + {\rm{ }}11.1{\rm{ }} = {\rm{ }}12\] nên \[S_1\] \[ \vdots\] \[6\]
Giả sử với \[n = k ≥ 1\] ,ta có \[{S_{k}} = {k^3} + {\rm{ }}11k \vdots\] \[6\]
Ta phải chứng minh \[S_{k+1}\]\[ \vdots\] 6
Thật vậy, ta có
\[{S_{k + 1}} = {\rm{ }}\left[ {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right]^3{\rm{ }} + {\rm{ }}11\left[ {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}{k^3} + {\rm{ }}3k^2+ {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}11k{\rm{ }} + {\rm{ }}11\]
\[ = [{\rm{ }}{k^3} + {\rm{ }}11k]{\rm{ }} + {\rm{ }}3[{k^2} + {\rm{ }}k{\rm{ }} + {\rm{ }}4]{\rm{ }} = {\rm{ }}{S_k} + {\rm{ }}3[{k^2} + {\rm{ }}k{\rm{ }} + {\rm{ }}4]\]
Theo giả thiết quy nạp thì \[S_k\]\[ \vdots\] \[6\], mặt khác \[k^2+ k + 4 = k[k + 1] + 4\] là số chẵn nên \[3[k^2+ k + 4]\] \[ \vdots\] \[6\], do đó \[S_{k+1}\]\[ \vdots\] \[6\]
Vậy \[n^3+ 11n\] chia hết cho \[6\] với mọi \[n\in {\mathbb N}^*\].
Bài 3 trang 82 sgk toán 11
Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \[n ≥ 2\], ta có các bất đẳng thức:
a] \[3^n> 3n + 1\]; b] \[2^{n+1} > 2n + 3\]
Hướng dẫn giải:
a] Dễ thấy bất đẳng thức đúng với \[n = 2\]
Giả sử bất đẳng thức đúng với \[n = k ≥ 2\], tức là
\[3^k> 3k + 1\] [1]
Nhân hai vế của [1] vơi \[3\], ta được:
\[3^{k+1} > 9k + 3 \Leftrightarrow 3^{k+1} > 3k + 4 + 6k -1\].
Vì \[6k - 1 > 0\] nên \[3^{k+1} > 3k + 4\]
hay \[3^{k+1} > 3[k + 1] + 1\].
tức là bất đẳng thức đúng với \[n = k + 1\].
Vậy \[3^n> 3n + 1\] với mọi số tự nhiên \[n ≥ 2\].
b] Với \[n = 2\] thì vế trái bằng \[8\], vế phải bằng \[7\]. Vậy bất đẳng thức đúng với \[n = 2\]
Giả sử bất đẳng thức đúng với \[n = k ≥ 2\], tức là
\[2^{k+1} > 2k + 3\] [2]
Ta phải chứng minh nó cũng đúng với \[n= k + 1\], nghĩa là phải chứng minh
\[{2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2\left[ {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right] + 3{\rm{ }} \Leftrightarrow {2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2k + 5\]
Nhân hai vế của bất đẳng thức [2] với \[2\], ta được:
\[{2^{k + 2}} > 4k + 6 \Leftrightarrow {2^{k+2}} > 2k + 5 + 2k + 1\].
Vì \[2k + 1> 0\] nên \[{2^{[k + 1]+1}}> 2k + 5=2[k+1]+3\]
Vậy \[{2^{n+1}} > 2n + 3\] với mọi số tự nhiên \[n ≥ 2\].
Bài 4 trang 83 sgk toán 11
Cho tổng \[{S_n} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + ... + {1 \over {n[n + 1]}}\] với \[n\in {\mathbb N}^*\].
a] Tính \[{S_1},{S_2},{S_3}\]
b] Dự đoán công thức tính tổng \[S_n\] và chứng minh bằng quy nạp.
Hướng dẫn giải:
a] Ta có:
\[\eqalign{ & {S_1} = {1 \over {1.2}} = {1 \over 2} \cr & {S_2} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} = {2 \over 3} \cr
& {S_3} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + {1 \over {3.4}} = {3 \over 4} \cr} \]
b] Từ câu a] ta dự đoán \[{S_n} = {n \over {n + 1}}[1]\], với mọi \[n\in {\mathbb N}^*\]
Ta sẽ chứng minh đẳng thức [1] bằng phương pháp quy nạp
Khi \[n = 1\], vế trái là \[{S_1} = {1 \over 2}\] vế phải bằng \[{1 \over {1 + 1}} = {1 \over 2}\]. Vậy đẳng thức [1] đúng.
Giả sử đẳng thức [1] đúng với \[n\ge 1\], tức là
\[{S_k} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + ... + {1 \over {k[k + 1]}} = {k \over {k + 1}}\]
Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với \[n = k + 1\], nghĩa là phải chứng minh
\[{S_{k + 1}} = {{k + 1} \over {k + 2}}\]
Ta có : \[{S_{k + 1}} = {S_k} + {1 \over {[k + 1][k + 2]}} = {k \over {k + 1}} + {1 \over {[k + 1][k + 2]}}\]
\[ = {{{k^2} + 2k + 1} \over {[k + 1][k + 2]}} = {{k + 1} \over {k + 2}}\]
tức là đẳng thức [1] đúng với \[n = k + 1\].
Vậy đẳng thức [1] đã được chứng minh.
Bài 5 trang 83 sgk toán 11
Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi \[n\] cạnh là \[{{n[n - 3]} \over 2}\]
Giải:
Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi \[n \in{\mathbb N}^*\], \[n ≥ 4\].
Với \[n = 4\], ta có tứ giác nên nó có hai đường chéo.
Mặt khác thay \[n = 4\] vào công thức, ta có số đường chéo của tứ giác theo công thức là: \[{{4[4 - 3]} \over 2} = 2\]
Vậy khẳng định đúng với \[n= 4\].
Giả sử khẳng định đúng với \[n = k ≥ 4\], tức là đa giác lồi \[k\] cạnh có số đường chéo là \[{{k[k - 3]} \over 2}\]
Xét đa giác lồi \[k + 1\] cạnh
Nối \[A_1\] và \[A_k\], ta được đa giác \[k\] cạnh \[A_1A_2...A_k\] có \[{{k[k - 3]} \over 2}\] đường chéo [giả thiết quy nạp]. Nối \[A_{k+1}\] với các đỉnh \[A_1,A_2,...,A_{k-1}\], ta được thêm \[k -2\] đường chéo, ngoài ra \[A_1A_k\] cũng là một đường chéo.
Vậy số đường chéo của đa giác \[k + 1\] cạnh là
\[{{k[k - 3]} \over 2}+ k - 2 + 1 ={{{k^2} - k - 2} \over 2} = {{[k + 1][[k + 1] - 3]} \over 2}\]
Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác \[k + 1\] cạnh
Vậy bài toán đã được chứng minh.
Giaibaitap.me
Page 8
Bài 1 trang 92 sgk toán 11
Viết năm số hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức:
a] \[u_n=\frac{n}{2^{n}-1}\]; b] \[u_n= \frac{2^{n}-1}{2^{n}+1}\]
c] \[u_n=[1+\frac{1}{n}]^{n}\]; d] \[u_n \frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}\]
Hướng dẫn giải:
a] Năm số hạng đầu của dãy số là \[u_1= 1\]; \[u_2= \frac{2}{3}\], \[ u_{3}=\frac{3}{7}; u_{4}=\frac{4}{15};u_{5}=\frac{5}{31}\]
b] Năm số hạng đầu của dãy số là \[ u_{1}=\frac{1}{3},u_{2}=\frac{3}{5};u_{3}=\frac{7}{9};u_{4}=\frac{15}{17};u_{5}=\frac{31}{33}\]
c] Năm số hạng đầu của dãy số là
\[u_1=2\]; \[ u_{2}=\frac{9}{4};u_{3}=\frac{64}{27};u_{4}=\frac{625}{256};u_{5}=\frac{7776}{3125}\]
d] Năm số hạng đầu của dãy số là
\[ u_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}};u_{2}=\frac{2}{\sqrt{5}};u_{3}=\frac{3}{\sqrt{10}};u_{4}=\frac{4}{\sqrt{17}};u_{5}=\frac{5}{\sqrt{26}}\]
Bài 2 trang 92 sgk toán 11
Cho dãy số \[u_n\] , biết:
\[ u_1 = -1; u_{n+1} = u_n +3\] với \[n ≥ 1\].
a] Viết năm số hạng đầu của dãy số
b] Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: \[u_n = 3n -4\].
Hướng dẫn giải:
a] Năm số hạng đầu của dãy số là \[-1, 2, 5, 8, 11\].
b] Chứng minh \[u_n = 3n - 4\] bằng phương pháp quy nạp:
Với \[n =1\] thì \[u_1= 3.1 - 4 = -1\], đúng.
Giả sử hệ thức đúng với \[n = k ≥ 1\], tức là \[u_k= 3k -4\]. Ta chứng minh hệ thức cũng đúng với \[n = k + 1\].
Thật vậy, theo công thức của dãy số và giả thiết quy nạp, ta có:
\[u_{k+1}= u_k+ 3 = 3k - 4 + 3 = 3[k + 1] - 4\].
Vậy hệ thức đúng với mọi \[n \in {\mathbb N}^*\] tức là công thức đã được chứng minh.
Bài 3 trang 92 sgk toán 11
Dãy số \[u_n\] cho bởi: \[u_1= 3\]; \[u_{n+1}\]= \[ \sqrt{1+u^{2}_{n}}\],\[ n ≥ 1\].
a] Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b] Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp
Hướng dẫn giải:
a] Năm số hạng đầu của dãy số là \[3, \sqrt{10}, \sqrt{11}, \sqrt{12}, \sqrt{13}\].
b] Ta có: \[u_1= 3 = \sqrt9 = \sqrt{[1 + 8]}\]
\[ u_2= \sqrt{10} = \sqrt{[2 + 8]}\]
\[u_3= \sqrt{11} = \sqrt{[3 + 8]}\]
\[u_4= \sqrt{12} = \sqrt{[4 + 8]}\]
...........
Từ trên ta dự đoán \[u_n= \sqrt{[n + 8]}\], với \[n \in {\mathbb N}^*\] [1]
Chứng minh công thức [1] bằng phương pháp quy nạp:
- Với \[n = 1\], rõ ràng công thức [1] là đúng.
- Giả sử [1] đúng với \[n = k ≥ 1\], tức là có \[u_k = \sqrt{[k + 8]}\] với \[k ≥ 1\].
Theo công thức dãy số, ta có:
\[u_{k+1}\]= \[ \sqrt{1+u^{2}_{k}}=\sqrt{1+[\sqrt{k+8}]^{2}}=\sqrt{[k+1]+8}\].
Như vậy công thức [1] đúng với \[n = k + 1\].
Vậy công thức [1] được chứng minh.
Bài 4 trang 92 sgk toán 11
Xét tính tăng, giảm của các dãy số \[u_n\] biết:
a] \[u_n= \frac{1}{n}-2\] ; b] \[u_n= \frac{n-1}{n+1}\];
c] \[{u_n} = {[ - 1]^n}[{2^n} + 1]\] d] \[u_n= \frac{2n+1}{5n+2}\].
Hướng dẫn giải:
a] Xét hiệu \[u_{n+1}-u_n= \frac{1}{n+1} - 2 - [ \frac{1}{n}\] - 2] = \[ \frac{1}{n+1}\] - \[ \frac{1}{n}\].
Vì \[ \frac{1}{n+1}\] 0\]
Vậy \[u_{n+1}> u_n\] với mọi \[n \in {\mathbb N}^*\] hay dãy số đã cho là dãy số tăng.
c] Các số hạng ban đầu có thừa số \[[-1]^n\] nên dãy số không tăng và cũng không giảm.
Vì:
+] \[[-1]^n>0\] nếu \[n\] chẵn, do đó \[u_n>0\]
+] \[[-1]^n \sqrt{\frac{M+1}{2}}\].
tức là luôn tồn tại \[ n ≥ \left [ \sqrt{\frac{M+1}{2}} \right ] + 1\] để \[2 n^{2}- 1 > M\]
b] Dễ thấy \[u_n > 0\] với mọi \[n \in {\mathbb N}^*\]
Mặt khác, vì \[n ≥ 1\] nên \[n^2≥ 1\] và \[2n ≥ 2\].
Do đó \[n[n + 2] = n^2+ 2n ≥ 3\], suy ra \[ \frac{1}{n[n+2]}\] \[ \leq \frac{1}{3}\].
Vậy dãy số bị chặn \[0 < u_n\] \[\leq \frac{1}{3}\] với mọi \[n \in {\mathbb N}^*\]
c] Vì \[n ≥ 1\] nên \[2n^2- 1 > 0\], suy ra \[ \frac{1}{2n^{2}-1} > 0\]
Mặt khác \[n^2 ≥ 1\] nên \[2n^2≥ 2\] hay \[2n^2- 1≥ 1\], suy ra \[ u_{n}=\frac{1}{2n^{2}-1} ≤ 1\].
Vậy \[0 < u_n ≤ 1\], với mọi \[n \in {\mathbb N}^*\], tức dãy số bị chặn.
d] Ta có: \[sinn + cosn = \sqrt 2sin[n + \frac{\pi }{4}]\], với mọi \[n\]. Do đó:
\[-\sqrt2 ≤ sinn + cosn ≤ \sqrt2\] với mọi \[n \in {\mathbb N}^*\]
Vậy \[-\sqrt 2 < u_n< \sqrt 2\], với mọi \[n \in {\mathbb N}^*\].
Giaibaitap.me
Page 9
Bài 1 trang 97 sgk toán 11
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó:
a] \[u_n= 5 - 2n\]; b] \[u_n= \frac{n}{2}- 1\];
c] \[u_n= 3^n\] ; d] \[u_n= \frac{7-3n}{2}\]
a] Với mọi \[n\in {\mathbb N}^*\],\[u_{n+1}-u_n = -2\]
Vậy dãy số là cấp số cộng có \[u_1= 3\] và công sai \[d = -2\].
b] Với mọi \[n\in {\mathbb N}^*\], \[u_{n+1}-u_n= \frac{n+1}{2} - 1 - [ \frac{n}{2}- 1] = \frac{1}{2}\].
Vậy dãy số là cấp số cộng với \[u_1= - \frac{1}{2}\] và \[d = \frac{1}{2}\].
c] Ta có \[u_{n+1}-u_n = 2.3^n\] không là hằng số [phụ thuộc \[n\]], vậy dãy số không phải là cấp số cộng.
d] Với mọi \[n\in {\mathbb N}^*\], \[u_{n+1}-u_n= \frac{7-3[n+1]}{2}-\frac{7-3n}{2}=-\frac{3}{2}\]
Vậy dãy số là cấp số cộng có \[u_1 = 2\], \[d = -\frac{3}{2}\].
Bài 2 trang 97 sgk toán 11
Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết:
a] \[ \left\{\begin{matrix} u_{1}-u_{3}+u_{5}=10\\ u_{1}+u_{6=17} \end{matrix}\right.\],
b] \[ \left\{\begin{matrix} u_{7}-u_{3}=8\\ u_{2}.u_{7}=75 \end{matrix}\right.\].
Hướng dẫn giải:
Sử dụng công thức \[u_n= u_1+ [n – 1]d\].
a] Từ hệ thức đã cho ta có:
\[ \left\{\begin{matrix} u_{1}-u_{1}-2d+u_{1}+4d=10\\ u_{1}+u_{1}+5d =17 \end{matrix}\right.\] hay \[ \left\{\begin{matrix} u_{1}+2d=10\\ 2u_{1}+5d = 17 \end{matrix}\right.\]
.Giải hệ ta được: \[u_1= 16, d = -3\].
b] Từ hệ đã cho ta có:
\[ \left\{\begin{matrix} u_{1}+6d-u_{1}-2d =8\\ [u_{1}+d][u_{1}+6d]=75 \end{matrix}\right.\] hay \[ \left\{\begin{matrix} 2d =4\\ [u_{1}+d][u_{1}+6d]=75 \end{matrix}\right.\]
Giải hệ ta được: \[u_1= 3\] và \[d = 2\] hoặc \[u_1= -17\] và \[d = 2\]
Bài 3 trang 97 sgk toán 11
Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng \[u_1, n, d, u_n, S_n\].
a] Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?
b] Lập bảng theo mẫu sau và điền vào chỗ trống thích hợp:
Hướng dẫn giải:
a] Cần biết ít nhất ba trong năm đại lượng \[u_1, n, d, u_n, S_n\] thì có thể tính được hai đại lượng còn lại.
b] Thực chất đây là năm bài tập nhỏ, mỗi bài ứng với các dữ liệu ở một dòng. Học sinh phải giải từng bài nhỏ rồi mới điền kết quả.
b1] Biết \[u_1= -2, u_n= 55, n = 20\]. Tìm \[d, S_n\]
Áp dụng công thức \[d = {{{u_n} - {u_1}} \over {n - 1}},{S_n} = {{[{u_1} + {u_n}].n} \over 2}\]
Đáp số: \[d = 3, S_{20}= 530\].
b2] Biết \[d = -4, n = 15\], \[S_n= 120\]. Tìm \[u_1,u_n\]
Áp dụng công thức \[u_n= u_1+ [n - 1]d\] và \[{S_n} = {{[{u_1} + {u_n}].n} \over 2}\]
ta có:
\[\left\{ \matrix{ {u_1} - {u_{15}} = 56 \hfill \cr
{u_1} + {u_{15}} = 16 \hfill \cr} \right.\]
Giải hệ trên, ta được \[u_1= 36, u_{15}= - 20\].
b3] Áp dụng công thức \[u_n= u_1+ [n - 1]d\], từ đây ta tìm được \[n\]; tiếp theo áp dụng công thức \[{S_n} = {{[{u_1} + {u_n}].n} \over 2}\]. Đáp số: \[n = 28\], \[S_n= 140\].
b4] Áp dụng công thức \[{S_n} = {{[{u_1} + {u_n}].n} \over 2}\], từ đây tìm được \[u_1\], tiếp theo áp dụng công thức \[u_n= u_1+ [n - 1]d\] để tìm \[d\]. Đáp số: \[u_1= -5, d= 2\].
b5] Áp dụng công thức \[{S_n} = {{\left[ {2{u_1} + [n - 1]d} \right].n} \over 2}\], từ đây tìm được \[n\], tiếp theo áp dụng công thức \[u_n= u_1+ [n - 1]d\]. Đáp số: \[n = 10, u_n= -43\].
Bài 4 trang 98 sgk toán 11
Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà cao hơn mặt sân \[0,5 m\]. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng \[2\] gồm \[21\] bậc, mỗi bậc cao \[18 cm\].
a] Hãy viết công thức để tìm độ cao của một bậc tuỳ ý so với mặt sân.
b] Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân.
Hướng dẫn giải:
a] Gọi chiều cao của bậc thứ \[n\] so với mặt sân là \[h_n\]
Ta có: \[ h_n= 0,5 + n.0,18[m]\].
b] Chiều cao mặt sàn tầng hai so với mặt sân là
\[h_{21}= 0,5 + 21.0,18 = 4,28 [m]\].
Bài 5 trang 98 sgk toán 11
Từ \[0\] giờ đến \[12\] giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ
Hướng dẫn giải:
Đồng hồ đánh số tiếng chuông là: \[S = 1 + 2 + 3 +....+ 12\]. Đây là tổng của \[12\] số hạng của cấp số cộng có \[u_1= 1, u_{12}= 12\]. Do đó áp dụng công thức tính tổng,
ta có \[S = \frac{[1+12].12}{2} = 78\].
Vậy đồng hồ đánh \[78\] tiếng chuông.
Giaibaitap.me
Page 10
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 11
Bài 4 trang 104 sgk toán 11
Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là \[31\] và tổng của năm số hạng sau là \[62\].
Hướng dẫn giải:
Giả sử có cấp số nhân: \[{u_1},{u_2},{u_3},{u_4},{u_5},{u_6}\]
Theo giả thiết ta có:
\[{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 31\]. [1]
\[{u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} + {u_6} = 62\]. [2]
Nhân hai vế của [1] với \[q\], ta được: \[{u_1}q + {u_2}q + {u_3}q + {u_4}q + {u_5}q = 31q\]
hay \[{u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} + {u_6} = 31q\]
Suy ra \[62 = 31.q\] hay \[q = 2\].
Ta có \[S_5= 31 = {{{u_1}[1 - {2^5}]} \over {1 - 2}}\] nên suy ra \[u_1= 1\].
Vậy ta có cấp số nhân \[1, 2, 4, 8, 16, 32\].
Bài 5 trang 104 sgk toán 11
Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là \[1,4\% \]. Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là \[1,8\] triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Giả sử số dân của một tỉnh đó hiện nay là \[N\]. Vì tỉ lệ tăng dân số là \[1,4\%\] nên sau một năm, số dân tăng thêm là \[1,4\%.N\].
Vậy số dân của tỉnh đó vào năm sau là
\[N + 1,4\%.N = 101,4\%.N =\] \[ \frac{101,4}{100}.N\].
Như vậy số dân của tỉnh đó sau mỗi năm lập thành cấp số nhân.
\[N\], \[ \frac{101,4}{100}.N\], \[ [\frac{101,4}{100}]^{2}.N\], ...
Vậy nếu \[N = 1,8\] triệu người, áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân thì sau \[5\] năm số dân của tỉnh là \[ [\frac{101,4}{100}]^{5}.1,8 ≈ 1,9\] [triệu người]
và sau \[10\] năm sẽ là \[ [\frac{101,4}{100}]^{10}.1,8 ≈ 2,1\] [triệu người].
Bài 6 trang 104 sgk toán 11
Cho hình vuông \[C_1\] có cạnh bằng \[4\]. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông lại làm tiếp tục như trên để được hình vuông khác. Tiếp tục quá trình như trên, ta nhận được dãy các hình vuông. Gọi \[a_1\] là độ dài cạnh của hình vuông \[C_n\]. Chứng minh dãy số \[[a_n]\] là một cấp số nhân.
Hướng dẫn giải:
Xét dãy số \[[a_n]\], ta có \[a_1= 4\].
Giả sử hình vuông cạnh \[C_n\] có độ dài cạnh là \[a_n\]. Ta sẽ tính cạnh \[a_{n+1}\] của hình vuông \[C_{n+1}\] Theo hình 44, áp dụng định lí Pi-ta-go, ta có:
\[{a_{n + 1}} = \sqrt {{{\left[ {{1 \over 4}{a_n}} \right]}^2} + {{\left[ {{3 \over 4}{a_n}} \right]}^2}} = {a_n}.{{\sqrt {10} } \over 4}\forall n \in {\mathbb N}^*\]
Vậy dãy số \[[a_n]\] là cấp số nhân với số hạng đầu là \[a_1= 4\] và công bội \[q = {{\sqrt {10} } \over 4}\].
Giaibaitap.me
Page 12
Bài 1 trang 121 sgk đại số 11
Có \[1 kg\] chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian \[T = 24 000\] năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người [\[T\] được gọi là chu kì bán rã].
Gọi \[[u_n]\] là khối lượng chất phóng xạ còn sót lại sau chu kì thứ \[n\].
a] Tìm số hạng tổng quát \[u_n\] của dãy số \[[u_n]\].
b] Chứng minh rằng \[[u_n]\] có giới hạn là \[0\].
c] Từ kết quả câu b], chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn \[10^{-6}g\].
Hướng dẫn giải:
a] Nhận xét: \[u_1=\frac{1}{2}\]; \[u_2= \frac{1}{4}\]; \[u_3=\frac{1}{8}\]; ... \[u_n=\frac{1}{2^{n}}\].
Điều này chứng minh đơn giản bằng quy nạp.
b] \[\lim {u_n} = \lim {\left[ {{1 \over 2}} \right]^n} = 0\].
c] Đổi \[10^{-6}g = \frac{1}{10^{6}} . \frac{1}{10^{3}}kg = \frac{1}{10^{9}} kg\].
Muốn có \[u_n= \frac{1}{2^{n}}\] {10^9}\]. Suy ra \[n_0= 30\]. Nói cách khác, sau chu kì thứ \[30\] [nghĩa là sau \[30.24000 = 720000\] [năm]], chúng ta không còn lo lắng về sự độc hại của khối lượng chất phóng xạ còn lại.
Bài 2 trang 121 sgk đại số 11
Biết dãy số \[[u_n]\] thỏa mãn \[|u_n-1| < \frac{1}{n^{3}}\] với mọi \[n\]. Chứng minh rằng \[\lim u_n=1\].
Giải:
Vì \[\lim \frac{1}{n^{3}}\] = 0 nên |\[\frac{1}{n^{3}}\]| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Mặt khác, ta có \[|u_n-1| < \frac{1}{n^{3}}\] = |\[\frac{1}{n^{3}}\]| với mọi \[n\]. Nếu \[|u_n-1|\] có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là \[\lim [u_n-1] = 0\]. Do đó \[\lim u_n= 1\].
Bài 3 trang 121 sgk đại số 11
Tìm giới hạn sau:
a] \[\lim \frac{6n - 1}{3n +2}\];
b] \[\lim \frac{3n^{2}+n-5}{2n^{2}+1}\];
c] \[\lim \frac{3^{n}+5.4^{n}}{4^{n}+2^{n}}\];
d] \[\lim\frac{\sqrt{9n^{2}-n+1}}{4n -2}\].
Giải:
a] \[\lim \frac{6n - 1}{3n +2}\] \[= \lim\frac{6 - \frac{1}{n}}{3 +\frac{2}{n}}\] = \[\frac{6}{3} = 2\].
b] \[\lim \frac{3n^{2}+n-5}{2n^{2}+1}\]\[ = \lim \frac{3 +\frac{1}{n}-\frac{5}{n^{2}}}{2+\frac{1}{n^{2}}}= \frac{3}{2}\].
c] \[\lim \frac{3^{n}+5.4^{n}}{4^{n}+2^{n}}\]\[= \lim \frac{{\left[ {{3 \over 4}} \right]^n}+5}{1+{\left[ {{1 \over 2}} \right]^n}}=\frac{5}{1}\] = 5.
d] \[\lim \frac{\sqrt{9n^{2}-n+1}}{4n -2}\] = \[\lim \frac{\sqrt{{n^2}\left[ {9 - {1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} \right]}}{n[4-\frac{2}{n}]}\]= \[\lim \frac{\sqrt{9-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}}}{4-\frac{2}{n}}\] =\[\frac{\sqrt{9}}{4}\]= \[\frac{3}{4}\].
Bài 4 trang 122 sgk đại số 11
Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng \[1\]. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh dấu \[1, 2, 3, ..., n, ...\] trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó [h.51]
Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể tiến ra vô hạn.
a] Gọi \[u_n\] là diện tích của hình vuông màu xám thứ \[n\]. Tính \[u_1, u_2, u_3\] và \[u_n\].
b] Tính \[\lim S_n\] với \[S_n= {u_{1}} + {u_{2}} + {u_{3}} + ... + {u_{n}}\]
Giải:
a] Hình vuông thứ nhất có cạnh bằng \[\frac{1}{2}\] nên
\[u_1 =[\frac{1}{2}\]]2 = \[\frac{1}{4}\].
Hình vuông thứ hai có cạnh bằng \[\frac{1}{4}\] nên \[{u_2} = {\left[ {{1 \over 4}} \right]^2} = {1 \over {{4^2}}}\].
Hình vuông thứ ba có cạnh bằng \[\frac{1}{8}\] nên \[{u_3} = {\left[ {{1 \over 8}} \right]^2} = {1 \over {{4^3}}}\]
Tương tự, ta có \[u_n=\frac{1}{4^{n}}\]
b] Dãy số \[[u_n]\] là một cặp số nhân lùi vô hạn với \[u_1=\frac{1}{4}\] và \[q = \frac{1}{4}\]. Do đó
\[\lim S_n=\frac{u_{1}}{1-q}= \frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}\].
Giaibaitap.me
Page 13
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 14
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 15
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 16
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 17
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 18
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 19
Bài 5 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong \[y = x^3\]:
a] Tại điểm có tọa độ \[[-1;-1]\];
b] Tại điểm có hoành độ bằng \[2\];
c] Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng \[3\].
Giải:
Bằng định nghĩa ta tính được \[y' = 3x^2\].
a] \[y' [-1] = 3\]. Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng \[3\]. Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm \[[-1;-1]\] là \[y - [-1] = 3[x - [-1]]\] hay \[y = 3x+2\].
b] \[y' [2] = 12\]. Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng \[12\]. Ngoài ra ta có \[y[2] = 8\]. Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng \[2\] là: \[ y - 8 = 12[x - 2]\]
hay \[y = 12x -16\].
c] Gọi \[x_0\] là hoành độ tiếp điểm. Ta có:
\[y' [x_0] = 3 \Leftrightarrow 3{x_0}^2= 3\Leftrightarrow {x_0}^2= 1\Leftrightarrow x_0= ±1\].
+] Với \[x_0= 1\] ta có \[y[1] = 1\], phương trình tiếp tuyến là
\[ y - 1 = 3[x - 1]\] hay \[y = 3x - 2\].
+] Với \[x_0= -1\] ta có \[y[-1] = -1\], phương trình tiếp tuyến là
\[y - [-1] = 3[x - [-1]]\] hay \[y = 3x + 2\].
Bài 6 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol \[y = \frac{1}{x}\]:
a] Tại điểm \[[ \frac{1}{2} ; 2]\]
b] Tại điểm có hoành độ bằng \[-1\];
c] Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng -\[ \frac{1}{4}\].
Giải:
Bằng định nghĩa ta tính được \[y' = - \frac{1}{x^{2}}\].
a] \[y' \left [ \frac{1}{2} \right ]= -4\]. Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng \[-4\]. Vậy phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm \[[ \frac{1}{2} ; 2]\] là \[y - 2 = -4[x - \frac{1}{2}]\] hay \[y = -4x + 4\].
b] \[y' [-1] = -1\]. Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng \[-1\]. Ngoài ra, ta có \[y[-1] = -1\]. Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ là \[-1\] là \[y - [-1] = -[x - [-1]]\] hay \[y = -x - 2\].
c] Gọi \[x_0\] là hoành độ tiếp điểm. Ta có
\[y' [x_0] = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow - \frac{1}{x_{0}^{2}} = - \frac{1}{4}\]\[\Leftrightarrow x_{0}^{2} = 4 \Leftrightarrow x_{0}= ±2\].
Với \[x_{0}= 2\] ta có \[y[2] = \frac{1}{2}\], phương trình tiếp tuyến là
\[y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4}[x - 2]\] hay \[y = \frac{1}{4}x + 1\].
Với \[x_{0} = -2\] ta có \[y [-2] = - \frac{1}{2}\], phương trình tiếp tuyến là
\[y - \left [ -\frac{1}{2} \right ] = - \frac{1}{4}[x - [-2]]\] hay \[y = - \frac{1}{4}x -1\]
Bài 7 trang 157 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Một vật rơi tự do theo phương trình \[s = {1 \over 2}g{t^2}\] , trong đó \[g ≈ 9,8\] m/s2 là gia tốc trọng trường.
a] Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t [t = 5s] đến \[t + ∆t\], trong các trường hợp \[∆t = 0,1s; ∆t = 0,05s; ∆t = 0,001s\].
b] Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \[t = 5s\].
Giải:
a] Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ \[t\] đến \[t + ∆t\] là
\[V_{tb}= \frac{s\left [ t+\Delta t \right ]-s\left [ t \right ]}{\Delta t}= \frac{\frac{1}{2}g\cdot \left [ t+\Delta t \right ]^{2}-\frac{1}{2}g\cdot t^{2}}{\Delta t} ={1 \over 2}g[2t + \Delta t] \approx 4,9.[2t + \Delta t]\]
Với \[ t=5\] và
+] \[∆t = 0,1\] thì \[v_{tb}≈ 4,9. [10 + 0,1] ≈ 49,49 m/s\];
+] \[∆t = 0,05\] thì \[v_{tb}≈ 4,9. [10 + 0,05] ≈ 49,245 m/s\];
+] \[∆t = 0,001\] thì \[v_{tb} ≈ 4,9. [10 + 0,001] ≈ 49,005 m/s\].
b] Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \[t = 5s\] tương ứng với \[∆t = 0\] nên \[v ≈ 4,9 . 10 = 49 m/s\].
Giaibaitap.me
Page 20
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 21
Bài 1 trang 168 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a] \[y = \frac{x-1}{5x-2}\];
b] \[y = \frac{2x+3}{7-3x}\];
c] \[y = \frac{x^{2}+2x+3}{3-4x}\];
d] \[y = \frac{x^{2}+7x+3}{x^{2}-3x}\].
Lời giải:
a] \[ y'=\frac{\left [ x-1 \right ]'.\left [ 5x-2 \right ]-\left [ x-1 \right ].\left [ 5x-2 \right ]'}{\left [ 5x-2 \right ]^{2}}\] = \[ \frac{5x-2-\left [ x-1 \right ].5}{\left [ 5x-2 \right ]^{2}}\] = \[ \frac{3}{\left [ 5x-2 \right ]^{2}}\].
b] \[ y'=\frac{\left [ 2x+3 \right ]'.\left [ 7-3x \right ]-\left [ 2x+3 \right ].\left [ 7-3x \right ]'}{\left [ 7-3x \right ]^{2}}\] = \[ \frac{2\left [ 7-3x \right ]-\left [ 2x+3 \right ].\left [ -3 \right ]}{\left [ 7-3x \right ]^{2}}\] = \[ \frac{23}{\left [ 7-3x \right ]^{2}}\].
c] \[ y'=\frac{\left [ x^{2}+2x+3 \right ]'.\left [ 3-4x \right ]-\left [ x^{2} +2x+3\right ].\left [ 3-4x \right ]'}{\left [ 3-4x \right ]^{2}}\] = \[ \frac{\left [ 2x+2 \right ].\left [ 3-4x \right ]-\left [ x^{2}+2x+3 \right ].[-4]}{[3-4x]^{2}}\] = \[ \frac{-2[2x^{2}-3x-9]}{[3-4x]^{2}}\].
d] \[ y'=\frac{[x^{2}+7x+3]'.[x^{2}-3x]-[x^{2}+7x+3].[x^{2}-3x]'}{[x^{2}-3x]^{2}}\] = \[ \frac{[2x-7].[x^{2}-3x]-[x^{2}+7x+3].[2x-3]}{[x^{2}-3x]^{2}}\] = \[ \frac{-10x^{2}-6x+9}{[x^{2}-3x]^{2}}\].
Bài 2 trang 168 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Giải các bất phương trình sau:
a] \[y'0\] với \[y = \frac{2x-1}{x^{2}+x+4}\].
Lời giải:
a] Ta có \[ y'=\frac{[x^{2}+x+2]'.[x-1]-[x^{2}+x+2].[x-1]'}{[x-1]^{2}}\] = \[ \frac{x^{2}-2x-3}{[x-1]^{2}}\]
Do đó, \[y'0 \Leftrightarrow \frac{-2x^{2}+2x+9}{[x^{2}+x+4]} >0\Leftrightarrow -2x^2+2x +9>0 \]\[\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{19}}{2} < x < \frac{1+\sqrt{19}}{2}\Leftrightarrow x∈ \left [ \frac{1-\sqrt{19}}{2};\frac{1+\sqrt{19}}{2} \right ]\]
Vì \[x^2+x +4 =\] \[ \left [ x+\frac{1}{2} \right ]^{2}\]+ \[ \frac{15}{4} >0\], với \[∀ x ∈ \mathbb R\].
Bài 3 trang 169 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a] \[y = 5sinx -3cosx\];
b] \[ y=\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}\];
c] \[y = x cotx\];
d] \[y = \frac{sinx}{x}\] + \[ \frac{x}{sinx}\];
e] \[y = \sqrt{[1 +2tan x]}\];
f] \[y = sin\sqrt{[1 +x^2]}\].
Lời giải:
a] \[y'=5cosx-3[-sinx]=5cosx+3sinx\];
b] \[ y'={{[sinx+cos x]'.[sin x- cos x]-[sin x+cos x][sin x-cos x]'}\over{[sin x-cos x]^{2}}}\] = \[ {{[cos x-sin x][sin x -cos x]-[sin x+ cos x][cosx+sinx]}\over{[sin x-cosx ]^{2}}}\] = \[ {{-2}\over{[sin x-cos x]^{2}}}\].
c] \[y' = cotx +x. \left [ -\frac{1}{sin^{2}x} \right ]= cotx - \frac{x}{sin^{2}x}\].
d] \[ y'=\frac{[sin x]'.x-sin x.[x]'}{x^{2}}\] +\[ \frac{[x]'.sin x-x[sin x]'}{sin^{2}x}\] = \[ \frac{x.cosx-sinx}{x^{2}}+\frac{sin x-x.cosx}{sin^{2}x}\]\[ = [x. cosx -sinx] \left [ \frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{sin^{2}x} \right ]\].
e] \[ y'=\frac{[1+2tanx]'}{2\sqrt{1+2tanx}}\] = \[ \frac{\frac{2}{cos^{2}x}}{2\sqrt{1+2tanx}}\] = \[ \frac{1}{cos^{2}x\sqrt{1+2tanx}}\].
f] \[y' = [\sqrt{[1+x^2]}]' cos\sqrt{[1+x^2]} \]\[= \frac{[1+x^{2}]'}{2\sqrt{1+x^{2}}}cos\sqrt{[1+x^2]} = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}cos\sqrt{[1+x^2]}\].
Bài 4 trang 169 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a] \[y = \left[ {9 - 2x} \right][2{x^3} - 9{x^2} + 1]\];
b] \[y = \left [ 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right ][7x -3]\];
c] \[y = [x -2]\sqrt{[x^2+1]}\];
d] \[y = tan^2x +cotx^2\];
e] \[y = cos\frac{x}{1+x}\].
Lời giải:
a] \[y' = \left[ {9 - 2x} \right]'[2{x^3} - 9{x^2} + 1] + \left[ {9 - 2x} \right][2{x^3} - 9{x^2} + 1]'\]
\[= - 2[2{x^3} - 9{x^2} + 1] + \left[ {9 - 2x} \right][6{x^2} - 18x] \]
\[= - 16{x^3} + 108{x^2} - 162x - 2\].
b] \[y' = \left [ 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right ]'.[7x -3] +\left [ 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right ][7x -3]'\]
\[= \left [ \frac{3}{\sqrt{x}} +\frac{2}{x^{3}}\right ][7x -3] +7 \left [ 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right ]\].
c] \[y' = [x -2]'\sqrt{[x^2+1]} + [x -2]\sqrt {[x^2+1]}' \]
\[= \sqrt {[x^2+1]} + [x -2]\frac{\left [ x^{2}+1 \right ]'}{2\sqrt{x^{2}+1}}\]
\[= \sqrt {[x^2+1]} + [x -2] \frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}\]
\[ = \sqrt {[x^2+1]} + \frac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{2}+1}}\] = \[ \frac{2x^{2}-2x+1}{\sqrt{x^{2}+1}}\].
d] \[y' = 2tanx.[tanx]' - [x^2]' \left [ -\frac{1}{sin^{2}x^{2}} \right ]\] = \[ \frac{2tanx}{cos^{2}x}+\frac{2x}{sin^{2}x^{2}}\].
e] \[y' = \left [ \frac{1}{1+x} \right ]'sin \frac{x}{1+x}\] = \[ -\frac{1}{[1+x]^{2}}sin \frac{x}{1+x}\].
Giaibaitap.me
Page 22
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 23
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 24
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 25
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 26
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...