Đề bài
\[a]\] Vẽ một lục giác đều \[ABCDEG\] nội tiếp đường tròn bán kính \[2cm\] rồi vẽ hình \[12\] cạnh đều \[AIBJCKDLEMGN\] nội tiếp đường tròn đó. Nêu cách vẽ.
\[b]\] Tính độ dài cạnh \[AI.\]
\[c]\] Tính bán kính \[r\] của đường tròn nội tiếp hình \[AIBJCKDLEMGN.\]
Hướng dẫn. Áp dụng các công thức ở bài \[46.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác.
+] Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác.
+] Số đo góc ở tâm chắn mỗi cạnh của đa giác đều \[n\] cạnh bằng \[\dfrac{360^\circ}{n}.\]
Lời giải chi tiết
\[a]\] Cách vẽ:
Vẽ đường tròn \[[0; 2cm]\]
Từ điểm \[A\] trên đường tròn \[[0; 2cm]\] đặt liên tiếp các cung bằng nhau có dây căng cung \[2cm.\]
\[\overparen{AB}\] \[=\overparen{BC}\] \[=\overparen{CD}\] \[=\overparen{DE}\] \[=\overparen{EG}\]
Nối \[AB, BC, CD, DE, EG, GA\] ta có lục giác đều \[ABCDEG\] nội tiếp trong đường tròn \[[0; 2cm].\]
Kẻ đường kính vuông góc với \[AB\] và \[DE\] cắt đường tròn tại \[I\] và \[L.\]
Ta có: \[\overparen{AI}= \overparen{IB};\] \[\overparen{LD} =\overparen{LE}\]
Kẻ đường kính vuông góc với \[BC\] và \[EG\] cắt đường tròn tại \[J\] và \[M.\]
\[\overparen{BJ} = \overparen{JC}\]; \[\overparen{ME} = \overparen{MG}\]
Kẻ đường kính vuông góc với \[CD\] và \[AG\] cắt đường tròn tại \[N\] và \[K.\]
\[\overparen{KC}= \overparen{KD};\] \[\overparen{NA} = \overparen{NG}\]
Nối \[AI, IB, BJ, JC, CK, KD, DL,\] \[LE,\] \[EM,\] \[MG,\] \[GN,\] \[NA\]
Ta có đa giác đều \[12\] cạnh \[AIBJCKDLEMGN.\]
\[b]\] \[AI\] là cạnh của đa giác đều \[12\] cạnh.
Kẻ \[OH AI\]
\[\widehat {IOH} = \displaystyle{{180^\circ } \over {12}} = 15^\circ \]
Xét tam giác vuông \[IOH\] có: \[OI = \displaystyle{{HI} \over {\sin \widehat {IOH}}} \]
\[\Rightarrow OI = \displaystyle{{AI} \over {2\sin \widehat {IOH}}}\]
\[\Rightarrow AI = OI.2\sin \widehat {IOH}\]
\[AI = 2. 2sin15^\circ \approx \]\[ 1,04 [cm]\]
\[c]\] \[OH = r\] bán kính đường tròn nội tiếp đa giác đều \[12\] cạnh.
Trong tam giác vuông \[OHI\] ta có \[OH = OI.{\rm{cos}}\widehat {HOI} = 2.c{\rm{os15}}^\circ \approx {\rm{1,93 [cm] }}\]