- LG a
- LG b
Tìm giao điểm của hai đường thẳng:
LG a
\[\left[ {{d_1}} \right]:5x - 2y = c\]và \[\left[ {{d_2}} \right]:x + by = 2,\]biết rằng \[[{d_1}]\]đi qua điểm \[A [5; -1]\] và \[[{d_2}]\]đi qua điểm \[B[-7; 3];\]
Phương pháp giải:
Sử dụng:
- Đường thẳng \[ax+by=c\] đi qua điểm \[M[x_0;y_0]\]\[\Leftrightarrow ax_0+by_0=c\].
- Hai đường thẳng \[[{d_1}]\]: \[ax + by = c\] và \[[{d_2}]\]: \[a'x+b'y = c'\]cắt nhau tại điểm\[M\] thì tọa độ của \[M\] là nghiệm của hệ phương trình:\[\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr
{a'x+b'y = c'} \cr} } \right.\]
- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:
+ Bước \[1\]:Rút \[x\] hoặc \[y\] từ một phương trình của hệ phương trình, thay vào phương trình còn lại, ta được phương trình mới chỉ còn một ẩn.
+ Bước \[2\]: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Lời giải chi tiết:
Vì \[[{d_1}]\]: \[5x - 2y = c\]đi qua điểm \[A[5; -1]\] nên
\[5.5 - 2.\left[ { - 1} \right] = c \Leftrightarrow c = 27.\]
Khi đó phương trình đường thẳng \[[{d_1}]\]:\[5x - 2y = 27\]
Vì \[\left[ {{d_2}} \right]:x + by = 2\]đi qua điểm \[B[ -7; 3]\] nên
\[- 7 + 3b = 2 \Leftrightarrow 3b = 9 \Leftrightarrow b = 3\]
Khi đó phương trình đường thẳng\[\left[ {{d_2}} \right]:x + 3y = 2\]
Tọa độ giao điểm của \[[{d_1}]\] và \[[{d_2}]\] là nghiệm của hệ phương trình:
\[\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{5x - 2y = 27} \cr
{x + 3y = 2} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2 - 3y} \cr
{5\left[ {2 - 3y} \right] - 2y = 27} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2 - 3y} \cr
{10 - 15y - 2y = 27} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2 - 3y} \cr
{ - 17y = 17} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2 - 3y} \cr
{y = - 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 5} \cr
{y = - 1} \cr} } \right. \cr} \]
Vậy tọa độ giao điểm của \[[{d_1}]\] và \[[{d_2}]\] là \[[5; -1]\]
LG b
\[\left[ {{d_1}} \right]:ax + 2y = - 3\]và \[\left[ {{d_2}} \right]:3x - by = 5,\]biết rằng \[[{d_1}]\]đi qua điểm \[M[3; 9]\] và \[[{d_2}]\]đi qua điểm \[N[-1; 2].\]
Phương pháp giải:
Sử dụng:
- Đường thẳng \[ax+by=c\] đi qua điểm \[M[x_0;y_0]\]\[\Leftrightarrow ax_0+by_0=c\].
- Hai đường thẳng \[[{d_1}]\]: \[ax + by = c\] và \[[{d_2}]\]: \[a'x+b'y = c'\]cắt nhau tại điểm\[M\] thì tọa độ của \[M\] là nghiệm của hệ phương trình:\[\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr
{a'x+b'y = c'} \cr} } \right.\]
- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:
+ Bước \[1\]:Rút \[x\] hoặc \[y\] từ một phương trình của hệ phương trình, thay vào phương trình còn lại, ta được phương trình mới chỉ còn một ẩn.
+ Bước \[2\]: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Lời giải chi tiết:
Vì \[\left[ {{d_1}} \right]:ax + 2y = -3\]đi qua điểm \[M [3; 9]\] nên \[a.3 + 2.9 = - 3 \Leftrightarrow 3a = - 21 \\ \Leftrightarrow a = - 7\]
Khi đó phương trình đường thẳng\[\left[ {{d_1}} \right]: - 7x + 2y = - 3\]
Vì \[\left[ {{d_2}} \right]:3x - by = 5\]đi qua điểm \[N [-1; 2]\] nên \[3.\left[ { - 1} \right] - b.2 = 5 \Leftrightarrow - 2b = 8 \\ \Leftrightarrow b = - 4\]
Khi đó phương trình đường thẳng\[\left[ {{d_2}} \right]:3x + 4y = 5\]
Tọa độ giao điểm của \[[{d_1}]\]và \[[{d_2}]\] là nghiệm của hệ phương trình:
\[\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{ - 7x + 2y = - 3} \cr
{3x + 4y = 5} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \displaystyle {{7x - 3} \over 2}} \cr
{\displaystyle 3x + 4.{{7x - 3} \over 2} = 5} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \displaystyle {{7x - 3} \over 2}} \cr
{17x = 11} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y =\displaystyle {{7x - 3} \over 2}} \cr
{x = \displaystyle{{11} \over {17}}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x =\displaystyle {{11} \over {17}}} \cr
{y = \displaystyle {{13} \over {17}}} \cr} } \right. \cr} \]
Vậy tọa độ giao điểm của \[[{d_1}]\]và \[[{d_2}]\] là\[\displaystyle\left[ {{{11} \over {17}};{{13} \over {17}}} \right]\].