- Bài III.5
- Bài III.6
- Bài III.7
- Bài III.8
Bài III.5
Chứng minh rằng \[\displaystyle S = {1 \over 2} + {1 \over {{2^2}}} + {1 \over {{2^3}}} + ... + {1 \over {{2^{20}}}} < 1\]
Phương pháp giải:
- Nhân tổng \[S\] đã cho với \[2\].
- Lấy \[2S\] vừa tìm được ở trên trừ đi \[S\] ban đầu, từ đó tìm được tổng \[S.\]
Lời giải chi tiết:
Ta có\[\displaystyle S = {1 \over 2} + {1 \over {{2^2}}} + {1 \over {{2^3}}} + ... + {1 \over {{2^{20}}}}\]
Nên \[\displaystyle 2S = 1 + {1 \over 2} + {1 \over {{2^2}}} + ... + {1 \over {{2^{19}}}}\]
Do đó \[\displaystyle 2{\rm{S}} - S = \left[ 1 + {1 \over 2} + {1 \over {{2^2}}} + ... + {1 \over {{2^{19}}}}\right]\]\[\displaystyle -\left[{1 \over 2} + {1 \over {{2^2}}} + {1 \over {{2^3}}} + ... + {1 \over {{2^{20}}}}\right] \]
Suy ra \[\displaystyle S=1 - {1 \over {{2^{20}}}}\].
Mà \[\displaystyle 1 - {1 \over {{2^{20}}}}\] nên \[S < 1.\]
Bài III.6
Có bao nhiêu cách viết phân số \[\displaystyle {1 \over 5}\]dưới dạng tổng của hai phân số \[\displaystyle {1 \over a} + {1 \over b}\]với \[0 < a < b\] ?
Phương pháp giải:
Lập luận để có các sí \[a,b\] thỏa mãn đề bài.
Lời giải chi tiết:
Vì \[\displaystyle {1 \over a} + {1 \over b} = {1 \over 5}\]nên \[\displaystyle {1 \over a} < {1 \over 5}\], suy ra \[a > 5.\] \[[1]\]
Ta lại có \[0 < a < b\] nên \[\displaystyle {1 \over a} > {1 \over b}\]. Do đó \[\displaystyle {1 \over a} + {1 \over a} > {1 \over a} + {1 \over b}\]
hay \[\displaystyle {2 \over a} > {1 \over 5} = {2 \over {10}}\], suy ra \[a < 10.\] \[[2]\]
Từ\[[1]\]và\[[2]\]ta có \[\displaystyle a \in \left\{ {6;7;8;9} \right\}.\]
Nếu\[a = 6\]thì \[\displaystyle {1 \over b} = {1 \over 5} - {1 \over 6} = {1 \over {30}}\]nên\[b = 30\]
Nếu\[a = 7\]thì \[\displaystyle {1 \over b} = {1 \over 5} - {1 \over 7} = {2 \over {35}}\]suy ra\[b = 17,5\][loại]
Nếu\[a = 8\]thì \[\displaystyle {1 \over b} = {1 \over 5} - {1 \over 8} = {3 \over {40}}\]suy ra \[\displaystyle b \approx 13,3\][loại]
Nếu\[a = 9\]thì \[\displaystyle {1 \over b} = {1 \over 5} - {1 \over 9} = {4 \over {45}}\]suy ra\[b = 11,25\][loại]
Vậy chỉ có một cách viết là \[\displaystyle {1 \over 5} = {1 \over 6} + {1 \over {30}}.\]
Bài III.7
Tìm số tự nhiên có hai chữ số sao cho tỉ số giữa số đó với tổng các chữ số của nó là lớn nhất.
Phương pháp giải:
Sử dụng:\[\overline {ab} = 10a + b\] từ đó đánh giá để có phân số lớn nhất.
Lời giải chi tiết:
Đặt \[\displaystyle k = {{\overline {ab} } \over {a + b}}\]
Ta có \[\displaystyle k = {{10{\rm{a}} + b} \over {a + b}} \le {{10{\rm{a}} + 10b} \over {a + b}}={{10[a+b]} \over {a + b}} = 10\]
Suy ra: \[\displaystyle k = 10 \Leftrightarrow b = 10b \Leftrightarrow b = 0\]
Như vậy \[k\] lớn nhất bằng \[10\] ứng với các số \[10\,;\; 20\,;\;30\,;\;\,;\;90.\]
Bài III.8
Có thể tìm được hai chữ số \[a\] và \[b\] sao cho phân số \[\displaystyle {a \over b}\]bằng số thập phân \[a, b\] hay không ?
Phương pháp giải:
Cùng so sánh hai số\[\dfrac{a}{b};a,b\] với \[a\]
Lời giải chi tiết:
Giả sử ta tìm được hai chữ số\[a\] và \[b\]sao cho \[\displaystyle {a \over b} = a,b\]
Rõ ràng ta có \[a,b > a\] [vì \[b \ne 0\]] \[[1]\]
Ta lại có \[\displaystyle {a \over b} = a.{1 \over b}\]mà \[\displaystyle {1 \over b} \le 1\]nên \[\displaystyle a.{1 \over b} \le a\]
Hay \[\displaystyle {a \over b} \le a.\] \[[2]\]
Vậy \[\displaystyle {a \over b} < a,b\]nghĩa là không tìm được hai chữ số \[a\] và \[b\] thỏa mãn đề bài.