Đề bài
Phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất trên \[\mathbb{R}\]?
A.\[\left[ {x - 5} \right]\left[ {{x^2} - x - 12} \right] = 0\]
B.\[ - {x^3} + {x^2} - 3x + 2 = 0\]
C.\[{\sin ^2}x - 5\sin x + 4 = 0\]
D.\[\sin x - \cos x + 1 = 0\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Loại đáp án, xét các đáp án bằng cách giải mỗi phương trình và suy ra số nghiệm.
Lời giải chi tiết
Đáp án A: \[\left[ {x - 5} \right]\left[ {{x^2} - x - 12} \right] = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 5 = 0\\{x^2} - x - 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - 3\\x = 4\end{array} \right.\] nên phương trình có \[3\] nghiệm.
Đáp án B: Xét hàm \[f\left[ x \right] = - {x^3} + {x^2} - 3x + 2 = 0\] có \[f'\left[ x \right] = - 3{x^2} + 2x - 3\] và \[\Delta ' = 1 - 9 = - 8 < 0\] nên \[f'\left[ x \right] < 0,\forall x \in \mathbb{R}\] hay hàm số \[f\left[ x \right]\] nghịch biến trên \[\mathbb{R}\].
Mà \[f\left[ 0 \right] = 2,f\left[ 1 \right] = - 1\] nên \[f\left[ 0 \right].f\left[ 1 \right] < 0\], hàm số \[f\left[ x \right]\] liên tục trên \[\left[ {0;1} \right]\] nên phương trình có nghiệm \[{x_0} \in \left[ {0;1} \right]\].
Kết hợp với hàm số nghịch biến trên \[\mathbb{R}\] nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất trên \[\mathbb{R}\].
Chọn B.