Cho hình H giới hạn bởi các đường: [P]:y=x2,[P']:y=4x2 và [d]:y=4 .Tính thể tích của
khối tròn xoay khi quay hình H:
a] quanh trục Ox một vòng.
b] quanh trục Oy một vòng.
Bạn đang xem tài liệu "Chuyên đề Tích phân ứng dụng - Chủ đề: Thể tích khối tròn xoay", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Chủ đề: THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY I- LÝ THUYẾT: Dạng 1: Cho hình H được giới hạn bởi: [ ] x a x b Ox y f x =ì ï =ï í ï ï =î Dạng 2: Cho hình H được giới hạn bởi: [ ] y a y b Oy x f y =ì ï =ï í ï ï =î Thể tích tạo bởi khi quay hình H quanh Ox: [ ] 2 [ ] d p= ò b a V f x x Thể tích tạo bởi khi quay hình H quanh Oy: [ ] 2 [ ] d p= ò b a V f y y * Chú ý: Một số dạng thường gặp khác về thể tích: [ ] [ ][ ]2 2 [ ] [ ] d p= -ò b a V f x g x x [ ] [ ][ ]2 2 [ ] [ ] d p= -ò b a V f y g y y Mở rộng: [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]2 2 2 2 [ ] [ ] [ ] [ ] c b a c V f x h x dx g x h x dxp p= - + -ò ò O y x f[x] ba a b f[y] O x y g[x] f[x] ba O y x O y x h[x] g[x] f[x] c ba a b f[y] g[y] O y x Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền II- VÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ 1: [TN 03- 04] Cho hình H giới hạn bởi các đường: 3 21 , 0, 0 3 y x x y x= - = = và 3x = . Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình H quanh trục Ox. Gợi ý: Dựa vào đồ thị, ta có: [ ] 2 23 3 3 2 6 5 4 0 0 5 7 6 1 1 2 d d 3 9 3 31 1 231 ®.v.t.t 63 9 5 100 HV x x x x x x x x x x p p p æ ö æ ö= - = - +ç ÷ ç ÷è ø è ø æ ö = - + =ç ÷ è ø ò ò Ví dụ 2: [TK- 2007] Cho hình H giới hạn bởi các đường: 24 ,=y x =y x . Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình H quanh trục Ox một vòng. Gợi ý: Ta có: 2 24 [P] 4 = Û = xy x y và [ ]d : =y x Xét phương trình hoành độ giao điểm của [d] và [P]: [ ] 2 0 4 0 44 =é = Û - = Û ê =ë xx x x x x Dựa vào đồ thị, ta có: [ ] [ ] 24 42 4 2 2 0 0 3 5 d d 4 16 4 64 32 1504 ®.v.t.t 3 80 3 25 750 H x x V x x x x x x p p p é ùæ ö æ öê ú= - = -ç ÷ ç ÷ ê úè ø è øë û æ ö = - = - =ç ÷ è ø ò ò Ví dụ 3: Cho hình H giới hạn bởi các đường: 2 / 2[P] : , [P ] : 4y x y x= = và [d]: 4y = .Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình H: a] quanh trục Ox một vòng. b] quanh trục Oy một vòng. Gợi ý : a] quanh trục Ox một vòng. * Xét phương trình hoành độ giao điểm của [P] và [d]: 2 2 4 2 x x x =é = Û ê = -ë * Xét phương trình hoành độ giao điểm của [P’] và [d]: 2 1 4 4 1 x x x =é = Û ê = -ë Đặt V là thể tích cần tìm. OACV là thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay [ ] 2 H' : 4 y x y Oy ì = ï =í ï î quanh Ox. x y 3 d [C] O x y 4 [P] d O x y CBA -1-2 2 4 [P'] O d[P] 1 Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền OABV là thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay [ ] 24 H'' : 4 y x y Oy ì = ï =í ï î quanh Ox. Lúc đó: [ ] [ ]p pé ù é ù= - = - - -ê ú ê úë û ë ûò ò 2 2 2 22 2 0 0 4 d 4 4 dOAC OABV V V x x x x [ ] [ ] [ ] p p p p pp = - - - æ ö æ ö = - - -ç ÷ ç ÷ è ø è ø æ ö= - - + =ç ÷è ø ò ò 2 1 4 4 0 0 5 5 4 d 4 16 d 2 1 4 4 16. 5 50 0 32 16 4 8 4 ®.v.t.t 5 5 5 x x x x x x x x b] quanh trục Oy một vòng. Ta có: = = Û =2 / 2 2[P] : , [P ] : 4 4 y y x y x x Đặt V là thể tích cần tìm. OACV là thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay [ ] [ ]ì = ³ ïï =í ï ïî 0 H' : 4 x y x y Oy quanh Oy. OBCV là thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay [ ] [ ] ì = ³ï ïï =í ï ï ïî 0 2 H'' : 4 y x x y Oy quanh Oy. Lúc đó: [ ] [ ]pp p p é ùæ öê ú= - = - = = =ç ÷ç ÷ê úè øë û ò ò 2 4 4 22 0 0 43 3 d d 2 ®.v.t.t 2 4 8 0OAC OBC y y y V V V y y y Ví dụ 4: Hình phẳng [H] là miền trong hình tròn [ ]2 24 4x y- + = . Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình [H]: a] quanh trục Ox một vòng. b] quanh trục Oy một vòng. Gợi ý : a] quanh trục Ox một vòng. Ta có [ ] [ ] [ ] 2 2 2 2 2 2 4 4 8 12 4 4 4 4 8 12 é = - - = - -ê- + = Û ê = - - - = - - -êë y x x x x y y x x x x y [C] O 62 41 x y BC A [P] d O [P'] 4 2-2 -1 1 Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Khối tròn xoay sinh ra bởi khi quanh hình phẳng 28 12 2[ ] : 6 y x x xH x Ox ì = - - ï ï = í =ï ïî quanh Ox một vòng. Lúc đó: [ ] [ ] [ ]d d ®.v.t.t 6 6 32 2 2 2 2 2 6 328 12 8 12 4 12 23 3 xV x x x x x x x x pp p p æ ö = - - = - - = - - =ç ÷ è øò ò Nhận xét: Khi quay hình tròn [H] quanh Ox một vòng thì khối tròn xoay nhận được là khối cầu với bán kính 2R = . Kiểm tra: [ ]mÆt cÇu ®.v.t.t 34 32 3 3 RV p p= = b] quanh trục Oy một vòng. Đặt V là thể tích cần tìm. ABCDEV là thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay [ ] [ ]24 4 4 2C' : 2 ì = + - ³ ï ï =í = -ï ïî x y x y y Oy quanh Oy. ABFDEV là thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay [ ] [ ]24 4 4 2C : 2 ì = - - £ ï ï =í = -ï ïî x y x y y Oy quanh Oy. Lúc đó: [ ] [ ] 2 22 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 d 16 4 dp p - - é ù= - = + - - - - = -ê úë ûò òABCDE ABFDEV V V y y y y y Đặt 2 : 22sin d 2cos d 2 : 2 p p = = = Þ = Þ = - = - x t y t y t t x t Lúc đó: [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 16 4 4sin .2cos d 64 cos d 32 1 cos2 d p p p p p p p p p - - - = - = = +ò ò òV t t t t t t t [ ] [ ]2 16 2 sin 2 32 ®.v.t.t 2 p p p p = + = - t t x y F E D A B C [C''] [C'] -2 2 O 2 41 Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi các đường : ; 2 ; 0y x y x y= = - = Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : 2[ 2]y x= - và y = 4 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh: a] Trục Ox b] Trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : 2 24 ; 2y x y x= - = + . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi các đường : 2 2 1 ; 1 2 xy y x = = + Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2x2 và y = 2x + 4 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = y2 = 4x và y = x Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 22 1 . x ex ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài9: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x ]1ln[ 3x+ ; y = 0 ; x = 1 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 10: 1] î í ì = -= 4 ]2[ 2 y xy quay quanh trôc a] 0x; b] 0y 2] î í ì = == 4 4, 22 y xyxy quay quanh trôc a] 0x; b] 0y 3] ïî ï í ì === + = 1,0,0 1 1 2 xxy x y quay quanh trôc a] 0x; b] 0y 4] î í ì = -= 0 2 2 y xxy quay quanh trôc a] 0x; b] 0y 5] ïî ï í ì == = = exx y xxy ;1 0 ln. quay quanh trôc a] 0x; 6] [D] ï î ï í ì = +-= >= 1 103 ]0[2 y xy xxy quay quanh trôc a] 0x b] Oy 7] ïî ï í ì = = xy xy 2 quay quanh trôc a] 0x; 8] MiÒn trong h×nh trßn [x - 4]2 + y2 = 1 quay quanh trôc a] 0x; b] 0y 9] MiÒn trong [E]: 1 49 22 =+ yx quay quanh trôc a] 0x; b] 0y 10] 0 1,;0 1 xy xe y x x ì = ï =í ï = £ £î quay quanh trôc 0x; 11] ï ï î ï ï í ì == = += pp xx y xxy ; 2 0 sincos 44 quay quanh trôc 0x; 12] î í ì -= = xy xy 310 2 quay quanh trôc 0x; Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 13] H×nh trßn t©m I[2;0] b¸n kÝnh R = 1 quay quanh trôc a] 0x; b] 0y 14] 4 4 0; 2 y x x x ì =ï -í ï = =î quay quanh trôc 0x; 15] ï î ï í ì == = -= 0;0 2 1 yx y xy quay quanh trôc a] 0x; b] 0y 16] 0 4 2 2 y x y x ì = ï =í ï = -î quay quanh Ox 17] 1 2 4 xy y y =ì ï =í ï =î quay quanh Oy 18] 2 0 1; 1 2 x y y x y y ì = ï = - =í ï = - -î quay quanh Oy 19] 2 2 0 y x x y ì = ï =í ï =î quay quanh trôc a] 0x; b] 0y
Tài liệu đính kèm:
- Ung dung tich phan THE TICH.pdf
Table of Contents
Nhắc đến hình học không gian chúng ta không thể không nhắc đến khối tròn xoay và thể tích của chúng? Vậy khối tròn xoay là gì? Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức nào? Hãy cùng VOH online tìm hiểu trong nội dung bài viết dưới đây.
1. Định nghĩa khối tròn xoay
Trong không gian, khối tròn xoay là một khối hình được tạo bằng cách quay một mặt phẳng quanh một trục cố định.
Trong chương trình toán học phổ thông các bạn sẽ được tiếp xúc với một số khối tròn xoay như khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay, khối cầu tròn xoay,...
2. Tính thể tích khối tròn xoay quanh trục ox
3. Tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Oy
4. Một số ví dụ tích thể tích khối tròn xoay
Dưới đây là một số ví dụ về công thức tính thể tích khối tròn xoay các bạn có thể tham khảo để nắm vững hơn phần kiến thức này:
Trên đây là định nghĩa về khối tròn xoay và công thức tính thể tích khối tròn xoay mà VOH Giáo Dục muốn chia sẻ đến với các bạn. Việc áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay để giải toán không quá khó, tuy nhiên các bạn cần lưu ý những vấn đề sau:
- Sử dụng đúng công thức cho từng trường hợp
- Chú ý khi xác định cận để áp dụng trong công thức tính thể tích
- Lưu ý khi thế cận
Nguồn ảnh: Internet