Công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là một dạng toán quan trọng của chương trình HHKG lớp 11. Bài toán này cùng với các bài toán tính góc giữa 2 mặt phẳng, khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng đều sử dụng kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Show Xem thêm: 1. Lý thuyết góc giữa đường thẳng và mặt phẳngĐịnh nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Kí hiệu góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ là \( \left(d,(P)\right) \). Nhận xét.
2. Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳngBài toán. Xác định góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$Trong thực tế, chúng ta ít khi gặp tình huống đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $(P)$ hoặc nằm trong mặt phẳng $(P)$, vì khi đó góc giữa chúng bằng $0^\circ$. Còn nếu đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ thì góc giữa chúng bằng $90^\circ$. Trường hợp còn lại, đường thẳng $d$ sẽ cắt và không vuông góc với $(P)$. Khi đó, chúng ta thực hiện 3 bước:
Chú ý. Đối với hình chóp, góc giữa cạnh bên và mặt đáy là góc tạo bởi 3 điểm: đỉnh — điểm chung — chân đường cao hình chóp. Ví dụ, Ví dụ, hình chóp $S.ABC$ có cạnh bên \( SA \) vuông góc với đáy. Hãy xác định góc giữa \( SC\) và mặt phẳng \( (ABC) \).
Suy ra, góc giữa \( SC\) và mặt phẳng \( (ABC) \) là góc \( \widehat{SCA} \). Tương tự, các em cũng có thể dễ dàng tìm được góc giữa cạnh bên $SB$ và mặt đáy $(ABC)$ là \( \widehat{SBA} \). 3. Ví dụ tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳngVí dụ 1. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a $. Cạnh $ SA=a\sqrt{6} $ và vuông góc với đáy $ (ABCD) $. Tính góc giữa:
Hướng dẫn.
Ví dụ 2. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy là tam giác đều cạnh $ a. $ Cạnh bên $ SA $ bằng $ 2a $ và vuông góc với đáy $ (ABC). $
Hướng dẫn.
Ví dụ 3. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $. Trung tuyến $ SI $ của tam giác đều $ SAB $ vuông góc với đáy $ (ABCD) $ của hình chóp. Chứng minh hai đường thẳng $ SC $ và $ SD $ tạo với mặt phẳng $ (SAB) $ hai góc bằng nhau. Tính góc giữa đường thẳng $ CM $ và mặt phẳng $ (SAB) $, trong đó $ M $ là trung điểm $ SD. $ Hướng dẫn. Hai đường thẳng $ SC $ và $ SD $ cùng tạo với mặt phẳng $ (SAB) $ góc $ 45^\circ. $ Hình chiếu của điểm $ C $ lên mặt phẳng $ (SAB) $ là $ B. $ Hình chiếu của điểm $ M $ lên mặt phẳng $ (SAB) $ là trung điểm $ N $ của $ SA. $ Góc giữa đường thẳng $ CM $ và mặt phẳng $ (SAB) $ bằng $ 30^\circ. $ Ví dụ 4. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $, tâm $ O $ và $ SO $ vuông góc với đáy. Gọi $ M, N $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ SA $ và $ BC $. Biết góc giữa đường thẳng $ MN $ và mặt phẳng $ (ABCD) $ bằng $ 60^\circ $. Tính độ dài $ MN $ và $ SO $. Tính góc giữa đường thẳng $ MN $ và mặt phẳng $ (SBD) $. Hướng dẫn. Gọi $ H $ là trung điểm của $ AO $ thì $ MH $ song song với $ SO $ nên $ H $ là hình chóp vuông góc của $ M $ lên mặt phẳng $(ABCD)$… Đáp số $ MN=\frac{a\sqrt{10}}{2},SO=\frac{a\sqrt{30}}{2};\sin\left(MN,(SBD)\right)=\frac{1}{\sqrt{5}} $ |