Cho hình hộp chữ nhật abcd a b c d khoảng cách bd và a c
Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = a,AD = AA' = 2a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $DC'$ bằngCho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a,AD = AA' = 2a\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(DC'\) bằng A. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\) B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\) C. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\) D. \(\dfrac{{3a}}{2}.\) Câu hỏi: Chohình hộp chữ nhật \(ABCD. A’B’C’D’\). Biết khoảng cách giữa\(AB\)và \(B’C\) bằng \(\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\), khoảng cách giữa\(BC\)và\(AB’\)bằng\(\frac{{16{a^3}\sqrt 3 }}{3}\), khoảng cách giữa\(AC\)và\(BD’\)bằng\(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\). Gọi\(16{a^3}\)là trung điểm\(B’C\). Tính tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng\(\left( {BMD} \right)\)và\(\left( {B’AD} \right)\). A. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\). B. \(\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\). C. \(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\). D. \(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\). GY: Cách 1 +) Chọn hệ trục tọa độ\(Oxyz\)như hình vẽ với:\(B\left( {0;0;0} \right)\),\({B^\prime }\left( {0;0;2} \right)\),\(C\left( {1;0;0} \right)\),\(A\left( {0;1;0} \right)\),\(D\left( {1;1;0} \right)\),\(M\)là trung điểm\({B^\prime }C\), suy ra\(M\left( {\frac{1}{2};0;1} \right)\). +) Ta có\(\overline {{B^\prime }A}= \left( {0;1; – 2} \right)\),\(\overline {{B^\prime }D}= \left( {1;1; – 2} \right)\),\(\left[ {\overrightarrow {B’A},\overrightarrow {B’D} } \right] = \left( {0\,;\, – 2\,;\, – 1} \right)\). Suy ra mặt phẳngcó một véctơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( {0\,;\,2\,;\,1} \right)\). +) Ta có \(\overrightarrow {BM}= \left( {\frac{1}{2};0;1} \right)\),\(\overrightarrow {BD}= \left( {1;1;0} \right)\),\(\left[ {\overrightarrow {BM},\overrightarrow {BD} } \right] = \left( { – 1;1;\frac{1}{2}} \right)\). Suy ra mặt phẳng \(\left( {BMD} \right)\) có một véctơ pháp tuyến là \(\vec n’ = \left( { – 2\,;\,2\,;\,1} \right)\). Gọi\(\alpha \)là góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {BMD} \right)\)và\(\left( {{B^\prime }AD} \right)\), ta có: \(\cos \alpha= \frac{{|\vec n \cdot \vec n|}}{{|\vec n| \cdot \left| {{{\vec n}^\prime }} \right|}} = \frac{5}{{\sqrt {5.} 3}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)\( \Rightarrow \sin \alpha= \frac{2}{3} \Rightarrow \tan \alpha= \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\). Cách 2 Gọi\(L,E\)lần lượt là trung điểm\(B{B^\prime },BA\). Dễ thấy\(MLEO\)là hình chữ nhật và\((MLEO)//\left( {{B^\prime }AD} \right)\), suy ra\(\left( {\widehat {\left( {BMD} \right),\left( {{B^\prime }AD} \right)}} \right) = \widehat {\left( {\left( {BMD} \right),\left( {MLEO} \right)} \right)}\). Gọi\(BH \cap EL = N\), kẻ\(NF//OE\). Vì\(EL//A{B^\prime } \Rightarrow BN \bot EL\), mà\(NF \bot EL\), suy ra\(EL \bot \left( {BNF} \right)\).Từ đó ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(BMD) \cap (MLEO) = MO}\\{NF \bot MO}\\{BF \bot MO}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {BMD} \right),\left( {MLEO} \right)} \right)} = \widehat {BFN}\). Xét\(\Delta BLE\)vuông tại\(B\)ta có\(\frac{1}{{B{N^2}}} = \frac{1}{{B{L^2}}} + \frac{1}{{B{E^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} \Rightarrow BN = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\). Xét\(\Delta BFN\)vuông tại\(N\)ta có\(\tan \widehat {BFN} = \frac{{BN}}{{FN}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}:\frac{a}{2} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\). Vậy tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng\(\left( {BMD} \right)\)và\(\left( {{B^\prime }AD} \right)\)bằng\(\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\). ======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Khoảng cách và góc trong không gian
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB = a, BC = b, CC’ = c. a) Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(A’BD). b) Tính khoảng cách từ điểm A’ tới đường thẳng C’D. c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.. Bài 12 trang 124 SGK Hình học 12 Nâng cao – I. Bài tập tự luận Bài 12.Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB = a, BC = b, CC’ = c. a) Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(A’BD). b) Tính khoảng cách từ điểm A’ tới đường thẳng C’D. c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.
 a) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.Ta có: \(A’\left( {0;0;c} \right),\,\,B\left( {a;0;0} \right),\,\,D\left( {0;b;0} \right).\)Phương trình mặt phẳng (A’BD) là: \({x \over a} + {y \over b} + {z \over c} – 1 = 0.\) Khoảng cách từ A(0; 0; 0) tới mp(A’BD) là: \(d = {{\left| { – 1} \right|} \over {\sqrt {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}} }} = {{abc} \over {\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}.\) Quảng cáob) Ta có \(C’\left( {a;b;c} \right).\) \(\eqalign{ & \overrightarrow {A’C’} = \left( {a,b,0} \right),\overrightarrow {C’D} = \left( { – a;0; – c} \right) \cr & \left[ {\overrightarrow {A’C’} ,\overrightarrow {C’D} } \right] = \left( { – bc,ac,ab} \right). \cr} \) Khoảng cách từ \(A’\left( {0,0,c} \right)\) tới đường thẳng C’D là: \({h_1} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {A’C’} ,\overrightarrow {C’D} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow {C’D} } \right|}} = {{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} } \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}.\) c) Ta có \(\overrightarrow {BC’} = \left( {0,b,c} \right),\overrightarrow {CD’} = \left( { – a,0,c} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0,b,0} \right),\) khoảng cách giữa BC’ và CD’ là: \({h_2} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {BC’} ,\overrightarrow {CD’} } \right].\overrightarrow {BC} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {BC’} ,\overrightarrow {CD’} } \right]} \right|}} = {{abc} \over {\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}.\)
Đáp án D
Phương pháp: - Xác định các đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng AB và B 'C, BC và AB '. - Dựa vào giải thiết khoảng cách nhận xét tính chất của hai đáy ABCD và A 'B 'C 'D '. - Xác định độ dài đoạn vuông góc chung của AC và BD '. - Tính độ dài các cạnh của hình hộp chữ nhật và suy ra thể tích
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B lên B 'C và B 'A Dễ thấy AB⊥(BCC'B') nên AB⊥BE Lại có BE⊥B'C nên dAB,B'C=BE=2a55 Tương tự có dBC,AB'=BF=2a55 Xét các tam giác vuông BCB’ và BAB’ có: 1BE2=1BF2
⇔BC=BA hay ABCD là hình vuông Suy ra BD⊥AC. Lại có AC⊥DD' nên AC⊥(BDD') Gọi M=AC∩BD,O là tâm hình hộp và H là hình chiếu của M lên BD ' Khi đó AC⊥MH và MH⊥BD' nên dAC,BD'=MH=a33 Đặt BA=BC=x, BB'=y ta có: Tam giác BB 'C vuông nên
Tam giác BMO vuông nên
Mà MB=12BD=x22,MO=12DD'=y2 nên
Từ (1) và (2) ta có:
Vậy thể tích khối hộp V=BA.BC.BB'=a.a.2a=2a3 Chọn đáp án D. |
