Cách xác định hệ số abc của phương trình đường tròn

08:38:1623/04/2019

Vì vậy, trong bài viết này chúng ta cùng hệ thống lại các dạng bài tập toán về phương trình đường tròn, vận dụng giải qua các ví dụ minh hoạ cụ thể, để từ đó các em dễ dàng vận dụng và phân loại khi gặp các dạng bài tập về đường tròn.

» Đừng bỏ lỡ: Tổng hợp các dạng toán phương trình đường thẳng trong mặt phẳng cực hay

Đây cũng là nội dung nền tảng cho kiến thức về mặt cầu trong không gian ở lớp 12, và trước khi bắt tay vào giải các dạng bài tập đường tròn thì chúng ta phải nắm vững được tính chất của đường tròn qua phần lý thuyết.

I. Lý thuyết về phương trình đường tròn

1. Phương trình đường tròn:

- Phương trình đường tròn có tâm I(a;b), bán kính R là: (x - a)2 + (y - b)2 = R2

- Nếu a2 + b2 - c > 0 thì phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn tâm I(a;b), bán kính 

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

- Cho điểm M0(x0; y0) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a;b), tiếp tuyến tại M0 của (C) có phương trình:

 (x0 - a)(x - x0) + (y0 - b)(y - y0) = 0

II. Các dạng bài tập phương trình đường tròn.

• Dạng 1: Nhận dạng phương trình đường tròn, tìm điều kiện để 1 PT là phương trình đường tròn

* Phương pháp:

+) Cách 1: Đưa phương trình đã cho về dạng: (x - a)2 + (y - b)2 = P (*)

 - Nếu P > 0 thì (*) là PT đường tròn tâm I(a;b) và bán kính 

 - Nếu P ≤ 0 thì (*) là KHÔNG là PT đường tròn.

+) Cách 2: Đưa phương trình đã cho về dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0  (**)

 ° Đặt P = a2 + b2 - c 

 - Nếu P > 0 thì (**) là PT đường tròn tâm I(a;b) và bán kính

 - Nếu P ≤ 0 thì (**) là KHÔNG là PT đường tròn.

 Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn phương trình đường tròn, tìm tâm và bán kính nếu có.

a) x2 + y2 + 2x - 4y + 9 = 0

b) x2 + y2 - 6x + 4y + 13 = 0

c) 2x2 + 2y2 - 8x - 4y - 6 = 0

d) 5x2 + 4y2 + x - 4y + 1 = 0

* Lời giải:

a) x2 + y2 + 2x - 4y + 9 = 0,

- Ta có a = -1; b = 2; c = 9 nên a2 + b2 - c = (-1)2 + (2)2 - 9 = -4 < 0, nên đây không phải là phương trình đường tròn.

b) x2 + y2 - 6x + 4y + 13 = 0,

- Tương tự có: a2 + b2 - c = (3)2 + (-2)2 - 13 = 0 < 0, nên đây không phải là phương trình đường tròn.

c) 2x2 + 2y2 - 8x - 4y - 6 = 0 ⇔ x2 + y2 - 4x - 2y - 3 = 0

- Tương tự có: a2 + b2 - c = (2)2 + (1)2 + 3 = 8 > 0, đây là phương trình đường tròn tâm I(2;1) bán kính R=2√2.

d) 5x2 + 4y2 + x - 4y + 1 = 0, phương trình này không phải pt đường tròn vì hệ số của x2 và y2 khác nhau.

 Ví dụ 2: Cho đường cong (Cm): x2 + y2 - 2mx - 4(m-2)y + 6 - m = 0

a) Tìm điều kiện của m để (Cm) là phương trình đường tròn.

b) Khi (Cm) là pt đường tròn tìm toạ độ tâm và bán kính theo m.

* Lời giải:

a) Để (Cm) là phương trình đường tròn thì: m2  +[2(m-2)]2 - (6 -m) > 0

⇔ m2 + 4m2 - 16m + 16 - 6 + m > 0

⇔ 5m2 - 15m + 10 > 0

⇔ m2 - 3m + 2 > 0

⇔ m < 1 ∪ m > 2

b) Với điều kiện trên thì (Cm) có tâm I[m;(2m - 4)] và bán kính 

 Ví dụ 3: Cho (Cα): x2 + y2 - 2xcosα - 2ysinα + cos2α = 0 (với α ≠ kπ)

a) CMR (Cα) là đường tròn

b) Xác định α để (Cα) có bán kính lớn nhất

c) Tìm quỹ tính tâm I của (Cα)

* Lời giải:

a) Để (Cα) là đường tròn thì : cos2α + sin2α - cos2α > 0

- Ta có; VT =  cos2α + sin2α - cos2α = 1 - cos2α = 2sin2α > 0 (với α ≠ kπ)

- Lưu ý: Nếu α = kπ đường tròn là 1 điểm.

b) Để (Cα) có bán kính lớn nhất:

- Ta có: R2 = 2sin2α ≤ 2 (do 0 ≤ sin2α ≤ 1)

 ⇒ Rmax = √2 khi sinα = 1 ⇒ α = (π/2 + kπ).

c) Đường tròn Cα  có toạ độ tâm I(cosα; sinα) tức là: 

 khử α ta có: x2 + y2 = 1 chính là quỹ tích tâm I của Cα.

• Dạng 2: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm

* Phương pháp:

° Cách 1: 

 - Tìm toạ độ tâm I(a;b) của đường tròn (C)

 - Tìm bán kính R của (C)

 - Viết phương trình đường tròn (C) dạng: (x - a)2 + (y - b)2 = R2

° Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0.

 - Từ điều kiện bài toán cho thiết lập hệ pt 3 ẩn a, b, c

 - Giải hệ tìm a, b, c thay vào pt đường tròn (C).

* Lưu ý: Đường tròn (C) đi qua điểm A, B thì IA2 = IB2 = R2 và thường được vận dụng vào bài toán yêu cầu viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (chính là viết pt đường tròn qua 3 điểm A, B, C).

 Ví dụ: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) Có tâm I(1;-3) và đi qua điểm O(0;0)

b) Có đường kính AB với A(1;1), B(5,3).

c) Đi qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2)

* Lời giải:

a) (C) có tâm I(1;-3) và đi qua điểm O(0;0):

- Ta có R = OI, mà 

⇒ Đường tròn (C) có tâm I(1;-3) và bán kính 

 có pt:

 (x - 1)2 + (y + 3)2 = 10

b) (C) có đường kính AB với A(1;1), B(5,3).

- Ta có toạ độ tâm I của (C) là trung điểm A,B là:

 

 

- Bán kính 

⇒ Đường tròn (C) có tâm I(3;2) và bán kính

 có pt:

  (x - 3)2 + (y - 2)2 = 5

c) Đường tròn (C) đi qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2)

- Goi (C) có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0.

- Vì (C) đi qua A, B, C nên thay lần lượt toạ độ A, B, C vào pt đường tròn (C) ta có hệ sau:

 

 

- Giải hệ trên ta được 

⇒ Đường tròn (C) là: 

• Dạng 3: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng

* Phương pháp: Dựa vào tính chất tiếp tuyến

- Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (Δ) thì: d[I,Δ] = R

- Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (Δ) tại điểm A thì: d[I,Δ] = IA = R

- Đường tròn (C) tiếp xúc với 2 đường thẳng (Δ1) và (Δ2) thì: d[I,Δ1] = d[I,Δ2] = R

 Ví dụ 1: Lập phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau:

a) (C) có tâm I(2;5) và tiếp xúc với Ox

b) (C) có tâm I(-1;2) và tiếp xúc với đường thẳng (Δ): x + 2y - 8 = 0

c) (C) đi qua A(2;-1) và tiếp xúc với 2 trục toạ độ Ox, Oy

* Lời giải:

a) (C) có tâm I(2;5) và tiếp xúc với Ox

- Ox có phương trình:  y = 0

- Bán kính R của đường tròn là khoảng cách từ I đến Ox ta có:

 

⇒ Phương trình đường tròn (C) có dạng: (x - 2)2 + (y - 5)2 = 25

b) (C) có tâm I(-1;2) và tiếp xúc với đường thẳng (Δ): x + 2y - 8 = 0

- Ta có:  

⇒ Phương trình đường tròn (C) có dạng: (x + 1)2 + (y - 2)2 = 5

c) (C) đi qua A(2;-1) và tiếp xúc với 2 trục toạ độ Ox, Oy

- Vì A nằm ở góc phần tư thứ tư nên đường tròn cũng nằm trong góc phần tư thứ tư này, nên toạ độ tâm I=(R;-R).

- Ta có:

⇔ R2 = R2 - 4R + 4 + R2 - 2R + 1

⇔ R2 - 6R + 5 = 0

⇔ R = 1 hoặc R = 5

⇒ Vậy có 2 đường tròn thoả mãn điều kiện bài toán là:

 (C1): (x - 1)2 + (y + 1)2 = 1

 (C2): (x - 5)2 + (y + 5)2 = 25

 Ví dụ 2: Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1): x + 2y - 3 = 0 và (d2): x + 3y - 5 = 0. Lập phương trình đường tròn có bán kính bằng R=√10 có tâm thuộc d1 và tiếp xúc với d2.

* Lời giải:

- Tâm I ∈ d1 nên I(-2a+3;a) do (C) tiếp xúc với d2 nên ta có:

 

⇒ I1(19;-8) và I2(-21;12)

⇒ Có 2 đường tròn thoả mãn điều kiện là:

 (C1): (x - 19)2 + (y + 8)2 = 10

 (C2): (x + 21)2 + (y - 12)2 = 10

 Ví dụ 3: Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1): x + 2y - 8 = 0 và (d2): 2x + y + 5 = 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên (d): x - 2y + 1 = 0 tiếp xúc với (d1) và d2.

* Lời giải:

- Tâm I ∈ d nên I(2a-1;a) do (C) tiếp xúc với (d1) và (d2) nên ta có:

  

⇒ Vậy có 2 đường tròn thoả mãn điều kiện.

- Với a = -12 thì I(-25;-12), 

 Phương trình đường tròn (C1):

 

 

- Với 

 thì ,  Phương trình đường tròn (C2):

 

• Dạng 4: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác

* Phương pháp:

° Cách 1:

- Tính diện tích S và nửa chu vi P của tam giác để tính được bán kính đường tròn 

- Gọi I(a;b) là tâm của đường tròn nội tiếp thì khoảng cách từ I tới 3 cạnh của tam giác bằng nhau và bằng r, từ đó lập thành hệ pt với 2 ẩn a, b.

- Giải hệ phương trình ta tìm được giá trị của a, b và phương trình đường tròn.

° Cách 2:

- Viết phương trình đường phân giác trong của 2 góc trong tam giác.

- Tìm giao điểm 2 đường phân giác đó ta được tâm I của đường tròn

- Tính khoảng cách từ I tới 1 cạnh bất kỳ của tam giác ta được bán kính.

 Ví dụ 1: Cho 2 điểm A(4;0) và B(0;3)

a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB

b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB

* Lời giải:

a) Tam giác OAB vuông tại O nên tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác tam giác OAB là trung điểm của cạnh huyền AB nên tâm toạ độ tâm I của đường tròn nội tiếp là: I=(2;3/2).

⇒ Bán kính: R = IA = 5/2

⇒ PT đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là: 

b) Ta sẽ tính diện tích và nửa chu vi của OAB

- Ta có

- Nửa chu vi: 

⇒ 

- Vì đường tròn tiếp xúc với 2 trục toạ độ nên tâm Ir=(r;r)=(1;1)

⇒ Pt đường tròn là: (x - 1)2 + (y - 1)2 = 1

 Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC tạo bởi 3 đường thẳng:

 (d1): 4x - 3y - 65 = 0

 (d2): 7x - 24y + 55 = 0

 (d3): 3x + 4y - 5 = 0

* Lời giải:

- Gọi ABC là tam giác đã cho với các cạnh là:

 AB: 4x - 3y - 65 = 0

 BC: 7x - 24y + 55 = 0

 CA: 3x + 4y - 5 = 0

- Ta tính được A(11;-7), B(23;9), C(-1;2)

- Ta có VTPT:

,  

- Dễ thấy tam giác vuông tại A do 

- Tính độ dài các cạnh ta có: AB = 20 ; BC = 25; CA = 15

- Diện tích tam giác ABC: SABC = 150

- Nửa chu vi là: 

- Bán kính đường tròn nội tiếp là: r = S/P = 150/30 = 5.

- Gọi bán kính đường tròn nội tiếp là I(a;b) thì khoảng cách từ I tới các đường thẳng đã cho đều là r=5 nên ta có.

- Giải hệ trên ta được: a = 10 và b = 0;

⇒ Phương trình đường tròn cần tìm là: (x - 10)2 + y2 = 25