Các bài tập biến đổi các biểu thức dưới căn

$\sqrt{A^2.B}=\sqrt{A^2}.\sqrt{B}=|A|.\sqrt{B}\,\,\,với\,\,B\geq0 \\|A|.\sqrt{B}=\begin{cases}A.\sqrt{B}\,\,\,(A\geq0;\,\,B\geq0)\\-A.\sqrt{B}\,\,\,(A\leq0;\,\,B\geq0)\end{cases}$

2. Phương pháp giải

- Đối với biểu thức số: Chia các số trong căn với các số chính phương

- Đối với biểu thức chứa biến: Tách các biểu thức chứa biến dưới dấu căn thành tích của lũy thừa bậc chẵn

3. Ví dụ

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: $\sqrt{2}+\sqrt{8}+\sqrt{50}$

Giải: $\sqrt{2}+\sqrt{8}+\sqrt{50}=\sqrt{2}+\sqrt{2.2^2}+\sqrt{2.5^2}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}$

Ví dụ 2: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: $\sqrt{28b^3}\,\,\,với\,\, b\geq0$

Giải: $\sqrt{28b^3}=\sqrt{2^2.7.b^2.b}=\sqrt{(2.b)^2.7.b}=|2b|.\sqrt{7b}=2b.\sqrt{7b}$ vì $b\geq0$

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

1. Công thức

- Với $A\geq0;\,\,B\geq0$ thì $A.\sqrt{B}=\sqrt{A^2}.\sqrt{B}=\sqrt{A^2.B}$

- Với $A<0;\,\,B\geq0$ thì $A.\sqrt{B}=-\sqrt{A^2}.\sqrt{B}=-\sqrt{A^2.B}$

2. Phương pháp giải

Bước 1: Viết $A\geq0$ thành $\sqrt{A^2}$

Bước 2: Áp dụng quy tắc: $\sqrt{A}.\sqrt{B}=\sqrt{A.B}$

Bước 3: Rút gọn biểu thức trong căn

3. Ví dụ

Ví dụ 1: Đưa thừa số vào trong dấu căn

1. $3\sqrt{5}$ b) $-7\sqrt{2}$

Giải

1. $3\sqrt{5}=\sqrt{3^2}.\sqrt{5}=\sqrt{3^2.5}=\sqrt{45}$

2. $-7\sqrt{2}=-\sqrt{7^2}.\sqrt{2}=-\sqrt{7^2.2}=-\sqrt{98}$

Ví dụ 2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

1. $5a^2.\sqrt{3a}\,\,\,(a\geq0)$ b) $-3a^2.\sqrt{ab}\,\,\,(a.b\geq0)$

Giải

$5a^2.\sqrt{3a}\\\n=\sqrt{(5a^2)^2}.\sqrt{3a}\\\n=\sqrt{(5a^2)^2.3a}\\\n=\sqrt{75.a^5}$ với $a\geq0$

b)

$-3a^2.\sqrt{ab}\\\n=-\sqrt{(3a^2)^2}.\sqrt{ab}\\\n=-\sqrt{(3a^2)^2.ab}\\\n=-\sqrt{9a^5b}$ với $a\geq0;b\geq0$

3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

1. Công thức

Với $A.B\geq0;\,\,B\neq0$ thì $\sqrt{\frac{A}{B}}=\sqrt{\frac{A.B}{B^2}}=\frac{\sqrt{A.B}}{\sqrt{B^2}}=\frac{\sqrt{A.B}}{|B|}$

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn $\sqrt{\frac{4}{5}}$

Giải:

$\sqrt{\frac{4}{5}}\\\n=\sqrt{\frac{4.5}{25}}\\\n=\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{25}}\\\n=\frac{\sqrt{20}}{5}$

Ví dụ 2. Khử mẫu của biểu thức lấy căn $\sqrt{\frac{3}{2a}}$ với a > 0

Giải:

$\sqrt{\frac{3}{2a}}\\\n=\sqrt{\frac{3.2a}{(2a)^2}}\\\n=\frac{\sqrt{6a}}{\sqrt{(2a)^2}}\\\n=\frac{\sqrt{6a}}{2a}$ vì a > 0

4. Trục căn thức ở mẫu số

1. Với các biểu thức A; B mà B > 0, ta có: $\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A.\sqrt{B}}{B}$

Ví dụ 1: Trục căn thức ở mẫu $\frac{5}{3\sqrt{7}}$

Giải: $\frac{5}{3\sqrt{7}}=\frac{5.\sqrt{7}}{3.7}=\frac{5\sqrt{7}}{21}$

Ví dụ 2: Trục căn thức ở mẫu $\frac{2}{\sqrt{b}}$ với b > 0

Giải: $\frac{2}{\sqrt{b}}=\frac{2\sqrt{b}}{b}$ với b > 0

2. Với các biểu thức A; B; C mà $A\geq0;\,\,A\neq B^2$ ta có: $\frac{C}{\sqrt{A} \,\pm\,B}=\frac{C.(\sqrt{A}\,\mp\,B)}{A-B^2}$

Ví dụ 1: Trục căn thức ở mẫu $\frac{5}{5-2\sqrt{3}}$

Giải:

$\frac{5}{5-2\sqrt{3}}\\\n=\frac{5.(5+2\sqrt{3})}{5^2-(2\sqrt{3})^2}\\\n=\frac{25+10\sqrt{3}}{13}$

Ví dụ 2: Trục căn thức ở mẫu $\frac{2a}{1+\sqrt{a}}$ với a > 0

Giải: $\frac{2a}{1+\sqrt{a}}=\frac{2a(1-\sqrt{a})}{1-a}$ với a > 0

3. Với A; B; C là các biểu thức mà $A\geq0;\,\,B\geq0;\,\,A\neq B$ ta có: $\frac{C}{\sqrt{A} \,\pm\,\sqrt{B}}=\frac{C.(\sqrt{A}\,\mp\,\sqrt{B})}{A-B}$

Ví dụ 1. Trục căn thức ở mẫu $\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$

Giải:

$\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}=\frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{7-5}\\\n=\frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{2}\\\n=2.(\sqrt{7}-\sqrt{5})$