Không ít các bạn học sinh THPT bày tỏ rằng mình thường hay gặp khó khăn với các dạng toán tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm. Hãy cùng Vuihoc điểm nhanh lý thuyết cũng như một số cách giải dạng toán “khó nhằn” này nhé!
Trước khi tìm hiểu lý thuyết và bài tập tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm, các em tham khảo bảng tổng quan kiến thức dưới đây để khái quát về dạng toán này nhé!
1. Ôn tập lý thuyết về bất phương trình mũ
1.1. Công thức bất phương trình mũ cơ bản
Trước khi vào chi tiết bài toán tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm, ta cần hiểu lý thuyết cơ bản về bất phương trình mũ.
Bất phương trình mũ cơ bản có dạng $a^{x}>b$ [hoặc $a^{x} 0, a ≠1 Ta xét bất phương trình có dạng $a^{x}>b$.
• Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình là $\mathbb{R}$, vì $a^{x}>b$, ∀x ∈ $\mathbb{R}$.
• Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với $a^{x}>b$.
Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là $x>log_{a}b$
Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là $xf[x]$ hoặc $A[m]\geq f[x]$ hoặc $A[m]\leq f[x]$ hoặc $A[m]1: $a^{f[x]}>b^{f[x]}>log_ab$
Với 0 f[x2] với ∀x1, x2 ∈ M
Hàm số [C] gọi là nghịch biến trên M khi x1 > x2 ⇒ f[x1] < f[x2] với ∀x1, x2 ∈ M
Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu:
Giả sử I là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng. Hàm số f liên tục và có đạo hàm trên khoảng I. Khi đó hàm số f:
- Đồng biến trên $I\Leftrightarrow f'[x]\geq 0,\forall x\in I$
- Nghịch biến trên $I\Leftrightarrow f'[x]\leq 0,\forall x\in I$
Cụ thể hơn, chúng ta cùng xét ví dụ sau đây:
3. Bài tập áp dụng
Để hiểu sâu hơn và nắm vững lý thuyết, VUIHOC gửi tặng các em bộ tài liệu đầy đủ các dạng toán tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm dễ gặp nhất trong chương trình học và các đề thi. Tải về ngay nhé!
Tải xuống bộ tài liệu toán tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm
Các em đã cùng Vuihoc điểm lại lý thuyết cùng những phương pháp giải bài toán tìm m để bất phương trình mũ có nghiệm. Hy vọng rằng sau bài viết này, các em sẽ dễ dàng xử lý các bài toán bất phương trình mũ có tham số.
| - Bước 1. Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng $f\left[ x \right]=P\left[ m \right]$.
- Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $f\left[ x \right]$ trên D. - Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số $P\left[ m \right]$ để đường thẳng $y=P\left[ m \right]$ nằm ngang cắt đồ thị hàm số $y=f\left[ x \right]$. |
Một số kiến thức quan trọng để giải quyết bài toán 1
Hàm số $y=f\left[ x \right]$ có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên D thì giá trị $P\left[ m \right]$ cần tìm để phương trình có nghiệm thỏa mãn $\underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f\left[ x \right]\le P\left[ m \right]\le \underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,f\left[ x \right]$
Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng $y=P\left[ m \right]$ nằm ngang cắt đồ thị hàm số $y=f\left[ x \right]$ tại k điểm phân biệt.
Nếu đổi biến, nói cách khác là đặt ẩn phụ thì ta cần tìm điều kiện cho biến mới và biện luận mối tương quan số nghiệm giữa biến cũ và biến mới.
Nếu đề bài yêu cầu tìm tham số m để phương trình bậc hai theo mũ hoặc lôgarit có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{\text{x}}_{1}}+{{x}_{2}}=a$ hoặc ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=b$, ta có thể sử dụng định lý Vi-ét sau khi lấy mũ hoặc lôgarit hai vế hợp lí.
2. Bài toán 2. Tìm tham số m để $f\left[ x;m \right]\ge 0$ hoặc $f\left[ x;m \right]\le 0$ có nghiệm trên D.
| - Bước 1. Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng $f\left[ x \right]\ge P\left[ m \right]$ hoặc $f\left[ x \right]\le P\left[ m \right]$
- Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $f\left[ x \right]$ trên D. - Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị của tham số $P\left[ m \right]$ để bất phương trình có nghiệm: * $P\left[ m \right]\le f\left[ x \right]$ có nghiệm trên D $\Leftrightarrow P\left[ m \right]\le \underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,f\left[ x \right]$. * $P\left[ m \right]\ge f\left[ x \right]$ có nghiệm trên D $\Leftrightarrow P\left[ m \right]\ge \underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f\left[ x \right]$. |
Một số kiến thức quan trọng để giải quyết bài toán 2
– Bất phương trình $P\left[ m \right]\le f\left[ x \right]$ nghiệm đúng $\forall x\in D\Leftrightarrow P\left[ m \right]\le \underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f\left[ x \right]$.
– Bất phương trình $P\left[ m \right]\ge f\left[ x \right]$ nghiệm đúng $\forall x\in D\Leftrightarrow P\left[ m \right]\ge \underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,f\left[ x \right]$.
– Nếu $f\left[ x;m \right]\ge 0;\forall x\in \mathbb{R}$ hoặc $f\left[ x;m \right]\le 0;\forall x\in \mathbb{R}$ với $f\left[ x;m \right]$ là tam thức bậc hai, ta sẽ sử dụng dấu của tam thức bậc hai.
3. Một số phương pháp áp dụng trong bài toán
| a] Phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt $t={{a}^{u\left[ x \right]}}$ hoặc $t={{\log }_{a}}u\left[ x \right]$, tùy theo điều kiện của x ta sẽ tìm được miền xác định của biến t.
b] Phương pháp hàm số: Đưa phương trình [bất phương trình] về dạng $f\left[ u \right]=f\left[ v \right]$ với $f\left[ t \right]$là hàm số đơn điệu và đại diện cho hai vế của phương trình. Khi đó $f\left[ u \right]=f\left[ v \right]\Leftrightarrow u=v$. c] Dấu của tam thức bậc hai: Xét hàm số $f\left[ x \right]=a{{x}^{2}}+bx+c$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ – Ta có $\Delta ={{b}^{2}}-4\text{a}c$ và định lý Vi-ét: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{array} \right.$. – Phương trình $f\left[ x \right]=0$ có hai nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta >0 \\ {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}>0 \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}>0 \\ \end{array} \right.$. – Phương trình $f\left[ x \right]=0$ có hai nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow ac0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} a>0 \\ {} \Delta 0$ Suy ra hàm số $f\left[ x \right]$ đồng biến trên ℝ, do đó $f\left[ 0 \right]0;\forall x\in \mathbb{R}$. Suy ra $f\left[ t \right]$ là hàm số đồng biến trên $\left[ -\infty ;+\infty \right]$ nên [*] $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+m\text{x}=2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+m\text{x}+m=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta ={{m}^{2}}-4m>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m>4 \\ {} m0;\forall t>0$. Suy ra $f\left[ t \right]$ là hàm số đồng biến trên $\left[ 0;+\infty \right]\Leftrightarrow \min f\left[ t \right]=-3$. Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m>\underset{\left[ 0;+\infty \right]}{\mathop{\min }}\,f\left[ t \right]=-3$. Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -10;10 \right]\xrightarrow{{}}$ có 13 giá trị nguyên cần tìm. Chọn D.
Lời giải Bất phương trình $\Leftrightarrow 3m+\left[ 3m+2 \right].{{\left[ \frac{4-\sqrt{7}}{3} \right]}^{x}}+{{\left[ \frac{4+\sqrt{7}}{3} \right]}^{x}}>0$ [*]. Ta có $\frac{4-\sqrt{7}}{3}.\frac{4+\sqrt{7}}{3}=1\Leftrightarrow {{\left[ \frac{4-\sqrt{7}}{3} \right]}^{x}}={{\left[ \frac{4+\sqrt{7}}{3} \right]}^{-x}}$ nên đặt $t={{\left[ \frac{4+\sqrt{7}}{3} \right]}^{x}}\Rightarrow {{\left[ \frac{4-\sqrt{7}}{3} \right]}^{x}}=\frac{1}{t}$. Khi đó [*] $\Leftrightarrow 3m+\frac{3m+2}{t}+t>0,\forall t\in \left[ 0;1 \right]\Leftrightarrow 3m>-\frac{{{t}^{2}}+2}{t+1},\forall t\in \left[ 0;1 \right]$ Xét hàm số $f\left[ t \right]=-\frac{{{t}^{2}}+2}{t+1}$ trên $\left[ 0;1 \right]$, suy ra $\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left[ t \right]=f\left[ \sqrt{3}-1 \right]=2-2\sqrt{3}$. Do đó $3m>f\left[ t \right];\forall t\in \left[ 0;1 \right]\Leftrightarrow 3m>2-2\sqrt{3}\Leftrightarrow m>\frac{2-2\sqrt{3}}{3}$. Chọn B.
|