VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Vị trí tương đối của hai mặt phẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: Phương pháp giải. Cho hai mặt phẳng [P1] A1c + B12 + C1z + D = 0 và [P] Ag + B2 + C2 + D. Khi đó ta có ba trường hợp 1. [Pi] = [P2] 2. [P1] || [P2] 3. [P1] cắt [P] # A. Ví dụ 45. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng [P] x + y + z – 1 = 0 và [Q] 2x – 1 = 0. Lời giải. Cách 1: Ta có mp [P] = [1; 1; 1], [Q] = [2; 0; 0]. Ta thấy [P] cắt [Q]. Cách 2: Ta thấy [P] luôn cắt các mặt phẳng toạ độ, mặt khác mặt phẳng [Q] song song với mặt phẳng [Oga]. Vậy [P] và [2] cắt nhau. Ví dụ 46. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng [P] 20 – 30 + 5 – 1 = 0 và [Q] y – 2 = 0. Cách 1: Ta có n[P] = [2; -3; 5], m2 = [1; -1; -1]. [P] cắt [O]. Cách 2: Ta thấy [P] cắt [Q]. Ví dụ 47. Cho [P] [m + 1]x + [m + 3]+ 2x – 1 = 0 và [2] c + 2 + 23 = 0. Tìm m, n + IR để [P] song song với [Q]. Ví dụ 48. Cho [P] [m + 2m]x + [2n2 + 3]x + z – 8 = 0 và [2] c – mg +[m2 – 5m + 15]2 – 3 = 0. Chứng tỏ [P] và [Q] cắt nhau. Vậy [P] luôn cắt [Q].
Ví dụ 49. Viết phương trình mặt phẳng [P] qua A[1; 2; 3] và song song với mặt phẳng [Q] c + 2y – 3z +3= 0. Vì [P] || [Q] nên ta có [P] c + 29 – 32 + m = 0, mở 3. Ta có A[1; 2; 3] + [P] > m = -3+3. Vậy [P] c + 29 – 32 – 3 = 0. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 57. Cho [P] c + 24 – 22 – 3 = 0 và [Q] [m + 1]x – [m – 5] – 4mx + 1 + m = 0. Tìm m để [P] song song với [Q]. Đáp số: m = 1. Bài 58. Viết phương trình mặt phẳng [P] qua A[1; 2; 3] song song với mặt phẳng [Org]. Đáp số: [P] = − 3 = 0.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- Trùng nhau; - Cắt nhau;-Khơng cắt nhau: Đây chính là hai mặt phẳng song song.
B. BÀI MỚI: NỘI DUNG LƯU BẢNG
HỌAT ĐỘNG THẦY HỌAT ĐỘNG TRỊĐịnh nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là songsong nếu chúng khơng có điểm chung.Định lí: Nếu mặt phẳng P chứa haiđường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳngQ thì P song song với Q.Tính chất 1: Qua một điểm nằm ngồi mộtmặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặtphẳng đó.Thực hiện ?1 và ?2→ nêu định nghĩa.Thực hiện ?3 và ?4⇒ nêu định lí⇒ nêu cách chứng minh hai mpsong song. + Tìm trong P có a và b cắtnhau mà a Q và b Q + suy ra P QYêu cầu hs thực hiện H1: trong 5 phút Nêu tính chất 1 Hướng dẫn HS chứng minhtính chất 1Gợi ý trả lời ?1: Hai mặt phẳng phân biệt Pvà Q không thể không thể có ba điểm chung khơng thẳnghàng vì nếu có thì chúng sẽ trùng nhau.Gợi ý trả lời ?2: Nếu hai mặt phẳng phân biệtP và Q có một điểm chung thì chúng có vơ số điểm chung,các điểm chung đó nằm trên một đường thẳngGợi ý trả lời ?3: Mọi đường thẳng nằm trên Pđều song song với Q vì nếu có đường thẳng nằm trên P cắtQ tại một điểm thì điểm ấy là điểm chung của P và Q.Gợi ý trả lời ?4: Khẳng định đã cho đúng vìnếu P và Q có điểm chung A thì mọi đường thẳng nằm trênP qua điểm A đều cắt Q tại điểm A.Gợi ý trả lời H1: a mpP và mpQ khôngtrùng nhau vì nếu chúng trùng nhau thì đường thẳng a nằm trênP cũng phải nằm trên Q mâu thuẩn với giả thiết aQ.b Do a Q và a nằm trên P, nên P cắt Q theo giaotuyến c song song với a . Lí luận tương tự c b⇒ a song song với b hoặc atrùng với b, mâu thuẩn với giả thiết.52Hệ quả 1: Nếu đường thẳng a song songvới mặt phẳng Q thì có duy nhất một mặt phẳng P chứa avà song song với QHệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùngsong song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng P và Qsong song thì mọi mặt phẳng ® đã cắt P thì phải cắt Q vàcác giao tuyến của chúng song song.Định lí 2: Ba mặt phẳng đơi một songsong chắn ra trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tươngứng tỉ lệ.Định lí 3: Giả sử trên hai đường thẳngchéo nhau a và a’ lần lượt lấy các điểm A, B, C và A, B’, C’sao choAB BCCA A BB C C A= =Khi đó, ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ lần lượt nằm trên bamặt phẳng song song, tức là chúng cùng song song với mộtmặt phẳng. 5.Hình lăng trụ và hình hộp:a Định nghĩa hình lăng trụ: Hình hợp bởi các hình bìnhA abb a Nêu hệ quả 1 - 2.Thực hiện ?5.→ nêu tính chất 2Hướng dẫn hs chứng minh định lí.Hướng dẫn hs hiểu ví dụ SGK- trang 64.Dùng hình vẽ 69 SGK trng 65 giới thiệu cho hs về hình lăngtrụ.Gợi ý trả lời ?5: Hai đường thẳng a và b khơngcó điểm chung, vì nếu chúng có điểm A thì P và Q cũng cóđiểm chung A đó.53hành A1A2A’2A’1, A2A3A’3A’2, …, AnA1A’1A’nvà hai đa giác A1A2… An, A’1A’2… A’ngọi làhình lăng trụ hoặc lăng trụ, và kí hiệu A1A2… An, A’1A’2… A’nb Hình hộp: Hình lăng trụ có đáy là hìnhbình hành được gọi là hình hộp.c Hình chóp cụt: Định nghĩa:SGK Tính chất:Hình chóp cụt có:a Hai đáy là hai đa giác có cạnh tương ứng song song và tỉsố các cạnh tương ứng bằng nhau.b Các mặt bên là những hình thang.c Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại mộtđiểm. →định nghĩa.Giới thiệu cho hs biết các khái niệm:+ mặt bên + mặt đáy+ cạnh đáy + cạnh bên+ đỉnh + Lăng tru tam giác, lăng trụ tứgiác, lăng trụ ngũ giác,… + hai mặt đối diện…+ Hình hộp: Hình lăng trụ có đáy là hìnhbình hành được gọi là hình hộp.Thực hiện ?6.Yêu cầu hs thực hiện H2:Giới thiệu cho hs biết các khái niệm:+ Đáy lớn, đáy nhỏ. + mặt bên, cạnh bên.+ Hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chóp cụtngũ giác,…Gợi ý trả lời ?6: Có thể xem hai mặt đối diệnnào đó của hình hộp là hai mặt đáy của nó. Khi đó các mặt cònlại là các mặt bên. Gợi ý trả lời H2:Vì AB và C’D song song và bằng nhau⇒ ABC’D’ là hình bình hành⇒ các đường chéo của hình hộpcắt nhau tại trung điểm mỗi đường.⇒ đpcm.V. MỘT SỐ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ:54Hãy khoanh tròn ý mà em cho là hợp lí Câu 1. Cho d⊄ α. Có duy nhất một mặt phẳng qua d và song song với αa Đúng b SaiCâu 2. PQ, α∩ P = a;α ∩Q = b ⇒ab a Đúngb Sai Câu3. Hai đa giác đáy của hình lăng trụ có diện tích bằng nhaua Đúng b SaiCâu 4. Các cạnh bên của hình lăng trụ song song và bằng nhau a Đúngb Sai Câu 5. Các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quya Đúng b SaiCâu 6. Các mặt bên của hình chóp cụt là những hình thang. a Đúngb SaiCâu 7. Cho hình hộp ABCDA’B’C’DHãy điền đúng, sai vào các ô trống sau đây: a A’BCD’ là hình bình hành b A’B và DC’ chéo nhau c BD song song với mặt phẳng A’B’C’D d Cả ba câu trên đều sai Trả lờia bc dĐ ĐĐ SCâu 8. Cho hình hộp ABCDA’B’C’DHãy điền đúng, sai vào các ô trống sau đây: a Các đường thẳng A’C, AC’, BD’ và B’D đồng quy b Hai mặt phẳng ABB’A’ và DCC’D song song c Hai mặt phẳng ADD’A’ và BCC’B” song song d Cả ba câu trên đều sai Trả lờia bc dĐ ĐĐ SChọn câu trả lời đúng trong các bài tập sau55Câu 9.Cho hình chóp SABCD. N là trung điểm SB, mặt phẳng αđi qua N và song song với mpABC như hình vẽ.a Hai mặt phẳng αvà INP khác nhau b NP cắt BCc NP cắt AC d MPBCTrả lời: dCâu 10.Cho hình chóp SABCD. N là trung điểm SB, mặt phẳng αđi qua N và song song với mpABC như hình vẽ.a INBA là hình bình hành b INBA là hình thangc IP cắt ABC d IP cắt ABTrả lời: bHƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP SGK 29. Các mệnh đề đúng: b, c, f30. Các mệnh đề đúng: a, d, e 31. Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau. Qua một điểm A∈ a, vẽ đường thẳng b’ song songvới b và qua một điểm B ∈b vẽ đường thẳng a’ song song với a h.54 Gọi P=mpa, b’, Q=mpb, a’ thì rõ ràng PQA abb a5632. Giả sử còn có mpP’ và mpQ’ lần lượt qua a và b và song song với nhau. Khi đó ta có bP’, và b’’P suy ra giao tuyến a của P và P’ cũng song song với b trái với giả thiết.Giả sử c = mpM, a ∩mpM, b. Ta cần chứng minh c cắt cả a và b. Vì c và a cùng nằm trên một mặt phẳng và không thể trùng nhau do c qua M và a không đi qua M. Vậy hoặc ca hoặc c cắt a.Cũng vậy hoặc cb hoặc c cắt b. Không thể xảy ra đồng thời ca, cb vì a và b chéo nhau. Vậy nếu c song song với a thì c phải cắt b; tức là c đi qua một điểm của mpQ và song song với a nên c phảithuợc mpQ , và do đó M thuộc Q trái với giả thiết. Tương tự, khơng thể có c song song b. Tóm lại c phải cắt cả a và b.TOANMATH.com giới thiệu đến bạn đọc bài viết vị trí tương đối của hai mặt phẳng thuộc chương trình Hình học 12 chương 3: phương pháp tọa độ trong không gian.
1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $[P]$ và $[Q]$ có phương trình:
$[P]: Ax + By +Cz + D = 0$, ${A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0.$
$[Q]: A’x + B’y + C’z + D’ = 0$, $A{‘^2} + B{‘^2} + C{‘^2} \ne 0.$
Có $3$ vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng $[P]$ và $[Q]$:
+ Cắt nhau: $A:B:C \ne A’:B’:C’.$
+ Trùng nhau: $\frac{A}{{A’}} = \frac{B}{{B’}} = \frac{C}{{C’}} = \frac{D}{{D’}}.$
+ Song song: $\frac{A}{{A’}} = \frac{B}{{B’}} = \frac{C}{{C’}} \ne \frac{D}{{D’}}.$
Chú ý: Cho mặt phẳng $[P]:Ax + By + Cz + D = 0.$
Hai điểm ${M_1}\left[ {{x_1};{y_1};{z_1}} \right]$ và ${M_2}\left[ {{x_2};{y_2};{z_2}} \right]$ nằm về hai phía của mặt phẳng $[P]$ khi và chỉ khi: $\left[ {A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + {D_1}} \right]\left[ {A{x_2} + B{y_2} + C{z_2} + D} \right] < 0.$Hai điểm ${M_1}\left[ {{x_1};{y_1};{z_1}} \right]$ và ${M_2}\left[ {{x_2};{y_2};{z_2}} \right]$ nằm cùng phía của mặt phẳng $[P]$ khi và chi khi: $\left[ {A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + {D_1}} \right]\left[ {A{x_2} + B{y_2} + C{z_2} + D} \right] > 0.$
2. Một số bài toán minh họa
Bài toán 1: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mặt phẳng cho bởi các phương trình sau:
a] $x + 2y – z + 5 = 0$ và $2x + 3y – 7z – 4 = 0.$
b] $x – 2y + z – 3 = 0$ và $2x – 4y + 2z – 6 = 0.$
c] $x + y + z – 1 = 0$ và $2x + 2y + 2z + 3 = 0.$
a] Hai VTPT là $\vec n = [1;2; – 1]$ và $\overrightarrow {n’} = [2;3; – 7].$ Hai vectơ pháp tuyến không cùng phương nên hai mặt phẳng cắt nhau. b] Các hệ số của hai phương trình mặt phẳng tương ứng tỉ lệ nên hai mặt phẳng trùng nhau.
c] Ta có: $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \ne \frac{{ – 1}}{3}$ nên hai mặt phẳng song song.
Bài toán 2: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình sau: a] $3x – 2y + 3z + 5 = 0$ và $9x – 6y – 9z – 5 = 0.$ b] $x – y + 2z – 4 = 0$ và $10x – 10y + 20z – 40 = 0.$
c] $2x – 4y + 6z – 2 = 0$ và $3x – 6y + 9z + 3 = 0.$
a] Ta có $3:[ – 2]:3 \ne 9:[ – 6]:[ – 9]$ nên hai mặt phẳng cắt nhau. b] $\frac{1}{{10}} = \frac{{ – 1}}{{ – 10}} = \frac{2}{{20}} = \frac{{ – 4}}{{ – 40}}$ nên hai mặt phẳng trùng nhau.
c] Ta có $\frac{2}{3} = \frac{{ – 4}}{{ – 6}} = \frac{6}{9} \ne \frac{{ – 2}}{3}$ nên hai mặt phẳng song song.
Bài toán 3: Xác định giá trị của $m$ và $n$ để mỗi cặp mặt phẳng sau đây song song: a] $2x + ny + 2z + 3 = 0$ và $mx + 2y – 4z + 7 = 0.$
b] $2x + y + mz – 2 = 0$ và $x + ny + 2z + 8 = 0.$
a] Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi $\frac{2}{m} = \frac{n}{2} = \frac{2}{{ – 4}} \ne \frac{3}{7}.$ Vậy $n = – 1$, $m = – 4.$ b] Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi $\frac{2}{1} = \frac{1}{n} = \frac{m}{2} \ne \frac{{ – 2}}{8}.$
Vậy $m = 4$, $n = \frac{1}{2}.$
Bài toán 4: Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng: $[P]:2x – y – 3z + 1 = 0$, $[Q]:x + 3y – 2z – 2 = 0$ và mặt phẳng $[R]:mx – [m + 1]y + [m + 5]z + 2 = 0$ với $m$ là một số thay đổi. a] Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng $[P]$ và $[Q]$ cắt nhau.
b] Tìm $m$ để cho mặt phẳng $[R]$ song song với mặt phẳng $[P].$
a] Ta có $2:[ – 1]:[ – 3] \ne 1:3:[ – 2]$ nên hai mặt phẳng $[P]$ và $[Q]$ cắt nhau. b] Điều kiện mặt phẳng $[R]$ song song với mặt phẳng $[P]$ là: $\frac{m}{2} = \frac{{ – [m + 1]}}{{ – 1}} = \frac{{m + 5}}{{ – 3}} \ne \frac{2}{1}.$ Từ $\frac{m}{2} = \frac{{ – [m + 1]}}{{ – 1}}$ ta suy ra $m= -2.$
Giá trị $m= -2$ thoả điều kiện nên với $m=-2$ thì hai mặt phẳng $[R]$ và $[P]$ song song.
Bài toán 5: Hãy xác định giá trị của $m$ để các cặp mặt phẳng sau đây vuông góc với nhau: a] $3x – 5y + mz – 3 = 0$ và $x + 3y + 2z + 5 = 0.$
b] $5x + y – 3z – 2 = 0$ và $2x + my – 3z + 1 = 0.$
a] Hai VTPT $\vec n = [3; – 5;m]$, $\overrightarrow {n’} = [1;3;2].$ Điều kiện $2$ mặt phẳng vuông góc là: $\vec n.\overrightarrow {n’} = 0$ $ \Leftrightarrow 3.1 + [ – 5].3 + m.2 = 0$ $ \Leftrightarrow m = 6.$ b] Hai VTPT $\vec n = [5;1; – 2]$, $\overrightarrow {n’} = [2;m; – 3].$
Điều kiện $2$ mặt phẳng vuông góc là: $\vec n.\overrightarrow {n’} = 0$ $ \Leftrightarrow 5.2 + 1.m + [ – 3].[ – 3] = 0$ $ \Leftrightarrow m = – 19.$
Bài toán 6: Cho hai mặt phẳng có phương trình là: $2x – my + 3z – 6 + m = 0$ và $[m + 3]x – 2y + [5m + 1]z – 10 = 0.$ a] Với giá trị nào của $m$ thì hai mặt phẳng đó song song; trùng nhau; cắt nhau.
b] Với giá trị nào của $m$ thì hai mặt phẳng đó vuông góc.
a] Hai mặt phẳng đã cho có các vectơ pháp tuyến lần lượt là: $\overrightarrow {{n_1}} [2; – m;3]$ và $\overrightarrow {{n_2}} = [m + 3; – 2;5m + 1].$ Ta có: $\left[ {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right]$ $ = \left[ { – 5{m^2} – m + 6; – 7m + 7;{m^2} + 3m – 4} \right].$ Hai vectơ đó cùng phương khi và chỉ khi $\left[ {{{\vec n}_1};{{\vec n}_2}} \right] = \vec 0$, tức là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { – 5{m^2} – m + 6 = 0}\\ { – 7m + 7 = 0}\\ {{m^2} + 3m – 4 = 0} \end{array}} \right.$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m = 1,m = – \frac{6}{5}}\\ {m = 1}\\ {m = 1,m = – 4} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow m = 1.$ Khi đó hai mặt phẳng có phương trình là $2x – y + 3z – 5 = 0$ và $4x – 2y + 6z – 10 = 0$ nên chúng trùng nhau. Vậy không có giá trị $m$ nào để hai mặt phẳng đó song song. Khi $m=1$ thì hai mặt phẳng đó trùng nhau. Khi$m \ne 1$ thì hai mặt phẳng đó cắt nhau.
b] Hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0$ $ \Leftrightarrow 2[m + 3] + 2m + 3[5m + 1] = 0$ $ \Leftrightarrow 19m + 9 = 0$ $ \Leftrightarrow m = – \frac{9}{{19}}.$
Bài toán 7: Cho ba mặt phẳng $[P]$, $[Q]$, $[R]$ lần lượt có các phương trình sau: $Ax + By + Cz + {D_1} = 0$, $Bx + Cy + Az + {D_2} = 0$, $Cx + Ay + Bz + {D_3} = 0$ với điều kiện ${A^2} + {B^2} + {C^2} > 0.$
Chứng minh nếu $AB + BC + CA = 0$ thì ba mặt phẳng $[P]$, $[Q]$, $[R]$ đôi một vuông góc với nhau.
Các vectơ pháp tuyến của ba mặt phẳng $[P]$, $[Q]$, $[R]$ lần lượt là: $\overrightarrow {{n_P}} = [A;B;C]$, $\overrightarrow {{n_Q}} = [B;C;A]$, $\overrightarrow {{n_R}} = [C;A;B].$ Ta có: $\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} = AB + BC + CA = 0.$ $\overrightarrow {{n_Q}} .\overrightarrow {{n_R}} = AB + BC + CA = 0.$ $\overrightarrow {{n_R}} .\overrightarrow {{n_P}} = AB + BC + CA = 0.$ no.nr = AB + BC + CA = 0. và na no = AB + BC + CA = 0.
Vậy ba mặt phẳng $[P]$, $[Q]$, $[R]$ đôi một vuông góc với nhau.
Bài toán 8: Xác định các giá trị $p$ và $m$ để ba mặt phẳng sau đây cùng đi qua một đường thẳng: $5x + py + 4z + m = 0$, $3x – 7y + z – 3 = 0$, $x – 9y – 2z + 5 = 0.$
Các điểm chung trên hai mặt phẳng $3x – 7y + z – 3 = 0$ và $x – 9y – 2z + 5 = 0$ có toạ độ thoả mãn hệ: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3x – 7y + z – 3 = 0}\\ {x – 9y – 2z + 5 = 0} \end{array}} \right. .$ Cho $y = 0$ $ \Rightarrow x = \frac{1}{7}$, $z = \frac{{18}}{7}$ suy ra $A\left[ {\frac{1}{7};0;\frac{{18}}{7}} \right].$ Cho $z = 0$ $ \Rightarrow x = \frac{{31}}{{10}}$, $y = \frac{9}{{10}}$ suy ra $B\left[ {\frac{{31}}{{10}};\frac{9}{{10}};0} \right].$ Ba mặt phẳng cùng đi qua một đường thẳng khi mặt phẳng $5x + py + 4z + m = 0$ đi qua hai điểm $A$ và $B.$ Thay toạ độ của các điểm $A$, $B$ vào phương trình mặt phẳng $5x + py + 4z + m = 0.$ Ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{5}{7} + \frac{{72}}{7} + m = 0}\\ {\frac{{155}}{{10}} + \frac{{9p}}{{10}} + m = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m = – 11}\\ {p = – 5} \end{array}} \right. .$
Vậy $m = -11$ và $p = -5.$
Bài toán 9: Chứng tỏ rằng các mặt phẳng $[\alpha ]$, $[\beta ]$, $[\gamma ]$, $[\delta ]$ sau đây là các mặt phẳng chứa bốn mặt của một hình hộp chữ nhật: $[\alpha ]:7x + 4y – 4z + 30 = 0.$ $[\beta ]:36x – 51y + 12z + 17 = 0.$ $[\gamma ]:7x + 4y – 4z – 6 = 0.$
$[\delta ]:12x – 17y + 4z – 3 = 0.$
Mặt phẳng $[\alpha ]$ song song với mặt phẳng $[\gamma ]$ vì: $\frac{7}{{14}} = \frac{4}{8} = \frac{{ – 4}}{{ – 8}} \ne \frac{{30}}{{ – 12}}.$ Mặt phẳng $[\beta ]$ song song với mặt phẳng $[\delta ]$ vì: $\frac{{36}}{{12}} = \frac{{ – 51}}{{ – 17}} = \frac{{12}}{4} \ne \frac{{17}}{{ – 3}}.$ Mặt phẳng $[\alpha ]$ vuông góc với mặt phẳng $[\beta ]$ vì: $7.36 + 4[ – 51] + [ – 4].12$ $ = 252 – 204 – 48 = 0.$
Vậy bốn mặt phẳng $[\alpha ]$, $[\beta ]$, $[\gamma ]$, $[\delta ]$ là các mặt phẳng chứa bốn mặt của một hình hộp chữ nhật trong đó: $[\alpha ]//[\gamma ]$ và $[\beta ]//[\delta ]$ và $[\alpha ] \bot [\beta ].$
- Kiến thức Tọa độ không gian Oxyz