CÔNG TY CỔ PHẦN TIN HỌC LẠC VIỆT
23 Nguyễn Thị Huỳnh, Phường 8, Quận Phú Nhuận, TP. Hồ Chí Minh
Page 2
SureLRN
Nhị thức Newton
Khai triển [ a + b]n được cho bởi công thức sau:
Với a, b là các số thức và n là số nguyên dương, ta có:
Quy ước a0 = b0 = 1
Hệ quả:
Tính chất của công thức nhị thức Newton
Tính chất của công thức nhị thức Newton
- Số các số hạng của công thức là n + 1
- Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức:
[ n – k] + k = n
- Số hạng tổng quát của nhị thức là:
Tk+1 = Cnk an-k bk [ Đó là số hạng thứ k + 1 trong khai triển [ a + b]n ]
- Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhau
Một số kiến thức liên quan
Công thức khai triển nhị thức newton:
Công thức số tổ hợp
Tính chất lũy thừa
BÀI TOÁN VỀ NHỊ THỨC NEWTON
Bước 1: Khai triển nhị thức newton để tìm số hạng tổng quát:
Bước 2: Dựa vào đề bài, giải phương trình hai số mũ bằng nhau
Số hạng chứa xm ứng với giá trị k thỏa: np – pk + qk = m
Từ đó tìm: k = [ m – np] / [ p – q]
Vậy hệ số của số hạng chứa xm là: Cnk an-k bk với giá trị k đã tìm được ở trên
Nếu k không gnhuyeen hoặc k > n thì trong khai triển không chứa xm, hệ số phải tìm bằng 0
Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa xm trong khai triển
P[x] = [ a + bxp + cxq]n được viết dưới dạng a0 + a1x + …+ a2nx2n
Ta làm như sau:
- Viết P [x] = [ a + bxp + cxq]n
- Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng bxp + cxq
- Thành một đa thức theo lũy thừa của x
- Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của xm
Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức newton
Ta làm như sau:
- Tính hệ số ak theo k và n
- Giải bất phương trình sau với ẩn số k
- Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên
Ví dụ 1: Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển [ 2 – 3x]25
Giải
Số hạng thứ 21 trong khai triển là:
C2025. 25 [ -3x]20 = 25. 320. C2025. X20
Ví dụ 2: Tìm số hạng chính giữa trong khai triển [3x2 –y]10
Giải:
Trong khai triển [3x2 –y]10 có tất cả 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ 6. Vậy hệ số của số hạng thứ 6 là -35 .C510
Ví dụ 3: Tìm hệ số của x3 , [x >0] trong khai triển sau:
Giải:
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là: Tk + 1 = Ck6 .x6-k. 2k. x[-k/2]
Yêu cầu bài toán xảy ra khi 6 – k – [ k /2] = 3 => k = 3
Khi đó hệ số của x3 là: C36.23 = 160
Bài toán tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton.
Tìm hệ số xk trong khai triển nhị thức newton
Phương pháp chung:
- Sử dụng công thức khai triển nhị thức newton
- Tìm số hạng có chứa xk và tìm hệ số tương ứng
Ví dụ: Tìm hệ số của x3 trong khai triển [ 2 + x]5
Giải:
Ta có
Cho k = 3 ta được hệ số của x3 là: C35. 25-3 = 40
Bài toán tính tổng, chứng minh đẳng thức
Phương pháp giải
[a + b]n = C0n an + C1n an-1b + C2n an-2b2 + …+ Cn-1 n abn-1 + Cnn bn
Suy ra điều phải chứng minh
- Bằng cách thay a, b, n bằng các giá trị thích hợp ta sẽ được các đẳng thức.
Bài toán ứng dụng nhị thức newton trong các bài liên quan đến tổ hợp
Phương pháp giải các bài toán ứng dụng nhị thức newton trong các bài liên quan đến tổ hợp
- Chọ một khai triển [ a+ x]n phù hợp, ở đây a là hằng số
- Sử dụng các phép biến đổi đại số hoặc lấy đạo hàm, tích phân
- Dựa vào điều kiện bài toán, thay x bởi một giá trị cụ thể
Bài toán về phương trình, bất phương trình chứa tổ hợp
Ví dụ: Giải bất phương trình sau: [ A22x – A2x < = [ 6/ x]. C3x + 10
Giải:
Điều kiện: x phải là một số nguyên dương và x > = 3
Ta có bất phương trình đã cho tương đương với:
Vì x là nghiệm nguyên dương và x > = 3 nên x thuộc {3 ; 4}
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài tập 1: Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức sau:
Giải:
Công thức khai triển của biểu thức là:
Để số hạng chứa x5 vậy k = 2 và n = 3
Vậy hệ số của x5 là C211 + C37 = 90
Bài tập 2: Tính B = 2n C0n – 2n-1 C1n + 2n-2 C2n + … + [-1]k 2n-k Ckn + … + [-1]2 Cnn
Giải:
Bài tập 3: Tính C = C610 + C710 + C810 + C910 + C1010
Giải:
Bài tập 4: Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của biểu thức:
x[ 1- 2x]5 + x2 [1 + 3x]10
Bài tập 5: Với n là số nguyên dương, gọi a3n – 3 là hệ số của x3n – 3 trong khai triển thành đa thức của [ x2 + 1]n [ x + 2]n. Tìm n để a3n – 3 = 26n
Bài tập 6: Tính tổng S = C02013 + 3 C12013 + 32 C22013 + … + 32013 C20132013
Bài tập 7: Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển biểu thức:
Bài tập 8: Tìm ba số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x trong khai triển [ 1 + 2x]10
Bài tập 9: Tìm hệ số của x5 trong khai triển P [x] = [ x+1]6 + [ x+1]7 + … + [ x+1]12
Bài tập 10: Tìm hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển [ 2a – b]5
2. Nhận xét
- - Trong khai triển có số hạng và các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau :
- - Số hạng tổng quát dạng : và số hạng thứ thì .
- - Trong khai triển thì dấu đan nhau nghĩa là , rồi , rồi ,…..
- - Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ của a và b bằng n.
-
- Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn như :
-
.
Từ khai triển này ta có các kết quả sau
*
*
3. Tam giác Pascal
Các hệ số của khai triển: có thể xếp thành một tam giác gọi
là tam giác PASCAL.
|
n = 0 : 1 n = 1 : 1 1 n = 2 : 1 2 1 n = 3 : 1 3 3 1 n = 4 : 1 4 6 4 1 n = 5 : 1 5 10 10 5 1 n = 6 : 1 6 15 20 15 6 1 n = 7 : 1 7 21 35 35 21 7 1 |
Hằng đẳng thức PASCAL |
B. Bài tập
Dạng 1. Xác định các hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Newton
A. Phương pháp
Bước 1: Khai triển nhị thức Newton để tìm số hạng tổng quát:
Bước 2: Dựa vào đề bài, giải phương trình hai số mũ bằng nhau:
Số hạng chứa ứng với giá trị thỏa: .
Từ đó tìm
Vậy hệ số của số hạng chứa là: với giá trị đã tìm được ở trên.
Nếu không nguyên hoặc thì trong khai triển không chứa , hệ số phải tìm bằng 0.
Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa trong khai triển
được viết dưới dạng.
Ta làm như sau:
* Viết ;
* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng thành một đa thức theo luỹ thừa của x.
* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của .
Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn
Ta làm như sau:
* Tính hệ số theo và ;
* Giải bất phương trình với ẩn số ;
* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1: Trong khai triển , hệ số của số hạng thứbằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Chọn B.
Ta có:
Do đó hệ số của số hạng thứbằng.
Ví dụ 2: Trong khai triển , hệ số của số hạng chính giữa là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Chọn D.
Trong khai triển có tất cả số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ .
Vậy hệ số của số hạng chính giữa là.
Ví dụ 3: Trong khai triển , hệ số của là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Chọn C.
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là
Yêu cầu bài toán xảy ra khi .
Khi đó hệ số của là:.
Ví dụ 4: Tìm hệ số của trong khai triển biểu thức sau:
A. 29 B. 30 C. 31 D. 32
Lời giải:
Chọn A.
Hệ số của trong khai triển là :
Hệ số của trong khai triển là :
Hệ số của trong khai triển là : .
Vậy hệ số chứa trong khai triển thành đa thức là: .
Chú ý:
* Với ta có: với .
* Với ta có: với .
Ví dụ 5: Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Niutơn của biết .
A. 495 B. 313 C. 1303 D. 13129
Lời giải:
Chọn A.
Ta có:
.
Khi đó: .
Số hạng chứa ứng với thỏa: .
Do đó hệ số của số hạng chứa là: .
Ví dụ 6: Xác định hệ số của trong các khai triển sau:
A. 37845 B. 14131 C. 324234 D. 131239
Lời giải:
Chọn A.
Ta có:
Số hạng chứa ứng với cặp thỏa:
Nên hệ số của là:
Dạng 2. Tính tổng
A. Phương pháp
Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton
.
Ta chọn những giá trị thích hợp thay vào đẳng thức trên.
Một số kết quả ta thường hay sử dụng:
*
*
*
*
* .
Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng
Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức [*] và ta thường gọi [*] là đẳng thức đặc trưng.
Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái [thường có hệ số chứa ] và biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1: Tính các tổng sau:
a] .
b] .
c] .
Lời giải:
a] Ta có:
Chọn ta được .
Vậy .
b] Ta có: .
Chọn ta được: .
c] Ta có:
Cho ta được: [1]
Cho ta được: [2]
Cộng theo vế của [1] và [2] ta được:
.
Ví dụ 2: Tìm số nguyên dương n sao cho:
A. 4 B. 11 C. 12 D. 5
Lời giải:
Chọn D.
Xét khai triển:
Cho ta có:
Do vậy ta suy ra .
Ví dụ 3: Tính tổng
A. B. C. D.
Lời giải:
Chọn A.
Ta có:.
Vế trái của hệ thức trên chính là:
Và ta thấy hệ số của trong vế trái là
Còn hệ số của trong vế phải là
Do đó