18:14:3921/09/2021
Đạo hàm là một trong những khái niệm quan trọng trong giải tích học, các dạng bài tập liên quan đến đạo hàm cũng thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia.
Bài viết dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về khái niệm và ý nghĩa của đạo hàm, làm quen quy tắc, cách tính đạo hàm bằng định nghĩa và cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số y = f[x] xác định trên khoảng [a;b], x∈ [a;b]. Giới hạn hữu hạn [nếu có] của tỉ số khi x → x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại x0, ký hiệu f'[x0] hay y'[x0].
Như vậy:
Nếu đặt x - x0 = Δx và Δy = f[x0 + Δx] - f[x0] thì ta có:
Đại lượng Δx được gọi là số gia của đối số tại x0và đại lượng Δy được gọi là số gia tương ứng của hàm số.
2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Để tính đạo hàm bằng định nghĩa ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Với Δx là gia số của đối số đối tại x0, tính Δy = f[x0 + Δx] - f[x0].
- Bước 2: Lập tỉ số:
- Bước 3: Tính
> Nhận xét: Nếu thay x0 bởi x ta có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f[x] tại điểm x ∈ [a;b].
3. Quan hệ giữa tính liên tục và sự tồn tại của đạo hàm
• Định lý: Nếu hàm số y = f[x] có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại x0.
> Chú ý: Định lí trên tương đương với khẳng định:
- Nếu y = f[x] gián đoạn tại x0 thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.
- Mệnh đề đảo của định lý không đúng. Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.
4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
- Nếu tồn tại f'[x0] là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f[x] tại điểm M0[x0;y0]. Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M0[x0;y0] là:
y - f[x0] = f'[x0].[x - x0]
5. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm
a] Vận tốc tức thời:
- Cho một vật chuyển động có phương trình : s = s[t]. Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 được xác đinh bởi: v[t0]=s'[t0]
- Cho một vật chuyển động có phương trình vận tốc: v= v[t]. Gia tốc tức thời tại thời điểm t0 được xác định bởi: a[t0]=v'[t0]
b] Cường độ tức thời:
- Cường độ tức thời của điện lượng Q= Q[t] tại thời điểm t0 là: I[t0]=Q'[t0].
6. Đạo hàm trên một khoảng
• Định nghĩa: Hàm số y = f[x] được gọi là có đạo hàm trên khoảng [a;b] nên nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.
Khi đó, ta gọi hàm số f': [a;b] → R; x → f'[x] là đạo hàm của hàm số y = f[x] trên khoảng [a;b], kí hiệu là y' hay f'[x].
Đến đây có lẽ các em đã hiểu về khái niệm đạo hàm, ý nghĩa hình học và ý nghĩa vật lý của đạo hàm và quy tắc cách tính đạo hàm bằng định nghĩa? Nếu có góp ý và câu hỏi các em hãy để lại dưới bài viết nhé, chúc các em thành công.
Tags
Bài viết khác
- Axit Cacboxylic: Tính chất vật lý, tính chất hóa học của Axit cacboxylic, Điều chế và ứng dụng - Hóa 11 bài 45
- Anđehit - Xeton: Tính chất vật lý, Tính chất hóa học của Anđehit - Xeton, Cách điều chế và ứng dụng - Hóa 11 bài 44
- Cấu tạo của lăng kính, Các công thức lăng kính và ứng dụng của lăng kính - Vật lý 11 bài 28
- Phản xạ toàn phần: Công thức tính góc giới hạn, điều kiện để có phản xạ toàn phần và ứng dụng - Vật lý 11 bài 27
- Phenol: Tính chất vật lý, tính chất hóa học của Phenol, Điều chế và Ứng dụng - Hóa 11 bài 41
- Ancol: Tính chất vật lý, tính chất hóa học của Ancol, Điều chế và Ứng dụng - Hóa 11 bài 40
- Dẫn xuất Halogen là gì? Tính chất vật lý, tính chất hóa học của dẫn xuất Halogen - Hóa 11 bài 39
- Hệ thống hóa về HIĐROCACBON, Sự chuyển hóa giữa các loại HIDROCACBON - Hóa 11 bài 38
- Benzen: Tính chất vật lý, tính chất hóa học của Benzen, Đồng đẳng và Ứng dụng hidrocacbon thơm - Hóa 11 bài 35
- ANKIN: Tính chất vật lý, Tính chất hóa học, Cách điều chế và Ứng dụng của ANKIN - Hóa 11 bài 32
1.1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
- Giới hạn hữu hạn [nếu có]
\[\lim\limits_{t \to t_0}=\frac{s[t]-s[t_0]}{t-t_0}\]
được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \[t_0\].
- Giới hạn hữu hạn [nếu có]
\[\lim\limits_{t \to t_0}=\frac{Q[t]-Q[t_0]}{t-t_0}\]
được gọi là cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm \[t_0\].
1.2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Định nghĩa
Cho hàm số \[y=f[x]\] xác định trên khoảng \[[a;b]\] và \[x_0\in [a;b]\]
Nếu tồn tại giới hạn [hữu hạn]
\[\lim\limits_{x \to x_0}=\frac{f[x]-f[x_0]}{x-x_0}\]
thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số \[y=f[x]\] tại điểm \[x_0\] và kí hiệu là \[f'[x_0]\] [hoặc \[y'[x_0]\]], tức là
\[f'[x_0]=\lim\limits_{x \to x_0}=\frac{f[x]-f[x_0]}{x-x_0}\]
1.3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Quy tắc
- Bước 1: giả sử \[\triangle x\] là số gia của đối số tại \[x_0\], tính
\[\triangle y=f[x_0+\triangle x]-f[x_0]\]
- Bước 2: Lập tỉ số \[\frac{\triangle y}{\triangle x}\]
- Bước 3: Tìm \[\lim\limits_{\triangle x \to 0 } \frac{\triangle y}{\triangle x}\]
1.4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Định lí 1
Nếu hàm số \[y=f[x]\] có đạo hàm tại điểm \[x_0\] thì nó liên tục tại điểm đó
Chú ý
a] Định lí trên tương đương với khẳng định:
Nếu hàm số \[y=f[x]\] gián đoạn tại \[x_0\] thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.
b] Mệnh đề đảo của Định lí 1 không đúng:
Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.
1.5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Định lí 2
Đạo hàm của hàm số \[y=f[x]\] tại điểm \[x_0\] là hệ số góc của tiếp tuyến \[M_0T\] của \[[C]\] tại điểm \[M_0[x_0;f[x_0]]\]
Định lí 3
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \[[C]\] của hàm số \[y=f[x]\] tại điểm \[M_0[x_0;f[x_0]]\] là
\[y-y_0=f'[x_0][x-x_0]\]
trong đó \[y_0=f[x_0]\]
1.6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
a] Vận tốc tức thời
Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \[s=s[t]\], với \[s=s[t]\] là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \[t_0\] là đạo hàm của hàm số \[s=s[t]\] tại \[t_0\]
\[v[t_0]=s'[t_0]\]
b] Cường độ tức thời
Nếu điện lượng \[Q\] truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian \[Q=Q[t]\] [\[Q=Q[t]\] là một hàm số có đạo hàm] thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm \[t_0\] là đạo hàm của hàm số \[Q=Q[t]\] tại \[t_0\]
\[I[t_0]=Q'[t_0]\]
Định nghĩa
Hàm số \[y=f[x]\] được gọi là có đạo hàm trên khoảng \[[a;b]\] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm \[x\] trên khoảng đó.
Khi đó, ta gọi hàm số : \[f': [a;b]\rightarrow R\]
\[x \rightarrow f'[x]\]
là đạo hàm của hàm số \[y=f[x]\] trên khoảng \[[a;b]\], kí hiệu là \[y'\] hay \[f'[x]\].