Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất
Bài viết này sẽ trả lời cho các em câu hỏi: Phương trình bậc 2 có nghiệm duy nhất khi nào? điều kiện của tham số m để phương trình bậc 2 có nghiệm duy nhất?
I. Phương trình bậc 2 – kiến thức cơ bản cần nhớ
Liên quan: tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất
• Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 [a≠0]
• Công thức nghiệm tính delta [ký hiệu: Δ]
Δ = b2 – 4ac
+ Nếu Δ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
+ Nếu Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép:
+ Nếu Δ < 0: Phương trình vô nghiệm.
• Công thức nghiệm thu gọn tính Δ’ [chỉ tính Δ’ khi hệ số b chẵn].
Δ = b’2 – ac với b = 2b’.
+ Nếu Δ’ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
+ Nếu Δ’ = 0: Phương trình có nghiệm kép:
+ Nếu Δ’ < 0: Phương trình vô nghiệm.
→ Vậy nếu hỏi: Phương trình bậc 2 có nghiệm duy nhất khi nào?
– Trả lời: Phương trình bậc 2 có nghiệm duy nhất khi biệt thức delta = 0 [Δ = 0]. [khi đó phương trình có nghiệm kép].
> Lưu ý: Nếu cho phương trình ax2 + bx + c = 0 và hỏi phương trình có nghiệm duy nhất khi nào? thì câu trả lời đúng phải là: a=0 và b≠0 hoặc a≠0 và Δ=0.
• Thực tế đối với bài toán giải phương trình bậc 2 thông thường [không chứa tham số], thì chúng ta chỉ cần tính biệt thức delta là có thể tính toán được nghiệm. Tuy nhiên bài viết này đề sẽ đề cập đến dạng toán hay làm các em bối rối hơn, đó là tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có chứa tham số m có nghiệm duy nhất.
II. Một số bài tập tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm duy nhất.
* Phương pháp giải:
– Xác định các hệ số a, b, c của phương trình, đặc biệt là hệ số a. Phương trình ax2 + bx + c = 9 là phương trình bậc 2 chỉ khi a≠0.
– Tính biệt thức delta: Δ = b2 – 4ac
– Xét dấu của biệt thức để kết luận sự tồn tại nghiệm, hoặc áp dụng công thức để viết nghiệm.
* Bài tập 1: Tìm các giá trị m để phương trình: mx2 – 2[m-1]x + m-3 = 0 có nghiệm duy nhất.
* Lời giải:
– Nếu m=0 thì phương trình đã cho trở thành 2x – 3 = 0 là pt bậc nhất, có nghiệm duy nhất là x = 3/2.
– Nếu m≠0, khi đó pt đã cho là pt bậc 2 một ẩn, có các hệ số:
a=m; b=-2[m-1]; c=m-3.
Và Δ = [-2[m-1]]2 – 4.m.[m-3] = 4[m2-2m+1] – [4m2-12m]
= 4m2- 8m + 4-4m2 + 12m = 4m+4
→ Để để phương trình có nghiệm duy nhất [nghiệm kép] thì Δ=0 ⇔ 4m + 4 = 0 ⇔ m = -1.
⇒ Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m=0 hoặc m=-1.
* Bài tập 2: Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 3×2 + 2[m-3]x + 2m+1 = 0.
* Lời giải:
– Ta tính biệt thức delta thu gọn: Δ’=[m-3]2 – 3[2m+1] = m2 – 6m + 9 – 6m – 3 = m2 – 12m + 6.
→ Phương trình có nghiệm duy nhất [pt bậc 2 có nghiệm kép] khi:
Δ’=0 ⇔ m2 – 12m + 6 = 0 [*]
Giải phương trình [*] là pt bậc 2 theo m bằng cách tính Δ’m = [-6]2 – 6 = 30>0.
→ Phương trình [*] có 2 nghiệm phân biệt:
– Khi
– Khi
* Bài tập 3: Xác định m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: x2 – mx – 1 = 0.
* Bài tập 4: Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 3×2 + [m-2]x + 1 = 0.
* Bài tập 5: Tìm điều kiện m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: x2 – 2mx -m+1 = 0.
* Bài tập 6: Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm duy nhất: mx2 – 4[m-1]x + 4[m+2] = 0.
Danh mục: Tin Tức
Nguồn: //banmaynuocnong.com
Phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\] có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:
A.
B.
\[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta = 0\end{array} \right.\] hoặc \[\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b \ne 0\end{array} \right.\]
C.
D.
\[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta = 0\end{array} \right.\]
I. Định nghĩa
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: ax2 + bx +c = 0 trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0
II. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Phương trình bậc hai ax2 + bx +c = 0 [a ≠ 0]
Δ = b2 – 4ac
*] Nếu Δ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[{{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\]
*] Nếu Δ = 0 phương trình có nghiệm kép: \[{{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{-b}{2a}\,\]
*] Nếu Δ
III. Công thức nghiệm thu gọn
Phương trình bậc hai ax2 + bx +c = 0 [a ≠ 0] và b = 2b’
Δ’ = b’2 – ac
*] Nếu Δ’ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[{{x}_{1}}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a};{{x}_{2}}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}\]
*] Nếu Δ’ = 0 phương trình có nghiệm kép: \[{{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{-b'}{a}\]
*] Nếu Δ’
IV. Hệ thức Viet và ứng dụng
1. Nếu \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx +c = 0 [a ≠ 0] thì:
2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình: x2 – Sx + P = 0 [Điều kiện để có u và v là S2 – 4P ≥ 0]
3. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax2 + bx +c = 0 [a ≠ 0] có hai nghiệm: \[{{x}_{1}}=1;{{x}_{2}}=\frac{c}{a}\]
Nếu a – b + c = 0 thì phương trình ax2 + bx +c = 0 [a ≠ 0] có hai nghiệm: \[{{x}_{1}}=-1;{{x}_{2}}=-\frac{c}{a}\]
V. Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 [a ≠ 0] có:
1. Có nghiệm [có hai nghiệm] ⇔ Δ ≥ 0
2. Vô nghiệm ⇔ Δ 0
5. Hai nghiệm cùng dấu ⇔ Δ ≥ 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu ⇔ Δ > 0 và P < 0 ⇔ a.c < 0
7. Hai nghiệm dương[lớn hơn 0] ⇔ Δ ≥ 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm[nhỏ hơn 0] ⇔ Δ ≥ 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau ⇔ Δ ≥ 0 và S = 0
10. Hai nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ Δ ≥ 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S > 0
B. Một số bài tập có lời giải
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a] \[2{{x}^{2}}-8=0\]
b] \[3{{x}^{2}}-5x=0\]
c] \[-2{{x}^{2}}+3x+5=0\]
d] \[{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2x-6=0\]
e] \[{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-4=0\]
f] \[\frac{x+2}{x-5}+3=\frac{6}{2-x}\]
Giải
a] \[2{{x}^{2}}-8=0\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}=8\Leftrightarrow {{x}^{2}}=4\Leftrightarrow x=\pm 2\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x=\pm 2\]
b]
Vậy phương trình có nghiệm \[x=0;x=\frac{5}{3}\]
c] \[-2{{x}^{2}}+3x+5=0\]
\[\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-3x-5=0\]
Nhẩm nghiệm:
Ta có: a – b + c = 2 + 3 – 5 = 0 => phương trình có nghiệm: \[{{x}_{1}}=-1\]; \[{{x}_{2}}=-\frac{5}{-2}=\frac{5}{2}\]
d] \[{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2x-6=0\]
\[\Leftrightarrow \left[ {{x}^{3}}+3{{x}^{2}} \right]-\left[ 2x+6 \right]=0\]
\[\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left[ x+3 \right]-2\left[ x+3 \right]=0\]
\[\Leftrightarrow \left[ x+3 \right]\left[ {{x}^{2}}-2 \right]=0\]
e] \[{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-4=0\]
Đặt \[t={{x}^{2}}\left[ t\ge 0 \right].\] Ta có phương trình: \[{{t}^{2}}+3t-4=0\]
a + b + c = 1 + 3 – 4 = 0
=> phương trình có nghiệm: \[{{t}_{1}}=1>0\] [thỏa mãn]; \[{{t}_{2}}=-\frac{4}{1}=-4
Với: \[t=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=\pm 1\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x=\pm 1\]
f] \[\frac{x+2}{x-5}+3=\frac{6}{2-x}\]
TXĐ: x ≠ 2, x ≠ 5
\[\Leftrightarrow \frac{\left[ x+2 \right]\left[ 2-x \right]}{\left[ x-5 \right]\left[ 2-x \right]}+\frac{3\left[ x-5 \right]\left[ 2-x \right]}{\left[ x-5 \right]\left[ 2-x \right]}=\frac{6\left[ x-5 \right]}{\left[ x-5 \right]\left[ 2-x \right]}\]
\[\Rightarrow \left[ x+2 \right]\left[ 2-x \right]+3\left[ x-5 \right]\left[ 2-x \right]=6\left[ x-5 \right]\]
\[\Leftrightarrow 4-{{x}^{2}}+6x-3{{x}^{2}}-30+15x=6x-30\]
\[\Leftrightarrow -4{{x}^{2}}+15x+4=0\]
\[\Delta ={{15}^{2}}-4.\left[ -4 \right].4=225+64=289>0;\sqrt{\Delta }=17\]
=> phương trình có hai nghiệm:
\[{{x}_{1}}=\frac{-15+17}{2.\left[ -4 \right]}=-\frac{1}{4}\] [thỏa mãn ĐKXĐ]
\[{{x}_{2}}=\frac{-15-17}{2.\left[ -4 \right]}=4\] [thỏa mãn ĐKXĐ]
Bài 2. Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: \[{{x}^{2}}+mx+m+3=0\] [1]
a/ Giải phương trình với m = – 2.
b/ Gọi \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] là các nghiệm của phương trình. Tính \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2};x_{1}^{3}+x_{2}^{3}\] theo m.
c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] thỏa mãn: \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=9.\]
d/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] thỏa mãn : \[2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}=5.\]
e/ Tìm m để phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}}=-3.\] Tính nghiệm còn lại.
f/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào giá trị của m.
HƯỚNG DẪN GIẢI.
a/ Thay m = – 2 vào phương trình [1] ta có phương trình:
\[{{x}^{2}}-2x+1=0\]
\[\Leftrightarrow {{\left[ x-1 \right]}^{2}}=0\]
\[\Leftrightarrow x-1=0\]
\[\Leftrightarrow x=1\]
Vậy với m = – 2 phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
b/ Phương trình \[{{x}^{2}}+mx+m+3=0\] [1]
Ta có: \[\Delta ={{m}^{2}}-4\left[ m+3 \right]={{m}^{2}}-4m-12\]
Phương trình có nghiệm: \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\]\[\Leftrightarrow \Delta \ge 0\]
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có:
*] \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{\left[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right]}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{\left[ -m \right]}^{2}}-2\left[ m+3 \right]={{m}^{2}}-2m-6\]
*] \[x_{1}^{3}+x_{2}^{3}={{\left[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right]}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right]={{\left[ -m \right]}^{3}}-3\left[ m+3 \right]\left[ -m \right]=-{{m}^{3}}+3{{m}^{2}}+9m\]
c/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\Leftrightarrow \Delta \ge 0\]
Khi đó \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{m}^{2}}-2m-6\]
Do đó \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=9\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-6=9\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-15=0\]
Δ’[m] = [-1]2 – 1.[-15] = 1 + 15 = 16 > 0
=> phương trình có hai nghiệm: \[{{m}_{1}}=\frac{1+4}{1}=5\]; \[{{m}_{2}}=\frac{1-4}{1}=-3\]
Thử lại :
+] Với \[m=5\Rightarrow \Delta =-7 loại.
+] Với \[m=-3\Rightarrow \Delta =9>0\] => thỏa mãn.
Vậy với m = – 3 thì phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=9\]
d/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\Leftrightarrow \Delta \ge 0\]
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có:
Hệ thức: \[2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}=5\] [c]
Từ [a] và [c] ta có hệ phương trình:
Thay
\[\left[ -3m-5 \right]\left[ 2m+5 \right]=m+3\]
\[\Leftrightarrow -6{{m}^{2}}-15m-10m-25=m+3\]
\[\Leftrightarrow -6{{m}^{2}}-26m-28=0\]
\[\Leftrightarrow 3{{m}^{2}}+13m+14=0\]
\[{{\Delta }_{\left[ m \right]}}={{13}^{2}}-4.3.14=1>0\]
=> phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[{{m}_{1}}=\frac{-13+1}{2.3}=-2,{{m}_{2}}=\frac{-13-1}{2.3}=-\frac{7}{3}\]
Thử lại:
+] Với \[m=-2\Rightarrow \Delta =0\] => thỏa mãn.
+] Với \[m=\frac{-7}{3}\Rightarrow \Delta =\frac{25}{9}>0\] => thỏa mãn.
Vậy với \[m=-2;m=-\frac{7}{3}\] phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] thỏa mãn : \[2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}=5.\]
e/ Phương trình [1] có nghiệm \[{{x}_{1}}=-3\]
\[\Leftrightarrow {{\left[ -3 \right]}^{2}}+m.\left[ -3 \right]+m+3=0\Leftrightarrow -2m+12=0\Leftrightarrow m=6\]
Khi đó: \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-m-{{x}_{1}}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-6-\left[ -3 \right]\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-3\]
Vậy với m = 6 thì phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}}={{x}_{2}}=-3\].
f/ Phương trình [1] có hai nghiệm trái dấu \[\Leftrightarrow ac
Vậy với m < – 3 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Giả sử phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\]. Khi đó theo định lí Vi-et, ta có :
Vậy hệ thức liên hệ giữa \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] không phụ thuộc vào m là: \[{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+\left[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right]-3=0\]
Bài 3: Cho phương trình [m-1]x2 + 2x – 3 = 0 [1] [tham số m]
a] Tìm m để [1] có nghiệm
b] Tìm m để [1] có nghiệm duy nhất? Tìm nghiệm duy nhất đó?
c] Tìm m để [1] có 1 nghiệm bằng 2? Khi đó hãy tìm nghiệm còn lại [nếu có]?
HƯỚNG DẪN GIẢI.
a] + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì [1] có dạng 2x – 3 = 0 \[\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\] [là nghiệm]
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó [1] là phương trình bậc hai có: Δ’=12 – [-3][m-1] = 3m – 2
[1] có nghiệm ⇔ Δ’ = 3m-2 ≥ 0 \[\Leftrightarrow m\ge \frac{2}{3}\]
+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với \[m\ge \frac{2}{3}\] thì phương trình có nghiệm
b]
+ Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì [1] có dạng 2x – 3 = 0 \[\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\] [là nghiệm]
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó [1] là phương trình bậc hai có: Δ’ = 1 - [-3][m-1] = 3m - 2
[1] có nghiệm duy nhất ⇔ Δ’ = 3m-2 = 0 \[\Leftrightarrow m=\frac{2}{3}\] [thoả mãn m ≠ 1]
Khi đó \[x=-\frac{1}{m-1}=-\frac{1}{\frac{2}{3}-1}=3\]
+] Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất \[x=\frac{3}{2}\]
Với \[m=\frac{2}{3}\] thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
c] Do phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}}=2\] nên ta có:
\[\left[ m-1 \right]{{2}^{2}}+2.2-3=0\Leftrightarrow 4m-3=0\Leftrightarrow m=\frac{3}{4}\] Khi đó [1] là phương trình bậc hai [do \[m-1=\frac{3}{4}-1=-\frac{1}{4}\ne 0\]]
Theo định lí Viet ta có: \[{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{-3}{m-1}=\frac{-3}{-\frac{1}{4}}=12\] ⇒ x2 = 6
Vậy \[m=\frac{3}{4}\] và nghiệm còn lại là \[{{x}_{2}}=6\]
Bài 4. Cho phương trình: x2 - 2[m-1]x – 3 – m = 0
a] Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] với mọi m
b] Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c] Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
d] Tìm m sao cho nghiệm số \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] của phương trình thoả mãn \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\]
e] Tìm hệ thức liên hệ giữa \[{{x}_{1}}\] và \[{{x}_{2}}\] không phụ thuộc vào m
f] Hãy biểu thị \[{{x}_{1}}\] qua \[{{x}_{2}}\]
Bài 5. Cho phương trình: x2 + 2x + m - 1= 0 [m là tham số]
a] Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b] Tìm m để phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] thỏa mãn \[3{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=1\]
c] Lập phương trình ẩn y thoả mãn \[{{y}_{1}}={{x}_{1}}+\frac{1}{{{x}_{2}}};{{y}_{2}}={{x}_{2}}+\frac{1}{{{x}_{1}}}\]; với \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] là nghiệm của phương trình ở trên