Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay
Trang trước Trang sau Quảng cáo
Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta có thể làm theo các cách sau:
+ Gọi u và v là hai vecto chỉ phương của hai đường thẳng; chứng minh: u. v = 0
[u ; v] = 90°
+ Dùng định lí Pytago đảo chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
+ Nếu a // a; b // b và a b thì a' b'
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AC = a; BD = 3a. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN.
Hướng dẫn giải
Gọi P là trung điểm của AB
PN; PM lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC và ABD.
Suy ra
Ta có AC BD PN PM hay tam giác PMN vuông tại P
Do đó
Chọn B
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD. Mặt phẳng [P] song song với AB và CD lần lượt cắt BC; DB; AD; AC tại M; N; P; Q . Tứ giác MNPQ là hình gì?
A. Hình thang
B. Hình bình hành
C. Hình chữ nhật
D. Tứ giác không phải hình thang
Quảng cáo
Hướng dẫn giải
Ta có
Tương tự ta có: MN // CD; NP // AB và QP // CD
Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành
Lại có MN MQ[do AB CD]
Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật
Chọn C
Ví dụ 3: Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M; N; P; Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC; CB; BC và CA . Tứ giác MNPQ là hình gì?
A. Hình bình hành
B. Hình chữ nhật
C. Hình vuông
D. Hình thang
Hướng dẫn giải
Vì M; N; P; Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC; CB; BC và CA
MNPQ là hình bình hành
Gọi H là trung điểm của AB.
Vì hai tam giác ABC và ABC đều nên
Suy ra AB [CHC']. Do đó AB CC'
Ta có
Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật
Chọn B
Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có thể sai?
A. A'C' BD
B. BB' BD
C. A'B DC'
D. BC' A'D
Hướng dẫn giải
Chọn B
Chú ý: Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau còn gọi là hình hộp thoi
A đúng vì:
Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu AB.AC = AC.AD = AD.AB thì AB CD, AC BD, AD BC. Điều ngược lại đúng không?
Sau đây là lời giải:
Bước 1: AB.AC = AC.AD AC.[AB - AD] = 0 AC.DB = 0 AC BD
Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC.AD = AD.AB ta được AD BC và AB.AC = AD.AB ta được AB CD
Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?
A. Đúng
B. Sai từ bước 1
C. Sai từ bước 1
D. Sai bước 3
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Quảng cáo
Câu 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, CD, AD, BC và AC. Tính góc của hai đường thẳng AB và CD?
A. [AB, CD] = 60°
B. [AB, CD] = 30°
C. [AB, CD] = 45°
D. [AB, CD] = 90°
Hiển thị lời giải
+ Ta chứng minh MN vuông góc với RQ :
Ta có MC = MD = [a3]/2 nên tam giác MCD cân tại M, do đó MN CD
Lại có RP // CD MN RQ
+ Tương tự ta có QP AD
+ Trong tam giác vuông PDQ ta có :
Chọn D
Câu 2: Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC và CA. Tứ giác MNPQ là hình gì?
A. Hình bình hành
B. Hình chữ nhật
C. Hình vuông
D. Hình thang
Hiển thị lời giải
Chọn B
+ xét tam giác ABC có MN là đường trung bình nên
MN // AB và MN = [1/2]AB[1]
+ Tương tự có: PQ // AB và PQ = 1/2 AB[2]
Từ [1] và [2] suy ra: MNPQ là hình bhình hành.
Gọi H là trung điểm của AB.
Vì hai tam giác ABC và ABC đều nên
Câu 3: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Trên các cạnh DC và BB' lấy các điểm M và N sao cho MD = NB = x [0 x a]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
a] Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. AC' B'D'
B. AC cắt BD
C. AC và BD đồng phẳng
D. Cả A, B, C đều đúng
b] khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. AC' MN
B. AC và MN cắt nhau
C. AC và MN đồng phẳng
D. Cả A, B, C đều đúng
Hiển thị lời giải
Câu 4: Cho tứ diện ABCD có AC = a, BD = 3a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN.
Hiển thị lời giải
Chọn A
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD
Ta có:
Mà:
Từ [1], [2] MENF là hình chữ nhật.
Từ đó ta có:
Chọn D
Câu 5: Cho tứ diện ABCD có AB = a ; BD = 3a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN
Hiển thị lời giải
Chọn B
Kẻ NP // AC, nối MP
Do NP là đường trung bình tam giác ABC
PN = [1/2].AC = a/2
Do MP là đường trung bình tam giác ABD
PM = [1/2].BD = 3a/2
Lại có [AC, BD] = [PN, PM] = MPN = 90°
Tam giác MNP vuông tại P.
Vậy
Câu 6: Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Gọi I; J; E; F lần lượt là trung điểm của AC; BC; BD; AD. Góc [IE; JF] bằng
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
Hiển thị lời giải
Chọn D
Tam giác ABC có IJ là đường trung bình nên IJ // AB và IJ = 1/2 AB [1]
Tam giác ABD có EF là đường trung bình nên EF // AB và EF = 1/2 AB [2]
Từ [1] và [2] suy ra : Tứ giác IJEF là hình bình hành.
Mặt khác
mà AB = CD nên IJ = JE
Do đó IJEF là hình thoi
Suy ra [IE ; JF] = 90°
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Trang trước Trang sau