Sai số ngẫu nhiên sinh ra do nhiều nguyên nhân, ví dụ do hạn chế của giác
quan người làm thí nghiệm, do sự thay đổi ngẫu nhiên không lường trước được
của các yếu tố gây ảnh hưởng đến kết quả đo. Sai số ngẫu nhiên làm cho kết quả
đo lệch về cả hai phía so với giá trị thực của đại lượng cần đo. Sai số ngẫu nhiên
không thể loại trừ được. Trong phép đo cần phải đánh giá sai số ngẫu nhiên.
2.2. Phương pháp xác định sai số của phép đo trực tiếp
a] Phương pháp chung xác định giá trị trung bình và sai số ngẫu nhiên
Giả sử đại lượng cần đo A được đo n lần. Kết quả đo lần lượt là A1 , A2 ,... An .
n
Đại lượng A = A1 + A2 + .... + An =
n
A
i =1
i
[1]
n
được gọi là giá trị trung bình của đại lượng A trong n lần đo. Số lần đo càng lớn,
giá trị trung bình A càng gần với giá trị thực A. Các đại lượng:
A1 = A A1
A2 = A A2
.....................
An = A A n
được gọi là sai số tuyệt đối trong mỗi lần đo riêng lẻ. Để đánh giá sai số của phép
đo đại lượng A, người ta dùng sai số toàn phương trung bình. Theo lí thuyết xác
n
suất, sai số toàn phương trung bình là: σ =
[ A ]
i =1
i
n[ n 1]
2
[2]
và kết quả đo đại lượng A được viết: A = A ± σ [3]
Như vậy, giá trị thực của đại lượng A với một xác suất nhất định sẽ nằm
trong khoảng từ A σ đến A + σ , nghĩa là:
A - σ A A+σ
Khoảng [[ A - σ ],[ A + σ ]] gọi là khoảng tin cậy. Sai số toàn phương trung
bình σ chỉ được dùng với các phép đo đòi hỏi độ chính xác cao và số lần đo n lớn.
Nếu đo đại lượng A từ 5 đến 10 lần, thì ta dùng sai số tuyệt đối trung bình số học
A [sai số ngẫu nhiên] được định nghĩa như sau:
6
n
A =
[ A ]
i
i =1
[4]
n
Kết quả đo lúc này được viết dưới dạng: A = A ± A [5]
Ngoài sai số tuyệt đối, người ta còn sử dụng sai số tỉ đối được định nghĩa như sau:
δ=
A
.100 0 0 [6]
A
Kết quả đo được viết như sau: A = A ± δ 0 0 [7]
Như vậy, cách viết kết quả phép đo trực tiếp như sau:
- Tính giá trị trung bình A theo công thức [1]
- Tính các sai số A theo công thức [4] hoặc [6].
- Kết quả đo được viết như [5] hoặc [7].
Ví dụ: Đo đường kính viên bi 4 lần, ta có kết quả sau:
d1 = 8,75mm d1 = 0,00mm
d 2 = 8,76mm d 2 = 0,01mm
d 3 = 8,74mm d 3 = 0,01mm
d 4 = 8,77 mm d 4 = 0,02mm
Giá trị trung bình của đường kính viên bi là:
d =
8,75 + 8,76 + 8,74 + 8,77
= 8,75mm
4
Sai số tuyệt đối trung bình tính được là
d =
0,00 + 0,01 + 0,01 + 0,02
= 0,01mm
4
d = 8,75 ± 0,01mm
Kết quả:
b] Cách xác định sai số dụng cụ
Mỗi dụng cụ có một độ chính xác nhất định. Nếu dùng dụng cụ này để đo một
đại lượng vật lí nào đó thì đương nhiên sai số nhận được không thể vượt quá độ
chính xác của dụng cụ đó. Nói cách khác, sai số của phép đo không thể nhỏ hơn
sai số dụng cụ.
Tuy nhiên cũng vì một lí do nào đó, phép đo chỉ được tiến hành một lần hoặc độ
nhạy của dụng cụ đo không cao, kết quả của các lần đo riêng lẻ trùng nhau. Trong
trường hợp đó, ta phải dựa vào độ nhạy của dụng cụ để xác định sai số. Sai số A
thường được lấy bằng nửa giá trị của độ chia nhỏ nhất của dụng cụ.
7
Khi đo các đại lượng điện bằng các dụng cụ chỉ thị kim, sai số được xác định
theo cấp chính xác của dụng cụ.
Ví dụ: Vôn kế có cấp chính xác là 2. Nếu dùng thang đo 200V để đo hiệu điện thế
thì sai số mắc phải là U = 2 0 0 .200 = 4V .
Nếu kim chỉ thị vị trí 150 V thì kết quả đo sẽ là: U = 150 ± 4V
Khi đo các đại lượng điện bằng các đồng hồ đo hiện số, cần phải lựa chọn thang
đo thích hợp.
- Nếu các con số hiển thị trên mặt đồng hồ là ổn định [con số cuối cùng bên phải
không bị thay đổi] thì sai số của phép đo có thể lấy giá trị bằng tích của cấp chính
xác và con số hiển thị.
Ví dụ: đồng hồ hiện số có ghi cấp sai số 1.0% rdg [kí hiệu quốc tế cho dụng cụ đo
hiện số], giá trị điện áp hiển thị trên mặt đồng hồ là: U = 218 V
thì có thể lấy sai số dụng cụ là:
ΔU = 1 0 0 .218 = 2,18 V
Làm tròn số ta có U = 218,0 ± 2,2 V
- Nếu các con số cuối cùng không hiển thị ổn định [nhảy số], thì sai số của phép
đo phải kể thêm sai số ngẫu nhiên trong khi đo.
Ví dụ: khi đọc giá trị hiển thị của điện áp bằng đồng hồ nêu trên, con số cuối
cùng không ổn định [nhảy số]: 215 V, 216 V, 217 V, 218 V, 219 V [số hàng đơn
vị không ổn định]. Trong trường hợp này lấy giá trị trung bình U = 217 V. Sai số
phép đo cần phải kể thêm sai số ngẫu nhiên trong quá trình đo ΔU n = 2 V. Do
vậy:
U = 217,0 ± 2,2 ± 2 = 217,0 ± 4,2 V
Chú ý:
- Nhiều loại đồng hồ hiện số có độ chính các cao, do đó sai số phép đo chỉ cần
chú ý tới thành phần sai số ngẫu nhiên.
- Trường hợp tổng quát, sai số của phép đo gồm hai thành phần: sai số ngẫu
nhiên với cách tính như trên và sai số hệ thống [do dụng cụ đo]
2.3. Phương pháp xác định sai số gián tiếp
a] Phương pháp chung
Giả sử đại lượng cần đo A phụ thuộc vào các đại lượng x, y, z theo hàm số
A = f [ x, y, z ] Trong đó x, y, z là các đại lượng đo trực tiếp và có giá trị
8
x = x ± x
y = y ± y
z = z ± z
Giá trị trung bình A được xác định bằng cách thay thế các giá trị x, y, z vào
hàm trên, nghĩa là A = f [ x , y , z ].
2 b] Cách xác định cụ thể
Sai số A được tính bằng phương pháp vi phân theo một trong hai cách sau:
Cách 1
Cách này sử dụng thuận tiện khi hàm f [ x, y, z ] là một tổng hay một hiệu
[không thể lấy logarit dễ dàng]. Cách này gồm các bước sau:
a. Tính vi phân toàn phần của hàm A = f [ x, y, x] , sau đó gộp các số hạng có chứa vi
phân của cùng một biến số.
b. Lấy giá trị tuyệt đối của các biểu thức đứng trước dấu vi phân d và thay dấu vi
phân d bằng dấu . Ta thu được A .
c. Tính sai số tỉ đối [nếu cần].
1
2
Ví dụ: Một vật ném xiên góc α có độ cao h = v0 sin αt gt 2
Trong đó:
v0 = 39,2 ± 0,2m / s
α = 30 ± 10
t = 2,0 ± 0,2 s
g = 9,8m / s 2
Ta có: h = 39,2.sin 300.2 9,8.
22
= 19,6m
2
dh = v0 sin α .dt + v0 cosα .dα + sin α .t.dv0 g .t.dt
= [ v0. sin α gt ].dt + v0 .t cosα .dα + sin α .t.dv0
h = v 0 .sin - gt . t + v 0 .t.cos. . α + sin α .t . v0
= 39,2.sin 300 9.8.2 .0,2 + 39,2.2. cos 300 .
2π
+ sin 300.2 .0,2 = 1,38m
360
Sử dụng quy ước viết kết quả ở IV ta có: h = 19,6 ± 1,4m
Cách 2
Sử dụng thuận tiện khi hàm f [ x, y, z ] là dạng tích, thương, lũy thừa.... Cách
này cho phép tính sai số tỉ đối, gồm các bước:
9
a. Lấy logarit cơ số e của hàm A = f [ x, y, z ]
b. Tính vi phân toàn phần hàm ln A = ln f [ x, y, z ] , sau đó gộp các số hạng có chưa
vi phân của cùng một biến số.
c. Lấy giá trị tuyệt đối của biểu thức đứng trước dấu vi phân d và chuyển dấu d
thành ta có δ =
A
A
d. Tính A = A . δ
Ví dụ: Gia tốc trọng trường được xác định bằng biểu thức: g =
4π 2 l
T2
ở đây: l = 500 ± 1mm
T = 1,45 ± 0,05s
g = 9,78 ± 0,20m / s 2
Khi đó: ln g = ln [ 4 π 2 l ] ln[ T 2 ]
dg
dg
dT
d [4π 2 l ] d [T 2 ]
d [4π 2 ] 4π 2 dl
2
+
=
=
2
2
2
2
g
g
T
4π l
4π l
4π l
T
g
l
T
l 2T
g = g +
+2
=
g
T
l
T
l
Bài tập rèn luyện
Hãy tính công thức sai số tuyệt đối và sai số tương đối của các đại lượng đo gián
tiếp sau:
v0 = v0 ± v0
at 2
S = v0t +
với t = t ± t
2
a = a ± a
m = m ± m
h = h ± h
mv 2
E = mgh +
với
2
v = v ± v
g = constant
2.4. Cách viết kết quả
a] Các chữ số có nghĩa
Tất cả các chữ số từ trái sang phải, kể từ số khác không đầu tiên đều là chữ
số có nghĩa.
Ví dụ: 0,014030 có 5 chữ số có nghĩa.
b] Quy tắc làm tròn số
10
- Nếu chữ số ở hàng bỏ đi có giá trị < 5 thì chữ số bên trái nó vẫn giữ nguyên.
Ví dụ: 0,0731 0,07
- Nếu chữ số ở hàng bỏ đi có giá trị 5 thì chữ số bên trái nó tăng thêm một đơn
vị .
Ví dụ: 2,83745 2,84
c] Cách viết kết quả
- Sai số tuyệt đối A và sai số trung bình đều được làm tròn theo quy tắc trên
- Khi viết kết quả, giá trị trung bình được làm tròn đến chữ số cùng hàng với chữ
số có nghĩa của sai số tuyệt đối.
Ví dụ:
Không thể viết m = 2,83745 ± 0,0731g
mà phải viết m = 2,84 ± 0,07 g
0,07
.100% = 2,464 = 2,464%
2,84
hoặc là ta tính δ =
Ta có thể viết
m = [2,84 ± 2,5.2,84%] g . Nếu sai số lấy đến 1 chữ số có nghĩa thì
m = [2,84 ± 0, 07] g
Chú ý rằng khi viết kết quả cuối cùng, sai số toàn phần sẽ bằng tổng sai số ngẫu
nhiên và sai số hệ thống: TP = NN + HT
Ví dụ: Khi dùng thước kẹp để đo đường kính một sợi dây nhỏ, giả sử ta đo 5
lần, sai số ngẫu nhiên tính được là d = 0,05mm . Thước kẹp có độ chính xác
δ = 0,02mm thì sai số toàn phần sẽ là TP = 0,05 + 0,02 = 0,07 mm .
Nếu sai số ngẫu nhiên nhỏ hơn sai số hệ thống thì ta bỏ qua sai số ngẫu nhiên
đó [vì không thể đo được kết quả chính xác hơn cả cấp chính xác của dụng cụ đo].
Trong trường hợp phép đo chỉ thực hiện một lần thì sai số toàn phần được lấy
chính là sai số hệ thống [do dụng cụ đo].
2.5. Xử lí số liệu và biểu diễn kết quả bằng đồ thị
Trong nhiều trường hợp kết quả thí nghiệm được biểu diễn bằng đồ thị là rất
thuận lợi, vì đồ thị có thể cho thấy sự phụ thuộc của một đại lượng y vào đại lượng
x nào đó. Phương pháp đồ thị thuận tiện để lấy trung bình các kết quả đo.
Giả sử bằng các phép đo trực tiếp, ta xác định được các cặp giá trị của x và y
như sau:
11
x1 ± x1 x2 ± x2 ................................... xn ± xn
y1 ± y1 y2 ± y2 ................................... yn ± yn
Muốn biểu diễn hàm y = f [x] bằng đồ thị, ta làm như sau:
a. Trên giấy kẻ ô, ta dựng hệ tọa độ decac vuông góc. Trên trục hoành đặt các giá
trị x, trên trục tung đặt các giá trị y tương ứng. Chọn tỉ lệ xích hợp lí để đồ thị
choán đủ trang giấy.
b. Dựng các dấu chữ thập hoặc các hình chữ nhật có tâm là các điểm A1 [ x1 , y1 ] ,
A2 [ x2 , y2 ]...... An [ xn , yn ] và có các cạnh tương ứng là [ 2x1 ,2y1 ] ,......[ 2xn ,2yn ] . Dựng
đường bao sai số chứa các hình chữ nhật hoặc các dấu chữ thập.
c. Đường biểu diễn y = f [x] là một đường
y
cong trơn trong đường bao sai số được vẽ
+
+
+
sao cho nó đi qua hầu hết các hình chữ y
nhật và các điểm A1 , A2 ...... An nằm trên hoặc
+
+
phân bố về hai phía của đường cong [hình
+
1].
x
0
d. Nếu có điểm nào tách xa khỏi đường
x
cong thì phải kiểm tra lại giá trị đó bằng
Hình 1. Dựng đồ thị
thực nghiệm. Nếu vẫn nhận được giá trị cũ
thì phải đo thêm các điểm lân cận để phát hiện ra điểm kì dị
e. Dự đoán phương trình đường cong có thể là tuân theo phương trình nào đó:
- Phương trình đường thẳng y = ax + b
- Phương trình đường bậc 2
- Phương trình của một đa thức
- Dạng y = eax, y = abx
- Dạng y = a/xn
- Dạng y = lnx.
Việc thiết lập phương trình đường cong được thực hiện bằng cách xác định các
hệ số a, b, n. Các hệ số này sẽ được tính khi làm khớp các phương trình này với
đường cong thực nghiệm
Các phương trình này có thể chuyển thành phương trình đường thẳng bằng
cách đổi biến thích hợp [tuyến tính hóa]
12
Chú ý: Ngoài hệ trục có tỉ lệ xích chia đều, người ta còn dùng hệ trục có một trục
chia đều, một trục khác có thang chia theo logarit để biểu diễn các hàm
mũ, hàm logarit [y = lnx; y = a x ].
III. Nội dung thực hành
1. Tính sai số của đại lượng đo gián tiếp
Hãy tính sai số của các đại lượng đo gián tiếp sau:
a, p = p0 e
µgh
RT
với p0 = p0 ± p0
T = T ± T
g , µ , R là các hằng số
h = h ± h
γ
V
b, p = p1 1 với p1 = p1 ± p1
V
V1 = V1 ± V1
V = V ± V
c, α =
γ là hằng số
1
[ c1m1 + c 2 m2 ].[ t1 θ ] c 2θ + c 2 t 2
m
với m = m ± m t1 = t1 ± t1
m1 = m1 ± m1 t 2 = t 2 ± t 2 ; c1 là hằng số
m2 = m2 ± m2 θ = θ ± θ ; c2 là hằng số
2. Xử lí số liệu và tính toán đại lượng đo gián tiếp
Đặt vấn đề
Để xác định lực hướng tâm, người ta bố trí thí nghiệm bằng việc sử dụng
một số dụng cụ như sau:
- 01 động cơ điện dùng nguồn điện 220 V xoay chiều.
- 01 máng nằm ngang nhẵn, được gắn vuông góc với
m
trục thẳng đứng [trục quay]. Do trục quay được liên kết với
F
động cơ nên máng nằm ngang có thể quay tròn xung quanh
r
trục thẳng đứng.
- 01 xe lăn trên máng, có khối lượng m được nối với
trục quay bằng môt sợi dây mềm, nhẹ, không dãn. Khi
H×nh 1
máng quay xung quanh trục thẳng đứng, xe lăn sẽ chuyển
động ra làm căng sợi dây và cùng với máng quay quanh trục
13
- 01 cổng quang học để đo vận tốc góc của máng.
- 01 giá đỡ có gắn lực kế lò xo, một sợi dây mềm và một ròng rọc có khối
lượng nhỏ không đáng kể.
- 01 hộp gia trọng để gắn lên xe
- 01 cân chính các để xác định khối lượng xe và các gia trọng.
- 01 thước đo chiều dài có độ chia tới mm để đo khoảng cách của xe tới trục quay
Khi xe cùng máng quay xung quanh trục thẳng đứng, ta đo được r, ω từ đó
tính được lực hướng tâm:
F = mω 2 r trong đó các đại lượng m, r, ω là các đại lượng đo trực tiếp được với 5
lần đo như trong bảng thống kê sau:
Chú ý: Cổng quang là máy đếm tần số hoặc đo chu kì dùng tế bào quang
điện. Mỗi lần máng ngang đi qua cổng quang thì được đếm một lần. Khi sử dụng
núm gạt trên cổng quang thì có thể chọn được chế độ đếm thích hợp để đo chu kì T
[xem cách sử dụng trong bài thí nghiệm 1 và bài thí nghiệm 7].
Bảng thống kê các đại lượng đo trực tiếp
Lần
đo
m [g]
[Khối lượng xe
và gia trọng]
f [vg/s]
[tần số đo bằng
số vòng quay/s]
r [cm]
[khoảng cách
từ xe tới trục]
1
2
3
4
5
199
201
198
200
199
2600
2604
2597
2596
2603
35,5
36,0
35,8
36,4
35,9
F [N]
F = mω 2 r
Yêu cầu:
a. Hãy tính giá trị trung bình và sai số của các đại lượng đo trực tiếp m, r, ω
trong 5 lần đo
b. Hãy thiết lập công thức tính giá trị trung bình và sai số của đại lượng đo
gián tiếp F [từ công thức xác định lực hướng tâm]
c. Hãy tính giá trị trung bình trong 5 lần đo và sai số trung bình của lực
hướng tâm. Yêu cầu dùng quy tắc làm tròn số trong các phép tính và kết quả cuối
cùng của đại lượng F.
14
e. Hãy tính sai số tương đối của đại lượng F
Câu hỏi mở rộng
Dùng lực kế để liên kết xe với trục quay, người ta có thể đo kiểm nghiệm
được lực hướng tâm tác dụng lên xe lăn, khi máng quay đều. Hãy tìm hiểu kĩ tính
năng của các dụng cụ trong bài để đưa ra cách bố trí lực kế cho phép đọc được độ
lớn của lực hướng tâm trên lực kế, mà sai số của phép đo nhỏ nhất. Hãy vẽ sơ đồ
bố trí thí nghiệm và giải thích
Gợi ý: Trước khi làm bài toán này, nên tìm hiểu kĩ các dụng cụ đã cho, đặc
biệt công dụng và cách sử dụng cổng quang được nêu trong bài thí nghiệm 1 và 7.
IV. Báo cáo thực hành
THỰC HÀNH TÍNH SAI SỐ VÀ XỬ LÍ SỐ LIỆU
Họ và tên:................................................Lớp:..............Nhóm:....................
Ngày làm thực hành:....................................................................................
Viết báo cáo theo các nội dung sau:
1. Mục đích
........
........
2. Tóm tắt lí thuyết
a. Giá trị trung bình và sai số của đại lượng đo trực tiếp
.............................................................................................................................
b. Các phương pháp tính giá trị trung bình và sai số của đại lượng đo gián
tiếp........................................................................................................................
c. Quy tắc làm tròn số liệu.
..............................................................................................................................
d. Cách tính sai số tương đối
..............................................................................................................................
3. Trình bày các nội dung
3.1. Bài toán tính sai số của đại lượng đo gián tiếp:
Tính sai số của ba đại lượng đo gián tiếp
p = p0 e
µgh
RT
γ
1
V
, p = p1 1 , α = [ c1m1 + c 2 m2 ].[ t1 θ ] c 2θ + c 2 t 2
m
V
15
Chú ý: Thực hiện theo cả 2 phương pháp tính sai số của đại lượng đo gián tiếp.
Sau đó rút ra ưu, nhược điểm của 2 phương pháp đó.
3.2. Bài toán xử lí số liệu và tính toán đại lượng đo gián tiếp
Bảng thống kê các đại lượng đo trực tiếp
Lần
đo
m [g]
[khối lượng xe
và gia trọng]
f [vg/s]
[tần số đo bằng
số vòng quay/s]
r [cm]
[khoảng cách
từ xe tới trục]
1
2
3
4
5
199
201
198
200
199
2600
2604
2597
2596
2603
35,5
36,0
35,8
36,4
35,9
F [N]
F = mω 2 r
- Tính các giá trị trung bình và sai số của các đại lượng đo trực tiếp:
ω,
m,
r , ω ,
m,
r từ các số liệu trong bảng
Tính giá trị trung bình và sai số của lực hướng tâm F
+ Biểu thức giá trị trung bình:
F =
+ Biểu thức sai số của đại lượng đo gián tiếp:
F =
Sai số tương đối δ =
F
=
F
Viết kết quả F = F ± F =
[chú ý quy tắc làm tròn số]
Nhận xét kết quả...............................................................................................
...................................................................................................................................
4. Trả lời câu hỏi mở rộng
Dùng lực kế để liên kết xe với trục quay, người ta có thể đo kiểm nghiệm được
lực hướng tâm tác dụng lên xe lăn, khi máng quay đều............................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
16