Giải bài 28, 29, 30, 31, 32 trang 89 sách giáo khoa Toán lớp 9 tập 1 bài Luyện tập - Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông. Bài 28 Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m. Hãy tính góc [làm tròn đến phút] mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất [góc α trong hình 31].
Bài 28 trang 89 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m. Hãy tính góc [làm tròn đến phút] mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất [góc α trong hình 31].
Lời giải:
Theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, ta có:
\[\tan \alpha =\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{7}{4} =1,75\]
Bấm máy tính: SHIFT tan 1,75 = , ta được: \[\alpha \approx 60^o 15'\]
Vậy góc mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất là \[60^015'\]
Bài 29 trang 89 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
Một khúc sông rộng khoảng \[250m\]. Một chiếc thuyền chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng \[320m\] mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc bằng bao nhiêu độ? [góc \[\alpha\] trong hình 32].
Phương pháp:
+] Dựng tam giác có các cạnh và góc thỏa mãn đề bài.
+] Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn: \[\cos \alpha = \dfrac{cạnh\ kề}{cạnh\ huyền}.\] Từ đó dùng máy tính tính được số đo góc \[\alpha\].
Lời giải:
Theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:
\[\cos \alpha =\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{250}{320}\]
Bấm máy tính: SHIFT cos \[\dfrac{250}{320}\] =
\[\Rightarrow \alpha \approx 38^{\circ}37'\].
Vậy chiếc đò lệch đi một góc gần bằng: \[ 38^{\circ}37'\].
Bài 30 trang 89 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
Cho tam giác \[ABC\], trong đó \[BC=11cm\], \[\widehat{ABC}=38^{\circ},\widehat{ACB}=30^{\circ}.\] Gọi điểm \[N\] là chân của đường vuông góc kẻ từ \[A\] đến cạnh \[BC\]. Hãy tính:
a] Đoạn thẳng \[AN\];
b] Cạnh \[AC\].
Gợi ý: Kẻ \[BK\] vuông góc với \[AC\].
Phương pháp:
+] Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] thì \[\widehat{B}+\widehat{C}=90^o\].
+] Sử dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông: Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] thì:
\[b=a.\sin B \Rightarrow a=\dfrac{b}{\sin B}\];
\[ b= a . \cos C \Rightarrow a=\dfrac{b}{\cos C}\].
Lời giải:
a] Kẻ \[BK\perp AC\] \[[K\in AC]\]
Xét tam giác vuông \[BKC\] ta có:
\[\widehat{KBC}+\widehat{KCB}=90^{\circ}\]
\[\Rightarrow \widehat{KBC}=90^o - \widehat{KCB}=90^o -30^{\circ}=60^{\circ}\]
Mà \[\widehat{KBA}+\widehat{ABN}=\widehat{KBN} \Rightarrow \widehat{KBA}=\widehat{KBN}-\widehat{ABN}\]
\[\Leftrightarrow \widehat{KBA}=60^{\circ}-38^{\circ}=22^{\circ}\]
Xét tam giác \[KBC\] vuông tại \[K\] có:
\[BK=BC\cdot \sin C=11\cdot \sin30^{\circ}=5,5[cm]\]
Xét tam giác \[KBA\] vuông tại \[K\] có:
\[BK=AB. \cos \widehat{KBA} \Leftrightarrow 5,5=AB.\cos 22^o \]
\[\Rightarrow AB=\dfrac{5,5}{\cos 22^{\circ}}\approx 5,932 [cm].\]
Xét tam giác \[ABN\] vuông tại \[N\] có:
\[AN= AB. \sin \widehat{ABN} \approx 5,932.\sin 38^o \approx 3,652[cm]\]
b] Xét tam giác \[ANC\] vuông tại \[N\] có:
\[AN=AC. \sin C \Rightarrow 3,652 = \sin 30^o . AC\]
\[\Leftrightarrow AC=\dfrac{3,652}{\sin 30^o} \approx 7,304[cm]\].
Bài 31 trang 89 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
Trong hình 33, \[AC=8cm,\ AD=9,6cm,\ \widehat{ABC}=90^o,\ \]
\[\widehat{ACB}=54^o\] và \[\widehat{ACD}=74^o\]. Hãy tính:
a] AB;
b] \[\widehat {ADC}\].
Phương pháp:
a] Sử dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông: \[\Delta{ABC}\] vuông tại \[B\] thì: \[AB=AC. \sin C\].
b] Kẻ thêm đường cao để làm xuất hiện tam giác vuông [Kẻ \[AH ⊥ CD\]]
+] Sử dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông: \[\Delta{ABC}\] vuông tại \[A\] khi đó: \[AB=BC. \sin C\] hoặc \[AC=AB. \sin B\].
+] Biết \[\sin \alpha\] dùng máy tính ta tính được số đo góc \[\alpha\].
Lời giải:
a] Xét tam giác \[ABC\] vuông tại \[B\] có:
\[ \sin C = \frac{AB}{AC}\]
Nên \[AB = AC.\sin C = 8.\sin {54^0} \approx 6,472\left[ {cm} \right]\]
b] Kẻ \[AH\] vuông góc với \[CD\] tại \[H.\]
Xét tam giác \[ACH\] vuông tại \[H\] có:
\[\sin C = \frac{AH}{AC}\]
Nên \[AH = AC.\sin C = 8.\sin {74^0} \approx 7,69\left[ {cm} \right]\]
Xét tam giác \[AHD\] vuông tại \[H\] có:
\[\sin {\rm{D}} = \dfrac{AH}{AD} \approx \dfrac{7,69}{9,6} \approx 0,801 \Rightarrow \widehat D \approx {53^0}\].
Bài 32 trang 89 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
Một con thuyền với vận tốc \[2km/h\] vượt qua một khúc sông nước chảy mạnh mất \[5\] phút. Biết rằng đường đi của con thuyền tạo với bờ một góc \[70^{\circ}\]. Từ đó đã có thể tính được chiều rộng của khúc sông chưa? Nếu có thể hãy tính kết quả [làm tròn đến mét].