Cách tính nghiệm của phương trình bậc 2 hay biểu thức giá trị tuyệt đối là kiến thức các em đã làm quen từ các lớp học trước. Tuy nhiên, không phải bạn nào cũng có thể vận dụng tốt kiến thức này để giải phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
Bạn đang xem: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối lớp 10 nâng cao
Bài viết này sẽ hướng dẫn các em cách giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, qua đó vận dụng vào các bài tập để rèn luyện kỹ năng giải các dạng toán này.
° Cách giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối [quy về phương trình bậc 2]
• Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta thường xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối, tìm cách để khử dấu giá trị tuyệt đối như:
- Dùng định nghĩa hoặc tính chất của giá trị tuyệt đối
- Bình phương hai vế phương trình đã cho
- Có thể đặt ẩn phụ.
+ Với phương trình dạng |f[x]| = |g[x]| ta có thể giải bằng cách biến đổi tương đương như sau:
|f[x]| = |g[x]| ⇔
hoặc |f[x]| = |g[x]|⇔ f2[x] = g2[x]
+ Với phương trình dạng |f[x]| = g[x] ta có thể biến đổi tương đương như sau:
hoặc
- Ta thấy x = 5 và x = -1/5 đều thỏa điều kiện x ≥ -3/2.
¤ Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm là x1 = 5 và x2 = -1/5.
b] |2x - 1| = |-5x - 2| [2]
- Tập xác định D = R. Ta có:
[2] ⇔ [2x - 1]2 = [-5x - 2]2 [bình phương 2 vế để khử trị tuyệt đối]
⇔ 4x2 - 4x + 1 = 25x2 + 20x + 4
⇔ 21x2 + 24x + 3 = 0
Có a = 21; b = 24; c = 3 để ý thấy a - b + c = 0 theo Vi-ét pt có nghiệm: x1 = -1; x2 = -c/a = -3/21 = -1/7.
¤ Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm là x1 = -1 và x2 = -1/7.
c] [3]
- Tập xác định: D = R{-1;2/3}
• TH1: Nếu x +1 > 0 ⇔ x > –1 khi đó: |x + 1| = x + 1. Nên ta có:
⇔ [x - 1][x + 1] = [-3x + 1][2x - 3]
⇔ x2 - 1 = -6x2 + 11x - 3
⇔ 7x2 - 11x + 2 = 0
- Ta thấy x1, x2 thỏa điều kiện x > -1 và x ≠ 3/2.
• TH2: Nếu x +1 2 = -6x2 + 11x - 3
⇔ 5x2 - 11x + 4 = 0
Có
- Ta thấy x1, x2 không thỏa mãn điều kiện x 2 + 5x + 1 [4]
- Tập xác định: D = R.
• TH1: Nếu 2x + 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ -5/2, khi đó |2x + 5| = 2x + 5. Ta có:
[4] ⇔ 2x + 5 = x2 + 5x + 1
⇔ x2 + 3x – 4 = 0
Có a = 1; b = 3; c = -4 nên theo Vi-ét pt có nghiệm: x1 = 1; x2 = c/a = -4.
- Ta thấy chỉ có x1 = 1 thỏa điều kiện x ≥ -5/2
• TH2: Nếu 2x + 5 2 + 5x + 1
⇔ x2 + 7x + 6 = 0
Để ý có: a - b + c = 0 nên theo Vi-ét pt có nghiệm: x1 = -1; x2 = -c/a = -6
- Ta thấy chỉ có x2 = -6 thỏa điều kiện x * Nhận xét: Như vậy các em để ý, để giải pt có dấu trị tuyệt đối cần linh hoạt vận dụng. Ví dụ, đối pt có dấu trị tuyệt đối mà 2 vế đều bậc 1 ta ưu tiên cách bình phương 2 vế để khử trị tuyệt đối; đối với pt 1 vế bậc nhất, 1 vế bậc 2 ta ưu tiên khử trị tuyệt đối theo định nghĩa.
* Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
a] x2 + |x - 1| = 1
b] |x - 6| = |x2 - 5x +9|
° Lời giải:
a] x2 + |x - 1| = 1
[Ta sẽ khử trị tuyệt đối bằng phép biến đổi tương đương].
⇔ |x - 1| = 1 - x2
¤ Kết luận: Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = 1; x2 = 0.
b] |x - 6| = |x2 - 5x +9|
[Ta sẽ khử trị tuyệt đối bằng phép biến đổi tương đương].
¤ Kết luận: Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = 1; x2 = 3.
Xem thêm: Cảm Ơn Cuộc Đời Vì Đã Để Anh Bước Đến, Mais De Crush+
Hy vọng qua phần ví dụ và bài tập minh họa cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối [phương trình quy về phương trình bậc 2] ở trên gúp các em hiểu kỹ hơn và dễ dàng vận dụng nó để giải các bài tập dạng này.
Hướng dẫn Cách phá dấu giá trị tuyệt đối hay nhất, chi tiết, bám sát nội dung SGK Toán lớp 10, giúp các em ôn tập tốt hơn.
1. Phương pháp chung
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối[GTTĐ] ta tìm cách để khử dấu giá trị tuyệt đối, bằng cách:
- Bước 1 : Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối
- Bước 2: Giải các bất phương trình không có dấu giá trị tuyệt đối
- Bước 3: Chọn nghiệm thích hợp trong từng trường hợp đang xét
- Bước 4 : Kết luận nghiệm
2. Lý thuyết
Phương trình dạng |f[x]|=|g[x]| ta có thể giải bằng cách biến đổi tương đương như sau:
hoặc |f[x]| = |g[x]|⇔ f2[x] = g2[x]
- Đối với phương trình dạng |f[x]| = g[x][*] ta có thể biến đổi tương đương như sau:
3. Các dạng phương trình tuyệt đối
3.1] Giải phương trình: |A[x]|=b [b≥0], |A[x]|=B[x]
Cách giải phương trình: |A[x]|=b [b≥0],
3.2] Cách giải phương trình: |A[x]|=B[x]
Ví dụ 1.Giải phương trình|x−2|+3x+2=0.
- Phân tích :
- Lời giải :
Ví dụ 2.Giải phương trình |x + 2| + x2 – 3x =1
Lời giải :
Ví dụ 3.Giải phương trình|x−1|+|x−2|=2x−3.
- Phân tích:Đây là bài toán có chứa hai dấu giá trị tuyệt đối nên cần lưu ý các trường hợp sau
+ Nếux 0.
b] A = | 4x | - 2x + 12 với x < 0.
c] A = | x - 4 | - x + 1 với x < 4
Hướng dẫn:
a] Với x > 0⇒ | 5x | = 5x
Khi đó ta có: A = 3x + 2 + | 5x | = 3x + 2 + 5x = 8x + 2
Vậy A = 8x + 2.
b] Ta có: x < 0⇒ | 4x | = - 4x
Khi đó ta có: A = | 4x | - 2x + 12 = - 4x - 2x + 12 = 12 - 6x
Vậy A = 12 - 6x.
c] Ta có: x < 4⇒ | x - 4 | = 4 - x
Khi đó ta có: A = | x - 4 | - x + 1 = 4 - x - x + 1 = 5 - 2x.
Vậy A = 5 - 2x
Bài 2:Giải các phương trình sau:
a] | 2x | = x - 6
b] | - 5x | - 16 = 3x
c] | 4x | = 2x + 12
d] | x + 3 | = 3x - 1
Hướng dẫn:
a] Ta có: | 2x | = x - 6
+ Với x ≥ 0, phương trình tương đương: 2x = x - 6⇔ x = - 6.
Không thỏa mãn điều kiện x ≥ 0.
+ Với x < 0, phương trình tương đương: - 2x = x - 6 ⇔ - 3x = - 6⇔ x = 2.
Không thỏa mãn điều kiện x < 0.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
b] Ta có: | - 5x | - 16 = 3x
+ Với x ≥ 0, phương trình tương đương: 5x - 16 = 3x⇔ 2x = 16⇔ x = 8
Thỏa mãn điều kiện x ≥ 0
+ Với x < 0, phương trình tương đương: - 5x - 16 = 3x⇔ 8x = - 16⇔ x = - 2
Thỏa mãn điều kiện x < 0
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { - 2;8 }
c] Ta có: | 4x | = 2x + 12
+ Với x ≥ 0, phương trình tương đương: 4x = 2x + 12⇔ 2x = 12⇔ x = 6
Thỏa mãn điều kiện x ≥ 0
+ Với x < 0, phương trình tương đương: - 4x = 2x + 12⇔ - 6x = 12⇔ x = - 2
Thỏa mãn điều kiện x < 0
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {- 2;6}
d] Ta có: | x + 3 | = 3x - 1
+ Với x ≥ - 3, phương trình tương đương: x + 3 = 3x + 1⇔ - 2x = - 2⇔ x = 1.
Thỏa mãn điều kiện x ≥ - 3
+ Với x < - 3, phương trình tương đương: - x - 3 = 3x + 1⇔ - 4x = 4⇔ x = - 1
Không thỏa mã điều kiện x < - 3
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1}