Hướng dẫn Cách giải bất phương trình bậc 2 chứa tham số hay nhất, chi tiết, bám sát nội dung SGK Toán lớp 10, giúp các em ôn tập tốt hơn.
Bạn đang xem: Công thức giải bất phương trình bậc 2
1. Bất phương trình bậc hai
- Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng ax2 + bx + c 2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c ≥ 0], trong đó a,b,c là những số thực đã cho, a≠0.
* Ví dụ: x2 – 2 >0; 2x2 +3x – 5 2 + bx + c 2 + bx + c cùng dấu với hệ số a [trường hợp a0].
2. Dấu của tam thức bậc hai
Nhận xét:
* Định lý: Cho f[x] = ax2 + bx + c, Δ = b2 – 4ac.
– Nếu Δ0 thì f[x] luôn cùng dấu với hệ số a khi x 1 hoặc x > x2 ; trái dấu với hệ số a khi x1 2 trong đó x1, x2 [với x1 2] là hai nghiệm của f[x].
3. Cách xét dấu của tam thức bậc 2
– Tìm nghiệm của tam thức
– Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số a
– Dựa vào bảng xét dấu và kết luận
4. Giải bất phương trình bậc 2
– Giải bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c 2 + bx + c cùng dấu với hệ số a [trường hợp a0].
Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.
5. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Giải bất phương trình bậc hai.
Phương pháp:
- Bước 1: Biến đổi bất phương trình về dạng một vế là tam thức bậc hai, một vế bằng 0.
- Bước 2: Xét dấu vế trái của tam thức bậc hai và kết luận nghiệm.
Dạng 2: Giải bất phương trình tích.
Phương pháp:
- Bước 1: Biến đổi bất phương trình về dạng tích các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.
- Bước 2: Xét dấu các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai ở trên và kết luận nghiệm.
Dạng 3: Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu
Phương pháp:
- Bước 1: Biến đổi bất phương trình đã cho về dạng tích, thương các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.
- Bước 2: Xét dấu các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai ở trên và kết luận nghiệm.
Chú ý: Cần chú ý điều kiện xác định của bất phương trình.
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình vô nghiệm – có nghiệm – nghiệm đúng
Phương pháp:
Sử dụng một số tính chất:
- Nếu ΔDạng 5: Giải hệ bất phương trình bậc hai
Phương pháp:
- Bước 1: Giải từng bất phương trình có trong hệ.
- Bước 2: Kết hợp nghiệm và kết luận.
6. Bài tập tham khảo có hướng dẫn
Bài 1: Tìm m để bất phương trình x2 - 2[m + 1] + m2 + 2m ≤ 0 có nghiệm với mọi x ∈
Hướng dẫn giải:
Đặt x2 - 2[m + 1] + m2 + 2m ≤ 0
Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với ∀x ∈
Phương trình f[x] = 0 có hai nghiệm thỏa mãn
Vậy với -1 ≤ m ≤ 0 thỏa mãn điều kiện đề bài cho.
Bài 2: Tìm m để bất phương trình sau [m + 2]x2 - 2mx + m2 + 2m ≤ 0 có nghiệm.
Xem thêm: Quy Định Về Thời Gian Thực Hiện Hợp Đồng Là Gì, Please Wait
Hướng dẫn giải
Xét 3 trường hợp:
- Trường hợp 1: Với m + 2 = 0 ⇒ m = -2 ta được:
[1] ⇔ 4x + 4 0 ⇒ m > -2. Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm thì vế trái phải có 2 nghiệm phân biệt :
m > √2 và -2 2x + 3 Hướng dẫn giải:
Bất phương trình tương đương với: m2x - mx 2 - m]x 2 - m = 0 ⇔m = {0;1} thì bất phương trình trở thành 0
Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị thực của m.
Bài 4: Tìm tham số m để bất phương trình: f[x] = [m2 + 1]x2 + [2m - 1]x - 5 Hướng dẫn giải:
Ta có:
Vậy để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng [ -1, 1] thì m ∈ [-1; √6 - 1]
Trong bài viết dưới đây, điện máy Sharp Việt Nam tổng hợp các công thức giải bất phương trình và các dạng bài tập về bất phương trình có lời giải chi tiết giúp các bạn ôn lại kiến thức để làm bài tập nhanh chóng nhé
A. Bất phương trình quy về bậc nhất
Trong phần A, điện máy Sharp Việt Nam sẽ giới thiệu các công thức giải bất phương trình lớp 10 dành cho các phương trình bậc nhất. Trước khi đi vào các công thức giải các em cần phải nắm vững bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất.
Lưu ý: Phải cùng trái khác
Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0
| Điều kiện | Kết quả tập nghiệm | |
| a > 0 | S = [ – ∞, -b/a] | |
| a < 0 | S = [ -b/a, + ∞] | |
| a = 0 | b ≥ 0 | S = ∅ |
| b < 0 | S= R |
Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao các tập nghiệm thu được.
Dấu nhị thức bậc nhất
| f[x] = ax + b [a ≠ 0] | |
| x ∈ [ – ∞, -b/a] | a.f[x] < 0 |
| x ∈ [ -b/a, + ∞] | a.f[x] > 0 |
Bất phương trình tích
Dạng: P[x].Q[x] > 0 [1] [trong đó P[x], Q[x] là những nhị thức bậc nhất.]
∙ Cách giải: Lập bxd của P[x].Q[x]. Từ đó suy ra tập nghiệm của [1].
Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu
Chú ý: Không nên qui đồng và khử mẫu.
Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Tương tự như giải pt chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, ta hay sử dụng định nghĩa và tính chất của giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối.
Tham khảo thêm:
B. Bất phương trình quy về bậc hai
Trong phần B, diện máy Sharp Việt Nam sẽ tiếp tục giới thiệu các công thức giải bất phương trình lớp 10 dành cho các phương trình bậc hai và phương trình qui về bậc hai. Trước khi đi vào các công thức giải các em cần phải nắm vững bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất.
Dấu của tam thức bậc hai
| f[x] = ax2 + bx + c [ a ≠ 0] | |
| Δ > 0 | a.f[x] > 0, ∀x ∈ R |
| Δ = 0 | a.f[x] > 0, ∀x ∈ R \ {-b/2a} |
| Δ < 0 | a.f[x] > 0, ∀x ∈ [ -∞, x1] ∪ [x2, +∞] |
| a.f[x] < 0, ∀x ∈ [ x1, x2] |
Bất phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c > 0 [hoặc ≥ 0; < 0; ≤ 0]
Để giải bất phương trình bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.
Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối.
Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn
Trong các dạng toán thì bất phương trình chứa căn được xem là dạng toán khó nhất. Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta cầ sử dụng kết hợp các công thức giải bất phương trình lớp 10 kết hợp với phép nâng luỹ thừa hoặc đặt ẩn phụ để khử dấu căn.
Bài tập về giải bất phương trình lớp 10 có lời giải
Ví dụ 1:Cho bất phương trình 2x ≤ 3.
a] Trong các số -2; 2½; π; √10 số nào là nghiệm, số nào không là nghiệm của bất phương trình trên ?
b] Giải bất phương trình đó và biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số.
Lời giải
a] Ta có: 2. [-2] ≤ 3 nên -2 có là nghiệm của bất phương trình
2π > 3 nên π không là nghiệm của bất phương trình.
2√10 > 3 [ vì 40 > 9] nên √10 không là nghiệm của bất phương trình,
Các số là nghiệm của bất phương trình trên là: -2;
Các số không là nghiệm của bất phương trình trên là: 2½; π; √10
b] 2x ≤ 3 ⇔ x ≤ 3/2
Biểu diễn tập nghiệm trên trục số là:
Ví dụ 2: Tìm các giá trị x thỏa mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau:
Lời giải
Vậy tập giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định là D = R\{0; –1}
Vậy tập giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định là D = R\{–2; 1; 2; 3}
Ví dụ 3: Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm:
b] Tập xác định: D = R.
c] Tập xác định D = R.
Ta có:
Ví dụ 4: Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?
a] -4x + 1 > 0 và 4x – 1 < 0
b] 2x2 + 5 ≤ 2x – 1 và 2x2 – 2x + 6 ≤ 0
Lời giải
a] Nhân hai vế của BPT: –4x + 1 > 0 với [–1] < 0 ta được BPT: 4x – 1 < 0 nên hai BPT đó tương đương.
Viết là –4x + 1 > 0 ⇔ 4x – 1 < 0.
b] Ta có:
2x2 + 5 ≤ 2x – 1
⇔ 2x2 + 5 + 1 – 2x ≤ 2x – 1 + 1 – 2x [Cộng cả hai vế của BPT với 1 – 2x].
⇔ 2x2 – 2x + 6 ≤ 0.
Vậy hai BPT đã cho tương đương: 2x2 + 5 ≤ 2x – 1 ⇔ 2x2 – 2x + 6 ≤ 0.
Ví dụ 5: Giải các bất phương trình sau:
b. [2x – 1][x + 3] – 3x + 1 ≤ [x – 1][x + 3] + x2 – 5
Lời giải
a] Tập xác định D = R.
b] [2x – 1][x + 3] – 3x + 1 ≤ [x – 1][x + 3] + x2 – 5
⇔ 2x2 + 6x – x – 3 – 3x + 1 ≤ x2 + 3x – x – 3 + x2 – 5
⇔ 2x2 + 2x – 2 ≤ 2x2 + 2x – 8
⇔ 6 ≤ 0 [Vô lý].
Vậy BPT vô nghiệm.
Ví dụ 6: Biểu diễn hình học tập nghiệm của các bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau:
a] -x + 2 + 2[y – 2] < 2[1 – x]
b] 3[x – 1] + 4[y – 2] < 5x – 3
Lời giải
a] –x + 2 + 2[y – 2] < 2[1 – x]
⇔ –x + 2 + 2y – 4 < 2 – 2x
⇔ x + 2y < 4 [1]
Biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng tọa độ :
– Vẽ đường thẳng x + 2y = 4.
– Thay tọa độ [0; 0] vào [1] ta được 0 + 0 < 4
⇒ [0; 0] là một nghiệm của bất phương trình.
Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ không kể bờ với bờ là đường thẳng x + 2y = 4 [miền không bị gạch].
b] 3[x – 1] + 4[y – 2] < 5x – 3
⇔ 3x – 3 + 4y – 8 < 5x – 3
⇔ -2x + 4y < 8
⇔ x – 2y > –4 [ chia cả hai vế cho -2 < 0] [2]
Biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng tọa độ:
– Vẽ đường thẳng x – 2y = –4.
– Thay tọa độ [0; 0] vào [2] ta được: 0 + 0 > –4 đúng
⇒ [0; 0] là một nghiệm của bất phương trình.
Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ không kể bờ với bờ là đường thẳng x – 2y = –4
Bên trên chính là toàn bộ các công thức giải bất phương trình lớp 10 có thể giúp các bạn học sinh hệ thống lại kiến thức để áp dụng vào làm bài tập nhé
Đánh giá bài viết
XEM THÊM
Số chính phương là gì? Tính chất số chính phương, dạng bài tập từ A – Z
Diện tích mặt cầu và các dạng bài tập có lời giải chi tiết từ A – Z