§12. HÌNH VUÔNG BÀI TẬP VẬN DỰNG LÍ THUYẾT ?1 Đường chéo của hình vuông có những tính chất gì ? Hướng dẫn Đường chéo hình vuông có những tính chất sau : Cắt nhau tại trung điểm mỗi đường; Bằng nhau; Vuông góc với nhau. 79 a] b] 80 81 ?2 Tìm các hình vuông trên hình sau. Hướng dẫn Ta có ABCD, MNPQ và RSTU là các hình vuông. GIẢI BÀI TẬP Một hình vuông có cạnh bằng 3cm. Đường chéo của hình vuông đó bằng : 6cm, 7Ĩ8cm, 5cm hay 4cm ? Đường chéo của một hình vuông bằng 2dm. Cạnh của hình vuông đó bằng : ldm, -|dm, 72dm hay -|dm? 2 3 Giải Tứ giác ABCD là hình vuông nên AB = BC = 3cm AABC vuông tại B, ta có : AC2 = AB2 + AC2 = 32 + 32' = 18 Vậy : AC = 7Ĩ8cm Đường chéo hình vuông là 7Ĩ8cm. Gọi X là độ dài cạnh hình vuông. Ta có : X2 + X2 = 22 => 2x2 = 4 => X2 = 2 X = 72dm. Hãy chỉ rõ tâm đôi xứng của hình vuông, các trục đốỉ xứng của hình vuông. Giải Tâm đối xứng của hình vuông là giao điểm hai đường chéo. Hình vuông có bôn trục đôi xứng đó là hai đường chéo của hình và hai đường trung bình của hình vuông. Cho hình bên. Tứ giác AEDF là hình gì ? Vì sao ? Giải Ta có : ẤẼD = 90° [DE 1 AB] ẤẼÌ] = 90° [DF 1 AC] EAF 90° [AABC vuông tại A] nên AEDF là hình chữ nhật, có AD là phàn giác cúa ÉAF 82 Vậy tứ giác AEDF là hình vuông. Giài Cho hình bên, trong đó ABCD là hình vuông. Chứng minh ràng tứ giác EFGH là hình vuông. Xét hai tam giác vuông AEH và BFE, ta có : AE = BF [gt] BE = AH 'be = AB - AE JAB = AD j\H AD- HD va [AE = HD Nên AAEH = ABFE EF = EH Chứng minh tương tự. ta suy ra dược : AAE1-1 = ABFE = ACGF = ADHG => EF = EII = HG = GF Do đó : tứ giác EFGH là hình thoi [1] Mặt khác : AEH + AHE = 90° [AAHE vuông tại A] Suy ra : ẤẼẼ + BEF = 90° [ẤĨĨẼ = BEF] Từ dó: ỈĨẼF " 180° - [ẤẼĨI + BEF] - 180° - 90° = 90° [2] Từ [1] và [2], ta có EFGH là hình vuông. LUYỆN TẬP Các câu sau đúng hay sai ? Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi. Tứ giác có hai dường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi dường là hình thoi. Hình thoi là tứ giác có tất cả các cạnh bằng nhau. Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông. Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông. Giải Sai b] Dũng c] Đúng d] Sai e] Đúng. Cho tam giác ABC, D là điểm nằm giữa B và c. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, chúng cắt các cạnh AC và AB theo thứ tự ở E và F. Tứ giác AEDF là hình gì ? Vì sao ? Điếm 1] ớ vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình thoi ? Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác ADEF là hình gì ? Điếm D ờ vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình vuông ? Giải Ta có : DE // AF [,gt] DF // AE [gt] Vậy tứ giác AEDF là hình bình hành. Đế hình bình hành AEDF là hình thoi ta phái có AD là phân giác FAE Vậy D là giao điểm tia phân giác A của .XABC và BC thì tứ giác AEDF là hình thoi. Nếu  = 90° thì tứ giác AEDF là hình chữ nhật [hình bình hành có một góc vuông] Đế hình chữ nhật AEDF là hình vuông thì AD là phán giác EAF Vậy nếu AABC vuông tại A và D là giao điểm tia phân giác A và BC thì AEDF là hình vuông. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. a] Tứ giác ADFE là hình gì ? Vì sao ? b] Tứ giác EMFN là hình gì ? Vì sao ? Giải a] Ta có : AE // DF và AE = DF [AE = 4^, DF = -^4 và AB = CD] 2 2 nên tứ giác ADFE là hình bình hành Ta có : AE = 44 = AD và ẺÃD = 90° 2 Vậy ADFE là hình vuông. b] Tứ giác AECF có AE // CF và AE - CF nên AECF là hình bình hành Suy ra : AF // CE Tương tự : DE // BF Do đó tứ giác EMFN là hình bình hành có EMF = 90° [AEFD là hình vuông] nên EMFN là hình chữ nhật có EM = MF [tính chất đường chéo hình vuông]. Vậy EMFN là hình vuông. Đố. Lấy một tờ giấy gấp làm tư rồi cắt chéo theo nhát cắt AB [hình bên]. Sau khi mở tờ giấy ra, ta được một tứ giác. Tứ giác nhận được là hình gì ? Vì sao ? Nếu ta có OA = OB thì tứ giác nhận được là hình gì ? Giải - Tứ giác nhận được là hình thoi vì có hai đường chéo vuông góc nhau tại trung điểm mỗi đường. - Nếu OA = OB thì hai đường chéo của hình thoi bằng nhau. Vậy tứ giác nhận được là hình vuông.
Nhằm giúp các bạn học sinh lớp 8 có thêm nhiều tư liệu học tập Download.vn giới thiệu Chuyên đề Hình vuông.
Tài liệu tổng quát toàn bộ kiến thức lý thuyết như: định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết và bài tập về hình vuông Toán 8. Bên cạnh đó các bạn tham khảo thêm chuyên đề Hình thoi. Sau đây là nội dung chi tiết mời các bạn cùng tham khảo và tải tài liệu tại đây.
Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau.
Tổng quát: ABCD là hình vuông
Nhận xét:
+ Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau.
+ Hình vuông là hình thoi có bốn góc vuông.
+ Hình vuông vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi.
2. Tính chất
Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
3. Dấu hiệu nhận biết hình vuông
+ Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
+ Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
+ Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác một góc là hình vuông.
+ Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
+ Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A. Phân giác trong AD của góc A [D ∈ BC ]. Vẽ DF ⊥ AC, DE ⊥ AB. Chứng minh tứ giác AEDF là hình vuông.
II. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD.
a. Chứng minh tứ giác APQD và PBCQ là hình vuông
b. Gọi H là giao điểm của AQ và DP. Gọi K là giao điểm của CP và BQ. Chứng minh PHQK là hình vuông
Bài 2: Cho hình chữ nhật MNRS có MN = 2MS. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của MN;SR.
a. Chứng minh tứ giác MPQS và PNRQ là hình vuông
b. Gọi H là giao điểm của MQ và SP. Gọi K là giao điểm của RP và NQ. Chứng minh PHQK là hình vuông
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 10cm và AD = 5cm. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD.
a. Chứng minh tứ giác APQD và PBCQ là hình vuông
b. Gọi H là giao điểm của AQ và DP. Gọi K là giao điểm của CP và BQ. Chứng minh PHQK là hình vuông
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường phân giác AD. Gọi M, N theo thứ tự là chân đường vuông góc hạ từ D đến AB, AC.
a. Chứng minh AMDN là hình vuông
b. Gọi P đối xứng với D qua M. Chứng minh ADBP là hình thoi
c. NMPA là hình bình hành
Bài 5: Cho tam giác EFK vuông tại E. Đường phân giác ED. Gọi M, N theo thứ tự là chân đường vuông góc hạ từ D đến EF, EK.
a. Chứng minh EMDN là hình vuông
b. Gọi P đối xứng với D qua M. Chứng minh EDFP là hình thoi
c. NMPE là hình bình hành
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường phân giác AD. Gọi M, N theo thứ tự là chân đường vuông góc hạ từ D đến AB, AC.
d. Chứng minh AMDN là hình vuông
e. Gọi P đối xứng với D qua M. Tính độ dài DP biết AC = 10cm
f. NMPA là hình bình hành
Bài 7: Cho hình thang vuông ABCD có góc A bằng góc D và cùng bằng 90. AB = 3cm, AD = 8cm. CD = 5cm. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi K là hình chiếu của M trên CD. Chứng minh MNDK là hình vuông
Bài 8: Cho hình thang vuông ABCD có góc A bằng góc D và cùng bằng 90. AB = 6cm, AD = 16cm. CD = 10cm. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi K là hình chiếu của M trên CD. Chứng minh MNDK là hình vuông
Bài 9: Cho hình vuông ABCD. Lấy các điểm E, F theo thứ tự thuộc các cạnh CD, DA, sao cho AF = DE. Chứng minh AE = BF. Và AE vuông góc BF
Bài 10: Cho hình vuông ABCD. Lấy các điểm E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh CD, DA. Chứng minh AE = BF. Và AE vuông góc BF
Bài 11: Cho hình vuông ABCD. Lấy các điểm của M, N, P, Q theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho AM = BN = CP = DQ Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao ?
Bài 12: Cho tam giác ABC. Điểm M thuộc BC. Qua M dựng đường thẳng song song với AB cắt AC tại D, Qua M dựng đường thẳng song song với AC cắt AB tại E
a. Tứ giác ADME là hình gì ? Vì sao
b. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ADME là hình chữ nhật
Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm M thuộc BC. Qua M dựng đường thẳng song song với AB cắt AC tại D, Qua M dựng đường thẳng song song với AC cắt AB tại E
c. Tứ giác ADME là hình gì ? Vì sao
d. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ADME là hình vuông
Bài 14:Cho vuông ở A, trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AB, N là điểm đối xứng với M qua I
a. Các tứ giác ANMC, AMBN là hình gì ? Vì sao ?
b. Cho AB = 4cm ; AC = 6cm. Tính diện tích tứ giác AMBN
c. Tam giác vuông ABC có điều kiện gì thì AMBN là hình vuông
Bài 15: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA.
a. Chứng minh MNPQ là hình bình hành.
b. Hai đường chéo AC và BD của tứ giác cần có thêm điều kiện gì để MNPQ là hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông
Bài 16: Cho DABC vuông tại A, AB = 5cm, AC = 12cm, AM là trung tuyến.
a. Tính độ dài BC, AM.
b. Trên tia AM lấy điểm D đối xứng với A qua M. Chứng minh AD = BC. Tam giác vuông ABC cần có thêm điều kiện gì thì ABDC là hình vuông
Bài 17: Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm. Gọi AM là trung tuyến của tam giác.
a] Tính độ dài AM.
b] Kẻ MD vuông góc với AB, ME vuông góc với AC. Tứ giác ADME có dạng đặc biệt nào ?
c] Tứ giác DECB có dạng đặc biệt nào ?
Bài 18: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH.
1. Chứng minh AH. BC = AB. AC.
2. Gọi M là điểm nằm giữa B và C. Kẻ MN AB, MP AC [ N AB, P AC].
Tứ giác ANMP là hình gì ? Tại sao?
3. Tính số đo góc NHP ?
4. Tìm vị trí điểm M trên BC để NP có độ dài ngắn nhất ?