Prev Article Next Article
Phương pháp giải phương trình logarit Hướng dẫn giải bài tập Toán – Giải Tích 12 : GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG 1 …
source
Xem ngay video Giải bài tập 3 trang 84 sgk Giải Tích 12 [Toán 12 – Chương 2 – Phương trình logarit]
Phương pháp giải phương trình logarit Hướng dẫn giải bài tập Toán – Giải Tích 12 : GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG 1 …
“Giải bài tập 3 trang 84 sgk Giải Tích 12 [Toán 12 – Chương 2 – Phương trình logarit] “, được lấy từ nguồn: //www.youtube.com/watch?v=B5AlAyVy780
Tags của Giải bài tập 3 trang 84 sgk Giải Tích 12 [Toán 12 – Chương 2 – Phương trình logarit]: #Giải #bài #tập #trang #sgk #Giải #Tích #Toán #Chương #Phương #trình #logarit
Bài viết Giải bài tập 3 trang 84 sgk Giải Tích 12 [Toán 12 – Chương 2 – Phương trình logarit] có nội dung như sau: Phương pháp giải phương trình logarit Hướng dẫn giải bài tập Toán – Giải Tích 12 : GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG 1 …
Từ khóa của Giải bài tập 3 trang 84 sgk Giải Tích 12 [Toán 12 – Chương 2 – Phương trình logarit]: giải bài tập
Thông tin khác của Giải bài tập 3 trang 84 sgk Giải Tích 12 [Toán 12 – Chương 2 – Phương trình logarit]:
Video này hiện tại có 12546 lượt view, ngày tạo video là 2019-10-20 19:15:59 , bạn muốn tải video này có thể truy cập đường link sau: //www.youtubepp.com/watch?v=B5AlAyVy780 , thẻ tag: #Giải #bài #tập #trang #sgk #Giải #Tích #Toán #Chương #Phương #trình #logarit
Cảm ơn bạn đã xem video: Giải bài tập 3 trang 84 sgk Giải Tích 12 [Toán 12 – Chương 2 – Phương trình logarit].
Prev Article Next Article
Bài 1 trang 84 sgk giải tích 12
Giải các phương trình mũ:
a] \[{\left[ {0,3} \right]^{3x - 2}} = 1\];
b] \[\left [ \frac{1}{5} \right ]^{x}\]= 25;
c] \[2^{x^{2}-3x+2}\] = 4;
d] \[{\left[ {0,5} \right]^{x + 7}}.{\left[ {0,5} \right]^{1 - 2x}} = 2\].
Giải:
a] \[{\left[ {0,3} \right]^{3x - 2}} = 1 ={\left[ {0,3} \right]^0} \Leftrightarrow 3x - 2=0 ⇔ x = \frac{2}{3}\].
b] \[\left [ \frac{1}{5} \right ]^{x}= 25 ⇔{5^{ - x}} = {5^2} \Leftrightarrow x = - 2\].
c] \[2^{x^{2}-3x+2} = 4 ⇔ {x^2} - 3x +2=2 \Leftrightarrow x =0;x = 3\].
d] \[{\left[ {0,5} \right]^{x + 7}}.{\left[ {0,5} \right]^{1 - 2x}} = 2 ⇔ \left [ \frac{1}{2} \right ]^{x+7+1-2x}= 2\] \[⇔ 2^{x - 8} = 2^{1} \Leftrightarrow x - 8 = 1 \Leftrightarrow x = 9\].
Bài 2 trang 84 sgk giải tích 12
Giải các phương trình mũ:
a] \[{3^{2x-1}} + {3^{2x}} =108\];
b] \[{2^{x + 1}} + {2^{x - 1}} + {2^x} = 28\];
c] \[{64^x}-{8^x}-56 =0\];
d] \[{3.4^x}-{2.6^x} = {9^x}\].
Giải:
a] Đặt \[t ={3^{2x-1}} > 0\] thì phương trình đã cho trở thành \[t+ 3t = 108 ⇔ t = 27\].
Do đó phương trình đã cho tương đương với
\[{3^{2x{\rm{ }}-{\rm{ }}1}} = {\rm{ }}27 \Leftrightarrow {\rm{ }}2x{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}3 \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2\].
b] Đặt \[t{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^{x{\rm{ }} - {\rm{ }}1}} > {\rm{ }}0\], phương trình đã cho trở thành \[4t + t + 2t = 28 ⇔ t = 4\].
Phương trình đã cho tương đương với
\[{2^{x{\rm{ }} - {\rm{ }}1}} = {\rm{ }}4 \Leftrightarrow {2^{x{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }}}} = {\rm{ }}{2^{2}} \Leftrightarrow x{\rm{ }} - 1{\rm{ }} = {\rm{ }}2 \Leftrightarrow {\rm{ }}x = {\rm{ }}3\].
c] Đặt \[t = 8^x> 0\]. Phương trình đã cho trở thành
\[{t^2}-{\rm{ }}t{\rm{ }}-{\rm{ }}56{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}t{\rm{ }} = {\rm{ }}8;{\rm{ }}t{\rm{ }} = {\rm{ }} - 7\text{ [loại]}\].
Vậy phương trình đã cho tương đương với \[8^x= 8 ⇔ x = 1\].
d] Chia hai vế phương trình cho \[9^x> 0\] ta được phương trình tương đương
\[3.\frac{4^{x}}{9^{x}}\] - 2.\[\frac{6^{x}}{9^{x}}\] = 1 ⇔ 3. \[\left [ \frac{4}{9} \right ]^{x}\] - 2.\[\left [ \frac{2}{3} \right ]^{x} - 1 = 0\].
Đặt \[t = \left [ \frac{2}{3} \right ]^{x}\] > 0, phương trình trên trở thành
\[3t^2-2t – 1 = 0 ⇔ t = 1\]; \[t = -\frac{1}{3}\][ loại].
Vậy phương trình tương đương với \[\left [ \frac{2}{3} \right ]^{x}= 1 ⇔ x = 0\].
Bài 3 trang 84 SGK Giải tích 12
Giải các phương trình logarit
a] \[{lo{g_3}\left[ {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_3}\left[ {7x{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right]}\]
b] \[{log\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]{\rm{ }}-{\rm{ }}log\left[ {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}11} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}2}\]
c] \[{lo{g_2}\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right]{\rm{ }} + {\rm{ }}lo{g_2}\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}3}\]
d] \[{log{\rm{ }}\left[ {{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}7} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right]}\]
Giải
a] \[{lo{g_3}\left[ {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_3}\left[ {7x{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right]}\] [1]
TXD: \[D = \left[ {{{ - 3} \over 5}, + \infty } \right]\]
Khi đó: [1] \[⇔ 5x + 3 = 7x + 5 ⇔ x = -1\] [loại]
Vậy phương trình [1] vô nghiệm.
b] \[{log\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]{\rm{ }}-{\rm{ }}log\left[ {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}11} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}2}\]
TXD: \[D = [{{11} \over 2}, + \infty ]\]
Khi đó:
\[\eqalign{ & [2] \Leftrightarrow \lg {{x - 1} \over {2x - 11}} = \lg 2 \Leftrightarrow {{x - 1} \over {2x - 11}} = 2 \cr
& \Rightarrow x - 1 = 4x - 22 \Leftrightarrow x = 7 \cr} \]
Ta thấy \[x = 7\] thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình có nghiệm là \[x = 7\]
c] \[{lo{g_2}\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right]{\rm{ }} + {\rm{ }}lo{g_2}\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}3}\] [3]
TXD: \[[5, +∞]\]
Khi đó:
[3]\[ \Leftrightarrow {\log _2}[x - 5][x + 2]=3\]
\[\Leftrightarrow \left[ {x - 5} \right][x + 2] = 8 \]
\[\Leftrightarrow {x^2} - 3x - 18 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 6 \hfill \cr
x = - 3 \hfill \cr} \right.\]
Loại \[x = -3\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x = 6\]
d] \[{log{\rm{ }}\left[ {{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}7} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right]}\] [4]
TXD: \[D = [3 + \sqrt 2 , + \infty ]\]
Khi đó:
\[\eqalign{ & [4] \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 7 = x - 3 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 5 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Loại \[x = 2\]
Vậy phương trình [4] có nghiệm là \[x = 5\].
Bài 4 trang 85 sgk giải tích 12
Giải các phương trình lôgarit:
a] \[{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} + x - 5} \right] = \log 5{\rm{x}} + \log {1 \over {5{\rm{x}}}}\]
b] \[{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right] = \log 8{\rm{x}} - \log 4{\rm{x}}\]
c] \[{\log _{\sqrt 2 }}x + 4{\log _{4{\rm{x}}}}x + {\log _8}x = 13\]
Giải
a] \[{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} + x - 5} \right] = \log 5{\rm{x}} + \log {1 \over {5{\rm{x}}}}\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 5{\rm{x}} > 0 \hfill \cr
{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} + x - 5} \right] = \log 5{\rm{x}} - \log 5{\rm{x}}\hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr
{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} + x - 5} \right] = 0 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr
\log \left[ {{x^2} + x - 5} \right] = 0 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr {x^2} + x - 5 = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr
{x^2} + x - 6 = 0 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr
x = - 3;x = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 2\]
Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 2\]
b] \[{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right] = \log 8{\rm{x}} - \log 4{\rm{x}}\]
\[\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ 4{\rm{x > 0}} \hfill \cr {{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} - 1 > 0 \hfill \cr
{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right] = \log {{8{\rm{x}}} \over {4{\rm{x}}}} \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr {{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} - 1 > 0 \hfill \cr
{1 \over 2}\log \left[ {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right] = \log 2 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr \left[ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr x < 2 - \sqrt 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\log \left[ {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right] = 2\log 2 \hfill \cr} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr
\log \left[ {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right] = \log {2^2} = \log 4 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr
{x^2} - 4{\rm{x}} - 1 = 4 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr
{x^2} - 4{\rm{x}} - 5 = 0 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr
x = - 1;x = 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 5\]
Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 5\]
c] \[{\log _{\sqrt 2 }}x + 4{\log _{4}}x + {\log _8}x = 13\]
\[\Leftrightarrow {\log _{{2^{{1 \over 2}}}}}x + 4{\log _{{2^2}}}x + {\log _{{2^3}}}x = 13\]
\[\Leftrightarrow 2{\log _2}x + 2{\log _2}x + {1 \over 3}{\log _2}x = 13\]
\[\Leftrightarrow {{13} \over 3}{\log _2}x = 13 \Leftrightarrow {\log _2}x = 3 \Leftrightarrow x = {2^3} = 8\]
Vậy phương trình có nghiệm là \[x = 8\]
Giaibaitap.me
Page 2
- Giải bài 1, 2 trang 274, 275 SGK Sinh học 12 Nâng...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 273, 274 SGK Sinh học...
- Giải bài I.1, I.2, II.1, II.2 trang 272 SGK Sinh...
- Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 271 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 270 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 5, 6, 7, 8, 9 trang 268, 269, 270 SGK...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 267 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 266 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 263 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 258 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 254 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 248 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 243 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 239 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 236 SGK Sinh học 12...
Page 3
Bài 5 trang 90 SGK Giải tích 12
Biết \[{4^x} + {\rm{ }}{4^{ - x}} = {\rm{ }}23\].
Hãy tính: \[{2^x} + {\rm{ }}{2^{ - x}}\]
Giải
\[{{{\left[ {{2^x} + {\rm{ }}{2^{ - x}}} \right]}^2} = {[{2^x}]^2} + {2.2^x}{.2^{ - x}} + {[{2^{ - x}}]^2}={\rm{ }}{4^x} + {\rm{ }}{4^{ - x}} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}23{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}25}\]
Do đó \[|{2^x} + {2^{ - x}}| = 5\]
Mà \[{2^x} + {2^{ - x}} > 0\]
\[⇒ {{2^x} + {\rm{ }}{2^{ - x}} = {\rm{ }}5}\].
Bài 6 trang 90 SGK Giải tích 12
Cho \[{\log _a}b = 3,{\log _a}c = - 2\] . Hãy tính \[log_ax\] với:
a] \[x = {a^3}{b^2}\sqrt c \]
b] \[x = {{{a^4}\root 3 \of b } \over {{c^3}}}\]
Giải
Logarit hóa biểu thức đã cho và sử dụng giả thiết ta được:
a]
\[\eqalign{ & lo{g_a}x = {\rm{ }}3 + 2lo{g_a}b + {1 \over 2}{\log _a}c \cr
& = 3 + 6 - 1 = 8 \cr} \]
b]
\[\eqalign{ & {\log _a}x = 4 + {1 \over 3}{\log _a}b - 3{\log _a}c \cr
& = 4 + 1 + 6 = 11 \cr} \].
Bài 7 trang 90 SGK Giải tích 12
Giải các phương trình sau:
a] \[{3^{x + 4}} + {\rm{ }}{3.5^{x + 3}} = {\rm{ }}{5^{x + 4}} + {\rm{ }}{3^{x + 3}}\]
b] \[{25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
c] \[{4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0\]
d] \[lo{g_7}\left[ {x - 1} \right]lo{g_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_7}x\]
e] \[{\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6\]
g] \[\log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x\]
Giải
a]
\[\eqalign{ & {3^{x + 4}} + {3.5^{x + 3}} = {5^{x + 4}} + {3^{x + 3}} \cr & \Leftrightarrow {3^{x + 4}} - {3^{x + 3}} = {5^{x + 4}} - {3.5^{x + 3}} \cr & \Leftrightarrow {2.3^{x + 3}} = {2.5^{x + 3}} \cr
& \Leftrightarrow {[{3 \over 5}]^{x + 3}} = 1 \Leftrightarrow x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3 \cr} \]
b] \[{25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
Đặt \[t = 5^x\] [\[t > 0\]] \[⇔ x = log_5 t\].
Phương trình đã cho trở thành:
\[t^2– 6t + 5 = 0 ⇔ t ∈ {\rm{\{ }}1;5\} \]
Do đó, phương trình đã cho có nghiệm là \[x = 0, x = 1\]
c] \[{4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0\]
Chia phương trình cho \[16^x\] và đặt \[t = {[{3 \over 4}]^x}[t > 0] \Leftrightarrow x = {\log _{{3 \over 4}}}t\] ta được phương trình:
\[4t^2+ t – 3 = 0 ⇔ [t+1][4t-3] = 0\]
Phương trình bậc hai này chỉ có một nghiệm dương \[t = {3 \over 4}\] .
Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là : \[x = {\log _{{3 \over 4}}}{3 \over 4} = 1\]
d] \[lo{g_7}\left[ {x - 1} \right]lo{g_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_7}x\]
Điều kiện: \[x > 1\]
\[\eqalign{ & lo{g_7}\left[ {x - 1} \right]lo{g_7}x = lo{g_7}x \cr & \Leftrightarrow {\log _7}x[{\log _7}[x - 1] - 1] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {\log _7}x = 0 \hfill \cr {\log _7}[x - 1] = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr [x - 1] = 7 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr
x = 8 \hfill \cr} \right. \cr}\]
Kết hợp với điều kiện xác định ta có: \[x = 8\]
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \[x = 8\]
e] \[{\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6\]
Điều kiện : \[x > 0\]
Ta có:
\[\eqalign{ & {\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6 \cr & \Leftrightarrow {\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x - {\log _3}x = 6 \cr & \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}x = 6 \Leftrightarrow x = {3^3} \cr
& \Leftrightarrow x = 27 \cr} \]
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \[x = 27\]
g] \[\log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x\]
Ta có:
\[\eqalign{ & \log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x \Leftrightarrow {{x + 8} \over {x - 1}} = x > 0 \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0,x \ne 1 \hfill \cr {x^2} - 2x - 8 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow x = 4 \cr} \]
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \[x = 4\]
Bài 8 trang 90 SGK Giải tích 12
Giải các bất phương trình
a] \[{2^{2x - 1}} + {\rm{ }}2{x^{2x - 2}} + {\rm{ }}{2^{2x - 3}} \ge {\rm{ }}448\]
b] \[{\left[ {0,4} \right]^x}-{\rm{ }}{\left[ {2,5} \right]^{x + 1}} > {\rm{ }}1,5\]
c] \[{\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}[{x^2} - 1]} \right] < 1\]
d] \[{\log _{0,2}}^2x - 5{\log _{0,2}}x < - 6\]
Giải
a] \[{2^{2x - 1}} + {\rm{ }}2{x^{2x - 2}} + {\rm{ }}{2^{2x - 3}} \ge {\rm{ }}448\]
Ta có:
\[⇔ {2^{2x - 3}}[{2^2} + {\rm{ }}{2^1} + {\rm{ }}1]{\rm{ }} \ge {\rm{ }}448\]
\[⇔ {2^{2x - 3}} \ge {\rm{ }}64{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} \ge {\rm{ }}6\]
\[⇔ x ≥ 4,5\]
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \[[4,5; +∞]\].
b] \[{\left[ {0,4} \right]^x}-{\rm{ }}{\left[ {2,5} \right]^{x + 1}} > {\rm{ }}1,5\]
Đặt \[t = {[0,4]}^x> 0\], bất phương trình đã cho trở thành:
\[\eqalign{ & t - {{2,5} \over t} > 1,5 \Leftrightarrow 2{t^2} - 3t - 5 > 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t < - 1 \hfill \cr
t > 2,5 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Do \[t = {[0,4]}^x> 0\], bất phương trình đã cho tương đương với:
\[{\left[ {0,4} \right]^x} > {\rm{ }}2,5{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left[ {0,4} \right]^x} > {\rm{ }}{\left[ {0,4} \right]^{ - 1}} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} < {\rm{ }} - 1\]
c] \[{\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}[{x^2} - 1]} \right] < 1\]
Ta có:
\[{\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}[{x^2} - 1]} \right] < 1 \]
\[ \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}[{x^2} - 1]} \right] < {\log _3}3\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {\log _{{1 \over 2}}}[{x^2} - 1] > 0 = {\log _{{1 \over 2}}}1 \hfill \cr lo{g_{{1 \over 2}}}[{x^2} - 1] > 3 = {\log _{{1 \over 2}}}{1 \over 8} \hfill \cr} \right. \]\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 0 < {x^2} - 1 < 1 \hfill \cr {x^2} - 1 > {1 \over 8} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} < 2 \hfill \cr {x^2} > {9 \over 8} \hfill \cr} \right. \]\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ |x| < \sqrt 2 \hfill \cr
|x| > {3 \over {2\sqrt 2 }} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow {3 \over {2\sqrt 2 }} < |x| 0 nên hàm số đồng biến
Trên các khoảng \[[ - \infty ,{{ - 1} \over 2}] \cup [0,{1 \over 2}]\] , y’ < 0 nên hàm số nghịch biến
_ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCD = 1
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = \pm {1 \over 2},{y_{CT}} = {{15} \over {16}}\]
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị cắt trục tung tại điểm y = 1, không cắt trục hoành.
c] Với y = 1 ta có phương trình:
\[{x^4} - {1 \over 2}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ {0, \pm {1 \over {\sqrt 2 }}} \right\}\]
Trên đồ thị có 2 điểm với tung độ bằng 1 là:
\[{M_1}[{{ - 1} \over {\sqrt 2 }},1];{M_2}[0,1];{M_3}[{1 \over {\sqrt 2 }},1]\]
Ta lấy y’[0] = 0 nên tiếp tuyến với đồ thị tại M2 có phương trình là y = 1
Lại có:
\[y'[{1 \over {\sqrt 2 }}] = {1 \over {\sqrt 2 }};y'[{1 \over {\sqrt 2 }}] = {{ - 1} \over {\sqrt 2 }}\]
\[y = {{ - 1} \over {\sqrt 2 }}x + {1 \over 2} \Leftrightarrow y = {1 \over {\sqrt 2 }}x + {1 \over 2}\]
Bài 6 trang 146 SGK Giải tích 12
Cho hàm số \[y = {{x - 2} \over {x + m - 1}}\]
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số khi m = 2
b] Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị [C] tại điểm có hoành độ a ≠ -1.
Giải
a] Khi m = 2, ta có hàm số: \[y = {{x - 2} \over {x + 1}}\]
_ Tập xác định: [-∞, -1] ∪ [-1, +∞]
_ Sự biến thiên: \[y' = {3 \over {{{[x + 1]}^2}}} > 0,\forall x \in [ - \infty , - 1] \cup [1, + \infty ]\]
nên hàm số đồng biến trên hai khoảng này.
_ Hàm số không có cực trị
_ Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x - 2} \over {x + 1}} = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x - 2} \over {x + 1}} = 1\]
Nên x = -1 là tiệm cận đứng.
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị cắt trục tung tại y = -2, cắt trục hoành tại x = 2
b] Tiếp tuyến của đồ thị [C] tại điểm M có hoành độ a≠-1 có phương trình:
\[y = y'[a][x - a] + y[a] = {3 \over {{{[a + 1]}^2}}}[x - a] + {{a - 2} \over {a + 1}}\]
Bài 7 trang 146 SGK Giải tích 12
Cho hàm số \[y = {2 \over {2 - x}}\]
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số đã cho.
b] Tìm các giao điểm của [C] và đồ thị của hàm số y = x2 + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] tại mỗi giao điểm.
c] Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị [C] và các đường thẳng y = 0, x = 0, x = 1 xung quanh trục Ox.
Giải
a] _ Tập xác định: [-∞, 2] ∪[2, +∞]
_ Sự biến thiên: \[y' = {2 \over {{{[2 - x]}^2}}} > 0,\forall x \in [ - \infty ,2] \cup [2, + \infty ]\]
Nên hàm số đồng biến trên hai khoảng này.
_ Hàm số không có cực trị
_ Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {2 \over {2 - x}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {2 \over {2 - x}} = 0\]
Nên y = 0 là tiệm cận ngang.
_ Giới hạn vô cực và tiệm cận đứng:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} [{2 \over {2 - x}}] = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} [{2 \over {2 - x}}] = + \infty \]
Nên x = 2 là tiệm cận đứng.
_ Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị cắt trục tung tại y = 1, không cắt trục hoành.
b] Phương trình xác định hoành độ giao điểm:
\[{2 \over {2 - x}} = {x^2} + 1 \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + x = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ {0,1} \right\}\]
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm M1 [0, 1], M2[1, 2]
Tiếp tuyến với đồ thị [C]: \[y = {2 \over {2 - x}}\] tại điểm M1 có phương trình là: \[y = {1 \over 2}x + 1\]
Tiếp tuyến tại điểm M2 có phương trình y = 2[x – 1] + 2 = 2x
c] Trong khoảng [0, 1] đồ thị [C] nằm phía trên trục hoành nên thể tích cần tính là :
\[V = \pi \int_0^1 {[{2 \over {2 - x}}} {]^2} = 2\pi \]
Bài 8 trang 147 SGK Giải tích 12
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a] \[f[x] = 2x^3– 3x^2– 12x + 1\] trên đoạn \[\left[ { - 2,{5 \over 2}} \right]\]
b] \[ f[x] = x^2lnx\] trên đoạn \[\left[ {1,e} \right]\]
c] \[f[x] = xe^{-x}\] trên nửa khoảng \[[0, +∞]\]
d] \[f[x] = 2sinx + sin2x\] trên đoạn \[\left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]\]
Giải
a] \[f[x] = 2x^3– 3x^2– 12x + 1 ⇒ f’[x] = 6x^2 – 6x – 12\]
\[f’[x] = 0 ⇔ x =-1\] hoặc \[x=2\]
So sánh các giá trị:
\[f[-2] = -3\]; \[ f[-1] = 8\];
\[f[2] = -19\], \[f[{5 \over 2}] = {{ - 33} \over 2}\]
Suy ra:
\[\eqalign{& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 2,{5 \over 2}} \right]} f[x] = f[ - 1] = 8 \cr
& \mathop {min}\limits_{x \in \left[ { - 2,{5 \over 2}} \right]} f[x] = f[2] = - 19 \cr} \]
b] \[f[x] = x^2 lnx ⇒ f’[x]= 2xlnx + x > 0, ∀ x ∈ [1, e]\] nên \[f[x]\] đồng biến.
Do đó:
\[\eqalign{& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1,e} \right]} f[x] = f[e] = {e^2} \cr
& \mathop {min}\limits_{x \in \left[ {1,e} \right]} f[x] = f[1] = 0 \cr} \]
c] \[f[x]= xe^{-x}⇒ f’[x]=e^{-x} –xe^{-x} = [1 – x]e^{-x}\] nên:
\[f’[x] = 0 ⇔ x = 1, f’[x] > 0, ∀x ∈ [0, 1]\] và \[f’[x] < 0, ∀x ∈ [1, +∞]\]
nên:
\[\mathop {\max }\limits_{x \in {\rm{[}}0, + \infty ]} f[x] = f[1] = {1 \over e}\]
Ngoài ra \[f[x]= xe^{-x} > 0, ∀ x ∈ [0, +∞]\] và \[f[0] = 0\] suy ra
\[\mathop {\min}\limits_{x \in {\rm{[}}0, + \infty ]} f[x] = f[0] = 0\]
d] \[f[x] = 2sinx + sin2x ⇒ f’[x]= 2cosx + 2cos2x\]
\[f’[x] = 0 ⇔ cos 2x = -cosx ⇔ 2x = ± [π – x] + k2π\]
⇔ \[x \in \left\{ { - \pi + k2\pi ;{\pi \over 3} + {{k2\pi } \over 3}} \right\}\]
Trong khoảng \[\left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]\] , phương trình \[f’[x] = 0\] chỉ có hai nghiệm là \[{x_1} = {\pi \over 3};{x_2} = \pi \]
So sánh bốn giá trị : \[f[0] = 0\]; \[f[{\pi \over 3}] = {{3\sqrt 3 } \over 2};f[\pi ] = 0;f[{{3\pi } \over 2}] = - 2\]
Suy ra:
\[\eqalign{& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]} f[x] = f[{\pi \over 3}] = {{3\sqrt 3 } \over 2} \cr
& \mathop {min}\limits_{x \in \left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]} f[x] = f[{{3\pi } \over 2}] = - 2 \cr} \]
Giaibaitap.me
Page 25
Bài 9 trang 147 SGK Giải tích 12
Giải các phương trình sau:
a] \[{13^{2x + 1}} - {13^x} - 12 = 0\]
b] \[[{3^x} + {\rm{ }}{2^x}][{3^x} + {\rm{ }}{3.2^x}]{\rm{ }} = {\rm{ }}{8.6^x}\]
c] \[{\log _{\sqrt 3 }}[x - 2].{\log _5}x = 2{\log _3}[x - 2]\]
d] \[log_2^2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5log_2x{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
Giải
a] Đặt \[t = 13^x > 0\] ta được phương trình:
\[13t^2 – t – 12 = 0 ⇔ [t – 1][13t + 12] = 0\]
\[⇔ t = 1 ⇔ 13^x = 1 ⇔ x = 0\]
b]
Chia cả hai vế phương trình cho \[9^x\] ta được phương trình tương đương
\[[1 + {[{2 \over 3}]^x}][1 + 3.{[{2 \over 3}]^x}] = 8.{[{2 \over 3}]^x}\]
Đặt \[t = {[{2 \over 3}]^x} [t > 0]\] , ta được phương trình:
\[[1 + t][1 + 3t] = 8t ⇔ 3t^2– 4t + 1 = 0 ⇔ \]\[t \in \left\{ {{1 \over 3},1} \right\}\]
Với \[t = {1 \over 3}\] ta được nghiệm \[x = {\log _{{2 \over 3}}}{1 \over 3}\]
Với \[t = 1\] ta được nghiệm \[x = 0\]
c] Điều kiện: \[x > 2\]
\[\eqalign{& \Leftrightarrow 2lo{g_3}[x - 2].lo{g_5}x = 2lo{g_3}[x - 2] \cr
& \Leftrightarrow 2lo{g_3}[x - 2][{\log _5}x - 1] = 0 \cr} \]
\[\Leftrightarrow\left[ \matrix{{\log _3}[x - 2] = 0 \hfill \cr lo{g_5}x = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 3 \hfill \cr x = 5 \hfill \cr} \right.\]
d] Điều kiện: \[x > 0\]
\[\eqalign{& \log _2^2x - 5{\log _2}x + 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow [{\log _2}x - 2][{\log _2}x - 3] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{{\log _2}x = 2 \hfill \cr {\log _2}x = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 4 \hfill \cr
x = 8 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Bài 10 trang 147 SGK Giải tích 12
Giải các bất phương trình sau
a] \[{{{2^x}} \over {{3^x} - {2^x}}} \le 2\]
b] \[{[{1 \over 2}]^{{{\log }_2}[{x^2} - 1]}} > 1\]
c] \[{\log ^2}x + 3\log x \ge 4\]
d] \[{{1 - {{\log }_4}x} \over {1 + {{\log }_2}x}} \le {1 \over 4}\]
Trả lời:
a] Ta có:
\[{{{2^x}} \over {{3^x} - {2^x}}} \le 2 \Leftrightarrow {1 \over {{{[{3 \over 2}]}^x} - 1}} \le 2\]
Đặt \[t = {[{3 \over 2}]^2}[t > 0]\] , bất phương trình trở thành:
\[\eqalign{& {1 \over {t - 1}} \le 2 \Leftrightarrow {1 \over {t - 1}} - 2 \le 0 \Leftrightarrow {{ - 2t + 3} \over {t - 1}} \le 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{0 < t < 1 \hfill \cr t \ge {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{{[{3 \over 2}]^x} < 1 \hfill \cr {[{3 \over 2}]^2} \ge {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x < 0 \hfill \cr
x \ge 1 \hfill \cr} \right. \cr} \]
b] Ta có:
\[\eqalign{& {[{1 \over 2}]^{{{\log }_2}[{x^2} - 1]}} > 1 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{{x^2} - 1 > 0 \hfill \cr {\log _2}[{x^2} - 1] < 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow 0 < {x^2} - 1 < 1 \Leftrightarrow 1 < |x| < \sqrt 2 \cr
& \Leftrightarrow x \in [ - \sqrt 2 , - 1] \cup [1,\sqrt 2 ] \cr} \]
c] Điều kiện: \[x > 0\]
\[\eqalign{& {\log ^2}x + 3\log x \ge 4 \Leftrightarrow [\log x + 4][logx - 1] \ge 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{{\mathop{\rm logx}\nolimits} \ge 1 \hfill \cr logx \le - 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x \ge 10 \hfill \cr
0 < x \le {10^{ - 4}} \hfill \cr} \right. \cr} \]
d] Ta có:
\[\eqalign{& {{1 - {{\log }_4}x} \over {1 + {{\log }_2}x}} \le {1 \over 4} \Leftrightarrow {{1 - {{\log }_4}x} \over {1 + 2{{\log }_4}x}} \le {1 \over 4} \cr & \Leftrightarrow {{3 - 6{{\log }_4}x} \over {1 + 2{{\log }_4}x}}\le0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{{\log _4}x \le {{ - 1} \over 2} \hfill \cr {\log _4}x \ge {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{0 < x < {1 \over 2} \hfill \cr
x \ge 2 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Bài 11 trang 147 SGK Giải tích 12
Tính các tích phân sau bằng phương pháp tính tích phân từng phần
a] \[\int_1^{{e^4}} {\sqrt x } \ln xdx\]
b] \[\int_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {{{xdx} \over {{{\sin }^2}x}}} \]
c] \[\int_0^\pi {[\pi - x]\sin {\rm{x}}dx} \]
d] \[\int_{ - 1}^0 {[2x + 3]{e^{ - x}}} dx\]
Giải
a]
\[\eqalign{& \int_1^{{e^4}} {\sqrt x } \ln xdx = {\int_1^{{e^4}} {\ln xd[{2 \over 3}} x^{{3 \over 2}}}] \cr & = {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}}\ln x\left| {_1^{{e^4}}} \right. - \int\limits_1^{{e^4}} {{2 \over 3}} .{x^{{3 \over 2}}}.d{\mathop{\rm lnx}\nolimits} \cr
& = {8 \over 3}{e^6} - {2 \over 3}{x^{{1 \over 2}}}dx = {8 \over 3}{e^6} - {4 \over 9}{x^{{2 \over 3}}}\left| {_1^{{e^4}}} \right. = {{20} \over 9}{e^6} + {4 \over 9} \cr} \]
b] Ta có:
\[\eqalign{& \int_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {{{xdx} \over {{{\sin }^2}x}}} = \int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {xd[ - \cot x] = - x\cot x\left| {_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}}} \right.} + \int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {\cot xdx} \cr
& = {{\pi \sqrt 3 } \over 6} + \int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {{{d\sin x} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}} = {{\pi \sqrt 3 } \over 6} + \ln |sinx|\left| {_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}}} \right. = {{\pi \sqrt 3 } \over 6} + \ln 2 \cr} \]
c] Ta có:
\[\eqalign{& \int_0^\pi {[\pi - x]\sin {\rm{x}}dx} = \int\limits_0^\pi {[\pi - x]d[ - {\mathop{\rm cosx}\nolimits} ]} \cr
& = - [\pi - x]cosx\left| {_0^\pi } \right. + \int\limits_0^\pi {{\mathop{\rm cosxd}\nolimits} [\pi - x] = \pi - s{\rm{inx}}\left| {_0^\pi } \right.} = \pi \cr} \]
d] Ta có:
\[\eqalign{& \int_{ - 1}^0 {[2x + 3]{e^{ - x}}} dx = \int\limits_{ - 1}^0 {[2x + 3]d[ - {e^{ - x}}} ] \cr
& = [2x + 3]{e^{ - x}}\left| {_0^{ - 1}} \right. + \int\limits_{ - 1}^e {{e^{ - x}}} .2dx = e - 3 + 2{e^{ - x}}\left| {_0^1} \right. = 3e - 5 \cr} \]
Bài 12 trang 147 SGK Giải tích 12
Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số
a] \[\int\limits_0^{{\pi \over 24}} {\tan [{\pi \over 4} - 4x]dx} \] [đặt \[u = \cos [{\pi \over 3} - 4x]\] ]
b] \[\int\limits_{{{\sqrt 3 } \over 5}}^{{3 \over 5}} {{{dx} \over {9 + 25{x^2}}}} \] [đặt \[x = {3 \over 5}\tan t\] ]
c] \[\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^3}} x{\cos ^4}xdx\] [đặt u = cos x]
d] \[\int\limits_{{{ - \pi } \over 4}}^{{\pi \over 4}} {{{\sqrt {1 + \tan x} } \over {{{\cos }^2}x}}} dx\] [đặt \[u = \sqrt {1 + \tan x} \] ]
Giải
a] Ta có:
Đặt \[u = \cos [{\pi \over 3} - 4x]\] thì \[u' = 4sin[{\pi \over 3} - 4x]\]
Khi \[x = 0\] thì \[u = {1 \over 2}\] ; khi \[x = {\pi \over {24}} \Rightarrow u = {{\sqrt 3 } \over 2}\]
Khi đó:
\[\eqalign{& \int\limits_0^{{\pi \over {24}}} {\tan [{\pi \over 3}} - 4x]dx = {1 \over 4}\int\limits_0^{{\pi \over {24}}} {{{d\cos [{\pi \over 3} - 4x]} \over {\cos [{\pi \over 3} - 4x]}}} \cr
& = {1 \over 4}\int\limits_{{1 \over 2}}^{{{\sqrt 3 } \over 2}} {{{du} \over u}} ={1 \over 4}\ln |u|\left| {_{{1 \over 2}}^{{{\sqrt 3 } \over 2}}} \right.= {1 \over 4}\ln \sqrt 3 \cr} \]
b]
Đặt
\[x = {3 \over 5}\tan t \Rightarrow \left\{ \matrix{9 + 25{x^2} = 9[1 + {\tan ^2}t] \hfill \cr
dx = {3 \over 5}[1 + {\tan ^2}t] \hfill \cr} \right.\]
Đổi cận: \[x = {{\sqrt 3 } \over 5} \Rightarrow t = {\pi \over 6};x = {3 \over 5} \Rightarrow t = {\pi \over 4}\]
Do đó:
\[\int\limits_{{{\sqrt 3 } \over 5}}^{{3 \over 5}} {{{dx} \over {9 + 25{x^2}}}} = \int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 4}} {{1 \over {15}}dt ={1 \over {15}}t\left| {_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 4}}} \right. {\pi \over {180}}} \]
c] Đặt \[t = cos x\] thì \[dt = -sin x dx\]
Khi \[x = 0 \Rightarrow t = 1;x = {\pi \over 2} \Rightarrow t = 0\]
Do đó:
\[\eqalign{& \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^3}x{{\cos }^4}xdx = \int\limits_1^0 { - [1 - {t^2}]{t^4}} dt} \cr
& = - \int\limits_0^1 {[{t^4} - {t^6}]dt = - [{{{t^5}} \over 5}} - {{{t^7}} \over 7}]\left| {_0^1} \right. = {2 \over {35}} \cr} \]
d] Đặt \[u = \sqrt {1 + \tan x} \Rightarrow {t^2} = 1 + \tan x \Rightarrow 2tdt = {{dx} \over {{{\cos }^2}x}}\]
Do đó:
\[\int\limits_{{{ - \pi } \over 4}}^{{\pi \over 4}} {{{\sqrt {1 + \tan x} } \over {{{\cos }^2}x}}} dx = \int\limits_0^{\sqrt 2 } {2{t^2}dt = {2 \over 3}} {t^3}\left| {_0^{\sqrt 2 }} \right. = {{4\sqrt 2 } \over 3}\]
Giaibaitap.me
Page 26
- Giải bài 1, 2 trang 274, 275 SGK Sinh học 12 Nâng...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 273, 274 SGK Sinh học...
- Giải bài I.1, I.2, II.1, II.2 trang 272 SGK Sinh...
- Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 271 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 270 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 5, 6, 7, 8, 9 trang 268, 269, 270 SGK...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 267 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 266 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 263 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 258 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 254 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 248 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 243 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 239 SGK Sinh học 12...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 236 SGK Sinh học 12...