Hình chóp tứ giác đều có định nghĩa thế nào? Công thức tính thể tích hình chóp tứ giác đều là gì? Hãy cùng studytienganh giải đáp những thắc mắc đấy ngay sau đây nhé!
1. Hình chóp tứ giác đều là gì?
Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có mặt đáy là hình vuông, có mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và có chung đỉnh [đỉnh này đi qua giao điểm hai đường chéo của hình vuông đáy].
Một hình chóp tứ giác đều có 5 tính chất là:
-
Mặt đáy là hình vuông
-
Các cạnh bên bằng nhau
-
Các mặt bên là các tam giác cân và chúng bằng nhau
-
Chân đường cao của hình chóp trùng với tâm mặt đáy
-
Góc tạo bởi các cạnh bên và mặt đáy là bằng nhau
2. Công thức tính thể tích hình chóp tứ giác đều
- Diện tích xung quanh của hình chóp đều được tính bằng công thức nửa chu vi đáy nhân với trung đoạn:
Sxq = p.d
[với p là nửa chu vi đáy và d là trung đoạn của hình chóp]
- Diện tích toàn phần của hình chóp sẽ bằng tổng của diện tích xung quanh cộng với diện tích mặt đáy, ta có công thức:
Stp = Sxq + S
[với S là diện tích đáy]
Hình chóp tứ giác đều
Thể tích hình chóp tứ giác đều được tính bằng công thức:
VS.ABCD=13SABCD.SH
Trong đó:
- SABCD là diện tích đáy của hình chóp tứ giác đều ABCD
- SH là chiều cao của hình chóp.
3. Một số bài tập về hình chóp tứ giác đều có lời giải
Bài tập 1:
Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng 30 độ. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a và 30 độ.
Giải:
Đặt O là tâm của hình vuông ABCD.
SO[ABCD] ; SABCD=a2.
Dựng OECD , lại có CDSOCD[SEO]
Khi đó ta có: [[SCD],[ABCD]]=SEO=30
Mặt khác OE=BC2 [đường trung bình trong tam giác]
nên OE=a2SO=OE.tan30=a.tan302=a23.
Vậy VS.ABCD=13SO.SABCD=a363=a3318
Bài tập 2:
Cho hình chóp tứ giác đều SABCD trên các cạnh SA, SB, SC ta lấy các điểm A1, B1, C1 sao cho: SA1SA=23;SB1SB=12;SC1SC=13 . Các mặt phẳng lần lượt qua A1, B1, C1 cắt SD tại D1. Chứng minh rằng: SD1SD=25.
Giải:
Ta có: VS.ABC=VS.DBC+VS.ADC=VS.ABD=V2
VS.A1B1C1VS.ABC=SA1SA.SB1SB.SC1SC=19 [1]
VS.A1D1C1VS.ADC=SA1SA.SD1SD.SC1SC=29.SD1SD [2]
Cộng vế [1] với vế [2] ta được:
VS.A1B1C1D112V=19+29.SD1SD [3]
Tương tự: VS.A1D1B1VS.ADB=SA1SA.SD1SD.SB1SB=13.SD1SD [4]
VS.B1D1C1VS.BDC=SB1SB.SD1SD.SC1SC=16.SD1SD [5]
Cộng vế [4] với vế [5] ta được: VS.A1B1C1D112V=12.SD1SD [6]
Từ [3] và [6] ta có: 12.SD1SD=19+29.SD1SDSD1SD=25.
Bài tập 3:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60 độ. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và // BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F.
a] Thể tích của khối chóp S.ABCD?
b] Thể tích của khối chóp S.AEMF là?
Giải:
a, VS.ABCD=13SABCD.SO với SABCD=a2
SOA có: SO=SA.tan60=a62
VS.ABCD=a366
b, Ta có:
VS.AEMF=VS.AMF+VS.AME=2VS.AMF
VS.ABCD=2VS.ACD=2VS.ABC
Xét khối chóp S.AMF và S.ACD SMSC=12
SAC có trọng tâm I, EF // BD nên SISO=SFSD=23VS.AMFVS.ACD=SMSC.SFSD=13
VS.AMF=13VS.AMF=16VS.ACD=a3636
VS.AEMF=2a3636=a3618
Bài tập 4:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. AB = SA = 2a. Khoảng cách từ đường thẳng AB đến [SCD] là d[AB,[SCD]]=?
Giải:
- Lấy 2 điểm I và M lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD.
- Lấy O là tâm của hình vuông ABCD.
+] Ta thấy S.ABCD là hình chóp tứ giác đều.
Mặt khác: AB = SA = 2a.
Vậy nên độ dài tất cả các cạnh của hình chóp đều bằng 2a.
SO[ABCD]
IM // AD, IMCD
Ta có: IMCD ; SOCD CD[SIM]
+] Vẽ IH ⊥ SM tại H [H ∈ SM]
=> IH ⊥ [SCD].
d[AB,[SCD]]=d[I,[SCD]]=IH
SSIM=12IH.SM=12SO.IMIH.SM=SO.IM
IH=SO.IMSM
SCD đều cạnh 2a SM=2a32=a3
và: OM=12IM=aSO=SM2-OM2=a2
Vậy d[AB,[SCD]]=SO.IMSM=a2.2aa3=2a63
Trên đây là các công thức và bài tập trực quan về hình chóp tứ giác đều. Nhớ theo dõi studytienganh để biết thêm nhiều kiến thức bổ ích các bạn nhé!
Thể tích khối chóp tứ giác đều là một trong những kiến thức rất quan trọng trong phần hình học lớp 12. Dạng toán này cũng thường xuất hiện khá nhiều trong các đề thi THPT Quốc Gia. Vì vậy, để nắm rõ được toàn bộ công thức và cách giải các bài tập “khó nhằn”, các em có thể tham khảo bài viết sau đây của VUIHOC.
Là hình chóp có đáy là hình vuông, đường cao của chóp đi qua tâm đáy [giao của 2 đường chéo hình vuông].
2. Tính chất khối chóp tứ giác đều
- Cạnh bên bằng nhau
- Đáy là hình vuông
- Chân đường cao trùng với tâm mặt đáy
- Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau
- Các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng nhau
- Các góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau
Ví dụ:
Với hình chóp tứ giác đều SABCD, ta có:
-
Tứ giác ABCD là hình vuông tâm O
-
SO $\perp$ [ABCD]
-
[ABCD]
-
SA=SB=SC=SD
-
[SA; [ABCD]]=[SD;[ABCD]]= [SB;[ABCD]]=[SC;[ABCD]]
3. Công thức tính thể tích khối chóp tứ giác đều
Công thức V = [1/3].Sđáy.h
Trong đó:
+ V: Thể tích hình chóp tứ giác đều.
+ h: Chiều cao hình chóp tứ giác đều.
+ Sđáy: Diện tích đáy hình chóp tứ giác đều.
4. Công thức tính diện tích khối chóp tứ giác đều
4.1. Tính diện tích xung quanh
Công thức: Sxq= 4.S
Trong đó:
+ Sxq: Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều.
+ S: Diện tích mặt bên của hình chóp tứ giác đều.
4.2. Tính diện tích toàn phần
Công thức: Stp = Sxq + Sđáy
Trong đó:
+ Stp: Diện tích toàn phần của hình chóp tứ giác đều.
+ Sxq: Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều.
+ Sđáy: Diện tích đáy của hình chóp tứ giác đều.
5. Một số bài tập tính thể tích khối chóp tứ giác đều [kèm lời giải chi tiết]
Câu 1: Cho S.ABCD là hình chóp đều. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết AB = a; SA = a. AB = a; SA = a.
Giải
Câu 2: Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a.?
Giải
Câu 3: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x. Diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy. Tính thể tích khối chóp.
Giải
Câu 4: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bằng a và cạnh bên tạo với đáy góc 60 độ. Tính thể tích hình chóp đều S.ABCD.
Giải
Câu 5: Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp 2 lần cạnh đáy. Tính thể tích khối chóp tứ giác đã cho.
Giải
Câu 6: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng $a\sqrt{3}$. Tính thể tích của hình chóp đó theo a.
Giải
Câu 7: Chó hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a. Tính thể tích khối chóp đó.
Giải
Sau bài viết này, hy vọng các em sẽ nắm chắc được toàn bộ lý thuyết và bài tập áp dụng tính thể tích khối chóp tứ giác đều. Để có thêm nhiều kiến thức hay về công thức toán hình 12, các em có thể truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm hỗ trợ và chuẩn bị tốt cho kỳ thi đại học sắp tới nhé!
>> Xem thêm:
Toán 12 | Ôn thi THPTQG môn Toán
180 clip bài giảng theo từng chủ đề, hơn 6700 bài tập bám sát chương trình ôn thi THPT QG, 20 đề ôn tập có video chữa cụ thể, 30 đề tự luyện, cùng với khóa livestream. Giúp học sinh nắm vững kiến thức, tâm thế vững vàng trước kì thi.
1.500.000₫
Chỉ còn 900.000 ₫
Chỉ còn 2 ngày