Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất \[4\] giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất \[5\] giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc của dòng nước là \[2 km/h\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng công thức của bài toán chuyển động trên dòng nước:
Vận tốc xuôi dòng = Vận tốc thực + vận tốc dòng nước.
Vận tốc ngược dòng = Vận tốc thực - vận tốc dòng nước.
Vận tốc xuôi dòng \[-\] vận tốc ngược dòng \[=\] vận tốc dòng nước \[ \times 2\].
Bước 1: Gọi khoảng cách giữa A và B là ẩn, đặt điều kiện cho ẩn.
Bước 2: Biểu diễn các đại lượng khác qua ẩn
Bước 3: Lập phương trình thông qua các mối liên hệ giữa các đại lượng, giải phương trình
Bước 4: Kết luận
Lời giải chi tiết
Gọi \[x \,[km]\] là khoảng cách giữa hai bến A và B, với \[x > 0\].
Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là:\[\dfrac{x}{4}\, [km/h]\]
Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là: \[\dfrac{x}{5}\,\, [km/h]\]
Vận tốc dòng nước là: \[2 km/h\]
Hiệu vận tốc xuôi dòng và vận tốc ngược dòng bằng \[2\] lần vận tốc dòng nước, do đó:
\[\dfrac{x}{4} - \dfrac{x}{5} = 2.2\]
\[ \Leftrightarrow \dfrac{{5.x}}{{20}} - \dfrac{{4.x}}{{20}} = \dfrac{{80}}{{20}}\]
\[ \Leftrightarrow 5{\rm{x}} - 4{\rm{x}} = 80\]
\[\Leftrightarrow x = 80\] [thỏa mãn điều kiện].
Vậy khoảng cách giữa hai bến A và B là \[80 km\].
[Giải thích tại sao hiệu vận tốc xuôi dòng và ngược dòng bằng 2 lần vận tốc dòng nước:
Nếu gọi vận tốc canô là v [km/h], vận tốc dòng nước là a [km/h], ta có:
Khi xuôi dòng: vận tốc canô là: v + a
Khi ngược dòng: vận tốc canô là: v - a
Hiệu vận tốc \[= v + a - [v - a] = 2.a\] hay chính là 2 lần vận tốc dòng nước.]
Bài 54 trang 34 Toán 8 Tập 2: Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất 5 giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc của dòng nước là 2 km/h.
Trả lời
Gọi x[km/h] là vận tố của cano khi nước yên lặng . Điều kiện x >0
Do vận tốc của dòng nước là 2km/h nên khi canô đi xuôi dòng thì vận tốc là x +2 [km/h]. Và ca nô xuôi dòng thừ A đến B mất 4 giờ thì quãng đường AB = [2+x].4 = 4x + 8 [1]
- \[{{2\left[ {1 - 3x} \right]} \over 5} - {{2 + 3x} \over {10}} = 7 - {{3\left[ {2x + 1} \right]} \over 4}\] ;
c]\[{{5x + 2} \over 6} - {{8x - 1} \over 3} = {{4x + 2} \over 5} - 5\] ;
- \[{{3x + 2} \over 2} - {{3x + 1} \over 6} = 2x + {5 \over 3}\] .
Hướng dẫn làm bài:
- \[3 - 4x\left[ {25 - 2x} \right] = 8{x^2} + x - 300\]
⇔\[3 - 100x + 8{x^2} = 8{x^2} + x - 300\]
⇔\[ - 101x = - 303\]
⇔\[x = 3\]
Vậy phương trình có nghiệm x = 3.
- \[{{2\left[ {1 - 3x} \right]} \over 5} - {{2 + 3x} \over {10}} = 7 - {{3\left[ {2x + 1} \right]} \over 4}\]
⇔\[8\left[ {1 - 3x} \right] - 2\left[ {3 + 2x} \right] = 140 - 15\left[ {2x + 1} \right]\]
⇔\[8 - 24x - 6 - 4x = 140 - 30x - 15\]
⇔\[ - 28x + 2 = 125 - 30x\]
⇔\[2x = 123\]
⇔\[x = {{123} \over 2}\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x = {{123} \over 2}\]
c]\[{{5x + 2} \over 6} - {{8x - 1} \over 3} = {{4x + 2} \over 5} - 5\]
⇔\[5\left[ {5x + 2} \right] - 10\left[ {8x - 1} \right] = 6\left[ {4x + 2} \right] - 150\]
⇔\[25x + 10 - 80x + 10 = 24x + 12 - 150\]
⇔\[ - 55x + 20 = 24x - 138\]
⇔\[ - 79x = - 158\]
⇔\[x = 2\]
Vậy phương có nghiệm x = 2.
d].\[{{3x + 2} \over 2} - {{3x + 1} \over 6} = 2x + {5 \over 3}\]
⇔\[3\left[ {3x + 2} \right] - \left[ {3x + 1} \right] = 12x + 10\]
⇔\[9x + 6 - 3x - 1 = 12x + 10\]
⇔\[6x + 5 = 12x + 10\]
⇔\[ - 6x = 5\]
⇔\[x = {{ - 5} \over 6}\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x = {{ - 5} \over 6}\] .
Bài 51 trang 33 sgk toán 8 tập 2
Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:
- \[\left[ {2x + 1} \right]\left[ {3x - 2} \right] = \left[ {5x - 8} \right]\left[ {2x + 1} \right]\]
- \[4{x^2} - 1 = \left[ {2x + 1} \right]\left[ {3x - 5} \right]\]
- \[{\left[ {x + 1} \right]^2} = 4\left[ {{x^2} - 2x + 1} \right];\]
- \[2{x^3} + 5{x^2} - 3x = 0\]
Hướng dẫn làm bài:
a]\[\left[ {2x + 1} \right]\left[ {3x - 2} \right] = \left[ {5x - 8} \right]\left[ {2x + 1} \right]\]
⇔\[\left[ {2x + 1} \right]\left[ {3x - 3} \right] - \left[ {5x - 8} \right]\left[ {2x + 1} \right] = 0\]
⇔\[\left[ {2x + 1} \right]\left[ {3x - 3 - 5x + 8} \right] = 0\]
⇔\[\left[ {2x + 1} \right]\left[ {5 - 2x} \right] = 0\]
⇔\[\left[ {\matrix{{2x + 1 = 0} \cr {5 - 2x = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {{ - 1} \over 2}} \cr {x = {5 \over 2}} \cr} } \right.} \right.\]
Vậy phương trình có hai nghiệm \[x = {{ - 1} \over 2};x = {5 \over 2}\] .
b]\[4{x^2} - 1 = \left[ {2x + 1} \right]\left[ {3x - 5} \right]\]
⇔\[\left[ {2x - 1} \right]\left[ {2x + 1} \right] = \left[ {2x + 1} \right]\left[ {3x - 5} \right]\]
⇔\[\left[ {2x + 1} \right]\left[ {2x - 1 - 3x + 5} \right]\]
⇔\[\left[ {2x - 1} \right]\left[ {4 - x} \right] = 0\]
⇔\[\left[ {\matrix{{2x - 1 = 0} \cr {4 - x = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {1 \over 2}} \cr {x = 4} \cr} } \right.} \right.\]
Vậy phương trình có hai nghiệm \[x = {1 \over 2};x = 4\]
- \[{\left[ {x + 1} \right]^2} = 4\left[ {{x^2} - 2x + 1} \right]\]
⇔\[{\left[ {x + 1} \right]^2} = \left[ {2[x - 1} \right]{]^2}\]
⇔\[\left[ {x + 1 - 2x + 2} \right]\left[ {x + 1 + 2x - 2} \right] = 0\]
⇔\[\left[ {3 - x} \right]\left[ {3x - 1} \right] = 0\]
⇔\[\left[ {\matrix{{3 - x = 0} \cr {3x - 1 = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 0} \cr {x = {1 \over 3}} \cr} } \right.} \right.\]
- \[2{x^3} + 5{x^2} - 3x = 0\]
⇔\[x\left[ {2{x^2} + 5x - 3} \right] = 0\]
⇔\[x\left[ {2x\left[ {x + 3} \right] - \left[ {x + 3} \right]} \right] = 0\]
⇔\[x\left[ {x + 3} \right]\left[ {2x - 1} \right] = 0\]
⇔\[\left[ {\matrix{{x = 0} \cr {x + 3 = 0} \cr {2x - 1 = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 0} \cr {x = - 3} \cr {x = {1 \over 2}} \cr} } \right.\]
Vậy phương trình có ba nghiệm x = 0; x = -3; x =\[{1 \over 2}\]
Vậy phương trình có hai nghiệm .
Bài 52 trang 33 sgk toán 8 tập 2
Giải các phương trình:
- \[{1 \over {2x - 3}} - {3 \over {x\left[ {2x - 3} \right]}} = {5 \over x}\] ;
- \[{{x + 2} \over {x - 2}} - {1 \over x} = {2 \over {x\left[ {x - 2} \right]}}\] ;
- \[{{x + 1} \over {x - 2}} + {{x - 1} \over {x + 2}} = {{2\left[ {{x^2} + 2} \right]} \over {{x^2} - 4}};\]
- \[\left[ {2x + 3} \right]\left[ {{{3x + 8} \over {2 - 7x}} + 1} \right] = \left[ {x - 5} \right]\left[ {{{3x + 8} \over {2 - 7x}} + 1} \right]\]
Hướng dẫn làm bài:
- \[{1 \over {2x - 3}} - {3 \over {x\left[ {2x - 3} \right]}} = {5 \over x}\]
ĐKXĐ: \[x \ne 0;x \ne {3 \over 2}\]
Khử mẫu ta được:\[x - 3 = 5\left[ {2x - 3} \right] \Leftrightarrow x - 3 = 10x - 15\]
⇔\[ - 9x = - 12\]
⇔\[x = {4 \over 3}\]
\[x = {4 \over 3}\] thỏa điều kiện đặt ra
Vậy phương trình có nghiệm \[x = {4 \over 3}\]
- \[{{x + 2} \over {x - 2}} - {1 \over x} = {2 \over {x\left[ {x - 2} \right]}}\]
ĐKXĐ:\[x \ne 0,x \ne 2\]
Khử mẫu ta được:\[x\left[ {x + 2} \right] - \left[ {x - 2} \right] = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - x + 2 = 2\]
⇔\[{x^2} + x = 0\]
⇔\[x\left[ {x + 1} \right] = 0\]
⇔\[\left[ {\matrix{{x = 0} \cr {x + 1 = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 0 } \cr {x = - 1} \cr} } \right.} \right.\]
X = 0 không thỏa mãn ĐKXĐ
Vậy phương trình có nghiệm x =-1
- \[{{x + 1} \over {x - 2}} + {{x - 1} \over {x + 2}} = {{2\left[ {{x^2} + 2} \right]} \over {{x^2} - 4}}\]
ĐKXĐ : \[x \ne 2;x \ne - 2\]
Khử mẫu ta được: \[\left[ {x + 1} \right]\left[ {x + 2} \right] + \left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 2} \right] = 2\left[ {{x^2} + 2} \right]\]
⇔\[\left[ {x + 1} \right]\left[ {x + 2} \right] + \left[ {x - 1} \right]{x^2} + x + 2x + 2 + {x^2} - x - 2x + 2 = 2{x^2} + 4\left[ {x - 2} \right] = 2\left[ {{x^2} + 2} \right]\]
⇔\[2{x^2} + 4 = 2{x^2} + 4\]
⇔[0x = 0\left[ {\forall x \in R} \right]\]
Mà ĐKXĐ :\[x \ne \pm 2\]
Vậy phương trình có vô số nghiệm \[x \in R;x \ne 2;x \ne - 2\]
- \[\left[ {2x + 3} \right]\left[ {{{3x + 8} \over {2 - 7x}} + 1} \right] = \left[ {x - 5} \right]\left[ {{{3x + 8} \over {2 - 7x}} + 1} \right]\] ĐKXĐ:\[x \ne {2 \over 7}\]
Phương trình đã cho tương đương với:
\[\left[ {{{3x + 8} \over {2 - 7x}} + 1} \right]\left[ {2x + 3 - x + 5} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ {{{3x + 8 + 2 - 7x} \over {2 - 7x}}} \right]\left[ {x + 8} \right] = 0\]
⇔\[\left[ {10 - 4x} \right]\left[ {x + 8} \right] = 0\] vì \[2 - 7x \ne 0\]
⇔\[\left[ {\matrix{{10 - 4x = 0} \cr {x + 8 = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[{\matrix{{x = {5 \over 2}} \cr {x = - 8} \cr} } \right.} \right.\]
Cả hai giá trị đều thích hợp với ĐKXĐ.
Vậy phương trình có hai nghiệm :\[x = {5 \over 2};x = - 8\]
Bài 53 trang 34 sgk toán 8 tập 2
Giải phương trình:
\[{{x + 1} \over 9} + {{x + 2} \over 8} = {{x + 3} \over 7} + {{x + 4} \over 6}\]
Hướng dẫn làm bài:
Cộng 2 vào hai vế của phương trình, ta được:
\[{{x + 1} \over 9} + 1 + {{x + 2} \over 8} = {{x + 3} \over 7} + 1 + {{x + 4} \over 6} + 1\]
⇔\[{{x + 10} \over 9} + {{x + 10} \over 8} = {{x + 10} \over 7} + {{x + 10} \over 6}\]
⇔\[\left[ {x + 10} \right]\left[ {{1 \over 9} + {1 \over 8} - {1 \over 7} - {1 \over 6}} \right] = 0\]
Vì \[{1 \over 9} < {1 \over 7};{1 \over 8} < {1 \over 6}\] nên \[{1 \over 9} + {1 \over 8} - {1 \over 7} - {1 \over 6} < 0\]
⇔x+10 = 0
⇔x= -10
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -10.
Bài 54 trang 34 sgk toán 8 tập 2
Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất 5 giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B,biết rằng vận tốc của dòng nước là 2 km/h.
Hướng dẫn làm bài:
Gọi x [km] là khoảng cách giữa hai bến A và B, với x > 0.
Vận tốc khi xuôi dòng:\[{x \over 4}\]
Vận tốc khi ngược dòng: \[{x \over 5}\]
Vận tốc dòng nước: 2 km/h
Hiệu vận tốc xuôi dòng và vận tốc ngược dòng bằng 2 lần vận tốc dòng nước, do đó:
\[{x \over 4} - {x \over 5} = 4 \Leftrightarrow 5{\rm{x}} - 4{\rm{x}} = 80\]
⇔\[x = 80\] [thỏa điều kiện đặt ra].
Vậy khoảng cách giữa hai bến là 80 km.
Bài 55 trang 34 sgk toán 8 tập 2
Biết rằng 200 g một dung dịch chứa 50g muối. Hỏi phải pha thêm bao nhiêu gam nước vào dung dịch đó để được một dung dịch chứa 20% muối?
Hướng dẫn làm bài:
Gọi x [g] là khối lượng nước phải pha thêm, với x > 0.
Khối lượng dung dịch mới: 200 + x
Vì dung dịch mới có nồng độ 20% nên:
\[{{50} \over {200 + x}} = {{20} \over {100}} \Leftrightarrow {{50} \over {200 + x}} = {1 \over 5}\]
⇔\[250 = 200 + x\]
⇔ \[x = 50\] [thỏa điều kiện đặt ra].
Vậy phải pha thêm 50g nước thì được dung dịch là 20% muối
Bài 56 trang 34 sgk toán 8 tập 2
Để khuyến khích tiết kiệm điện, giá điện sinh hoạt được tính theo kiểu lũy tiến, nghĩa là nếu người sử dụng càng dùng nhiều điện thì giá mỗi số điện [1kWh] càng tăng lên theo các mức như sau:
Mức thứ nhât: Tính cho 100 số điện đầu tiền;
Mức thứ hai: Tính cho số điện thứ 101 đến 150, mỗi số đắt hơn 150 đồng so với mức thứ nhât;
Mức thứ ba: Tính cho số điện thứ 151 đến 200, mỗi số đắt hơn 200 đồng so với mức thứ hai;
v.v…
Ngoài ra, người sử dụng còn phải trả thêm 10% thuê giá trị gia tăng [thuế VAT].
Tháng vừa qua, nhà Cường dùng hết 165 số điện và phải trả 95700 đồng. Hỏi mỗi số điện ở mức thứ nhất giá là bao nhiêu?