Mặtkhác:
$\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'J}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A'C'}=-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}+\frac{c}{2}$
b]Ta có: $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB'}+\overrightarrow{B'K}\left[ 1 \right]$
$\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{JC'}+\overrightarrow{C'K}\left[ 2 \right]$
Lấy $2.\left[ 1 \right]+\left[ 2 \right]$ ta được:
$3\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ}+2\overrightarrow{IB'}+\overrightarrow{JC'}+\underbrace{2\overrightarrow{B'K}+\overrightarrow{C'K}}_{0}=2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{A'J}=2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{AJ}$
Vậy $\overrightarrow{AK}=\frac{2}{3}\left[ \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ} \right]$.
| Bài tập 4:Cho hình hộpABCD.A'B'C'D'. Đặt $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}$. GọiMvàNlần lượt là hai điểm nằm trênACvàDCsao choMN//BD.Tính tỷ số $\frac{MN}{BD'}$ |
Lời giải chi tiết
Giả sử: $\overrightarrow{MC}=n\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{C'N}=m\overrightarrow{C'D}$
Ta có: $\overrightarrow{BD'}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$
Lại có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{C'N}=n\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{b}+m\overrightarrow{C'D}$
$=n.\left[ \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA} \right]+\overrightarrow{b}+m\left[ \overrightarrow{C'C}+\overline{CD} \right]$
$=n.\left[ \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a} \right]+\overrightarrow{b}+m\left[ -\overrightarrow{b}+\overline{a} \right]=\left[ m-n \right]\overrightarrow{a}+\left[ 1-m \right]\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}$
Khi đó $MN//BD'\Rightarrow \overrightarrow{MN}=k.\overrightarrow{BD'}$
$\frac{m-n}{1}=\frac{1-m}{1}=\frac{n}{1}=k\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} m=\frac{2}{3} \\{} n=\frac{1}{3} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \frac{MN}{B'D'}=k=\frac{1}{3}$
| Bài tập 5:Cho hình hộpABCD.A'B'C'D'.GọiIlà giao điểm của hai đường chéo của hình bình hànhABB'A' vàKlà giao điểm của hai đường chéo của hình bình hànhBCC'A.Biểu thị vectơ $\overrightarrow{BD}$ theo 2 vectơ $\overrightarrow{IK}$ và $\overrightarrow{C'B'}$ từ đó suy ra ba vectơ $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{IK}$, $\overrightarrow{C'B'}$đồng phẳng. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{C'B}+\left[ \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC} \right]$
$=-\overrightarrow{C'B'}+\overrightarrow{B'C'}-2\overrightarrow{IK}$ [vì $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{IK}$]
Suy ra $\overrightarrow{BD}=-2\overrightarrow{C'B'}-2\overrightarrow{IK}$
Do đó ba vectơ $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{IK}$, $\overrightarrow{C'B'}$đồng phẳng.
| Bài tập 6:Trong không gian cho tam giácABC.Chứng minh rằng nếu có một điểmOtrong không gian sao cho $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$,đồng thời , $x+y+z=1$ thì điểmMthuộc mặt phẳng $\left[ ABC \right]$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}\Leftrightarrow \left[ x+y+z \right]\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$
$\Leftrightarrow x\overrightarrow{MA}+y\overrightarrow{MB}+z\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$
Nếu $x=0\Rightarrow \Leftrightarrow y\overrightarrow{MB}+z\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$$\Rightarrow $M, B, Cthẳng hàng nênA, B, C, Mđồng phẳng
Nếu $x\ne 0\Rightarrow \overrightarrow{MA}=\frac{-y}{x}\overrightarrow{MB}-\frac{z}{x}\overrightarrow{MC}$$\Rightarrow $A, B, C, Mđồng phẳng.
| Bài tập 7:Cho tứ diệnABCD. GọiPvàPlần lượt là trung điểm của các cạnhABvàCD. Trên các cạnhABvàCDlần lượt lấy các điểmM, Nsao cho $\frac{AM}{AC}=\frac{BN}{BD}=k\left[ k>0 \right]$. Chứng minh rằng 3 vectơ $\overrightarrow{PQ}$, $\overrightarrow{PM}$, $\overrightarrow{PN}$ đồng phẳng |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\left[ \overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD} \right]=\frac{1}{2}\left[ \left[ \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP} \right]+\left[ \overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BP} \right] \right]$
$=\frac{1}{2}\left[ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}-\left[ \overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP} \right] \right]=\frac{1}{2}\frac{\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}}{k}$
Lại có: $\left\{ \begin{array}{} \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PM} \\{} \overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PN} \\ \end{array} \right.$ nên $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2k}\left[ \overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN} \right]$
[Do $\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{0}$]
Do đó $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2k}\left[ \overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN} \right]$$\Rightarrow $M, N, P, Qđồng phẳng