Đề bài
Giải phương trình:
\[\dfrac{{x + 1}}{9} + \dfrac{{x + 2}}{8} = \dfrac{{x + 3}}{7} + \dfrac{{x + 4}}{6}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cách 1: Quy đồng mẫu thức bình thường
Cách 2: Cộng\[2\] vào hai vế của phương trình sau đó giải phương trình mới để tìm \[ x\].
Lời giải chi tiết
Cách 1. [Giải thông thường] Mẫu số chung là \[9.8.7=504\]. Ta có:
\[\dfrac{{x + 1}}{9} + \dfrac{{x + 2}}{8} \]\[\,= \dfrac{{x + 3}}{7} + \dfrac{{x + 4}}{6}\]
\[\Leftrightarrow \dfrac{{56\left[ {x + 1} \right] + 63\left[ {x + 2} \right]}}{{504}}\]\[\, = \dfrac{{72\left[ {x + 3} \right] + 84\left[ {x + 4} \right]}}{{504}}\]
\[\Leftrightarrow 56\left[ {x + 1} \right] + 63\left[ {x + 2} \right] \]\[\,= 72\left[ {x + 3} \right] + 84\left[ {x + 4} \right]\]
\[\Leftrightarrow 56x + 56 + 63x + 126\]\[\, = 72x + 216 + 84x + 336\]
\[\Leftrightarrow 119x + 182 = 156x + 552\]
\[\Leftrightarrow - 37x = 370\]
\[\Leftrightarrow x = 370:[ - 37] \]
\[\Leftrightarrow x= - 10\]
Cách 2. Nhận thấy \[9+1=8+2=7+3=6+4=10\], ta biến đổi như sau:
\[\dfrac{{x + 1}}{9} + \dfrac{{x + 2}}{8} \]\[\,= \dfrac{{x + 3}}{7} + \dfrac{{x + 4}}{6}\]
\[\Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{9} + 1 + \dfrac{{x + 2}}{8} + 1 \]\[\,= \dfrac{{x + 3}}{7} + 1 + \dfrac{{x + 4}}{6} + 1\]
\[\Leftrightarrow \dfrac{{x + 10}}{9} + \dfrac{{x + 10}}{8} = \dfrac{{x + 10}}{7} \]\[\,+ \dfrac{{x + 10}}{6}\]
\[ \Leftrightarrow \dfrac{{x + 10}}{9} + \dfrac{{x + 10}}{8} - \dfrac{{x + 10}}{7}\]\[\, - \dfrac{{x + 10}}{6}=0\]
\[\Leftrightarrow \left[ {x + 10} \right]\left[ {\dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{6}} \right] = 0{\kern 1pt}\]\[ \;[*]\]
Vì \[\dfrac{1}{9} < \dfrac{1}{7};\dfrac{1}{8} < \dfrac{1}{6}\]nên \[\dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{6} < 0\]
\[[*]\Leftrightarrow x+10 = 0 \]
\[\Leftrightarrow x= -10 \]
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \[x = -10\].