Đề bài
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O, đường kính AD. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC.
a] Chứng minh tam giác BAH đồng dạng với tam giác DAC.
b] Gọi I là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Chứng minh AI là tia phân giác của góc HAD.
c] Tia AH cắt đường tròn O tại K. Chứng minh rằng B, C, D, K là bốn đỉnh của một hình thang cân.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Chứng minh tam giác BAH đồng dạng với tam giác DAC theo trường hợp g-g.
b] +] Chứng minh \[OI \bot BC \Rightarrow AH//IO\].
+] Chứng minh \[\widehat {HAI}\] và \[\widehat {OAI}\] cùng bằng \[\widehat {OIA}\].
c] +] Chứng minh BC và DK cùng vuông góc với AK \[ \Rightarrow BC//DK\].
+] Chứng minh , từ đó suy ra \[\widehat {BCD} = \widehat {KBC}\].
Lời giải chi tiết
a] Ta có: \[\widehat {ACD} = {90^0}\] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn].
Xét \[\Delta BAH\] và \[\Delta DAC\] có:
\[\widehat {AHB} = \widehat {ACD} = {90^0};\]
\[\widehat {ABH} = \widehat {ADC}\] [hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC]
\[\Rightarrow \Delta BAH \sim \Delta DAC\,\,\left[ {g.g} \right]\]
b] Vì I là điểm chính giữa cung BC [hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau].
\[ \Rightarrow I\] thuộc trung trực của BC.
Lại có \[OB = OC = R \Rightarrow O\] thuộc trung trực của BC.
\[ \Rightarrow IO\] là trung trực của BC \[ \Rightarrow IO \bot BC\].
Mà \[AH \bot BC\,\,\left[ {gt} \right] \Rightarrow AH//IO\].
\[ \Rightarrow \widehat {HAI} = \widehat {AIO}\][1] [hai góc so le trong bằng nhau].
Xét tam giác OAI có \[OA = OI = R \Rightarrow \Delta OAI\] cân tại O \[ \Rightarrow \widehat {OAI} = \widehat {AIO}\][hai góc ở đáy] [2].
Từ [1] và [2] \[ \Rightarrow \widehat {HAI} = \widehat {OAI} \Rightarrow AI\] là phân giác của \[\widehat {HAD}\].
c] Ta có \[\widehat {AKD} = {90^0}\] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn] \[ \Rightarrow AK \bot KD\].
Mà \[AK \bot BC \Rightarrow KD//BC \Rightarrow BCDK\] là hình thang.
Do \[KD//BC \Rightarrow cung\,BK = cung\,CD\][hai cung nằm giữa hai dây song song thì bằng nhau].
\[\Rightarrow cung\,BK + cung\,KD = cung\,CD + cung\,KD\]
\[\Rightarrow cung\,BD = cung\,CK\]
\[ \Rightarrow \widehat {BCD} = \widehat {KBC}\][trong một đường tròn, hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau].
Vậy BCDK là hình thang cân [Hình thang có 2 góc kề một đáy bằng nhau].