Đề bài
Cho lục giác lồi ABCDEF có các đỉnh nằm trên một đường tròn và có hai cặp cạnh đối song song AB // DE, BC // EF. Chứng minh rằng cặp cạnh đối còn lại cũng song song với nhau.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Gọi H, K, M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, DE BC, EF, AF, CD.
+] Chứng minh O; H; K thẳng hàng, O; M; N thẳng hàng.
+] Chứng minh \[\widehat {AOC} = \widehat {FOD};\,\,\widehat {AOP} = \widehat {FOP};\,\,\widehat {COQ} = \widehat {DOQ} \Rightarrow \widehat {POQ} = {180^0}\] , từ đó suy ra O; P; Q thẳng hàng.
+] Chứng minh AF và CD cùng vuông góc với PQ.
Lời giải chi tiết
Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và DE ta có:
\[OH \bot AB;\,\,OK \bot DE\][quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung]
Lại có \[AB//DE\,\,\left[ {gt} \right] \Rightarrow OH \bot DE\]
Từ O ta có thể kẻ hai đường thẳng OH và OK cùng vuông góc với DE \[ \Rightarrow O;H;K\]thẳng hàng.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và EF. Chứng minh tương tự ta có O, M, N thẳng hàng.
\[ \Rightarrow \widehat {HOM} = \widehat {NOK}\] [đối đỉnh].
Xét tam giác OAB có \[\left\{ \begin{array}{l}OA = OB = R\\OH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {AOH} = \widehat {BOH} = \dfrac{1}{2}\widehat {AOB}\]
Xét tam giác OBC có \[\left\{ \begin{array}{l}OB = OC = R\\OM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {BOM} = \widehat {COM} = \dfrac{1}{2}\widehat {BOC}\]
\[ \Rightarrow \widehat {AOB} + \widehat {BOC} = 2\widehat {BOH} + 2\widehat {BOM} = 2\widehat {HOM} \] \[\Leftrightarrow \widehat {AOC} = 2\widehat {HOM}\]
Chứng minh tương tự ta có \[\widehat {FOD} = 2\widehat {NOK}\]
Mà \[\widehat {HOM} = \widehat {NOK}\,\,\left[ {cmt} \right] \Rightarrow \widehat {AOC} = \widehat {FOD}\,\,\left[ 1 \right]\].
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AE và CD.
Tam giác OAF cân tại O \[\left[ {OA = OF = R} \right] \Rightarrow OP \bot AF \Rightarrow \] Đường cao OP đồng thời là phân giác \[ \Rightarrow \widehat {AOP} = \widehat {FOP}\] [2]
Chứng minh tương tự ta có \[\widehat {COQ} = \widehat {DOQ}\,\,\,\left[ 3 \right]\].
Từ [1], [2] và [3] \[ \Rightarrow \widehat {AOC} + \widehat {AOP} + \widehat {COQ} = \widehat {FOD} + \widehat {FOP} + \widehat {DOQ}\]
\[\Rightarrow \widehat {POQ} = {180^0} \]
\[\Rightarrow O;P;Q\] thẳng hàng.
\[ \Rightarrow OP \bot CD\].
Vậy \[AF//CD\] [cùng vuông góc với OP].