Đề bài
Trên đường tròn [O ; R] lấy ba điểm A, B, C sao cho dây cung \[AB = R\sqrt 3 \] ,
BC = R, tia BO nằm giữa hai tia BA, BC. Tính số đo của \[\widehat {AOB},\widehat {BOC},\widehat {COA}\] .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Gọi H là trung điểm của AB, sử dụng hàm số lượng giác sin, tính \[\widehat {AOH}\], từ đó suy ra \[\widehat {AOB}\] .
+] Chứng minh tam giác OBC đều, suy ra \[\widehat {BOC}\].
+] Sử dụng tổng \[\widehat {AOB} + \widehat {BOC} + \widehat {COA} = {360^0}\], tính \[\widehat {COA}\].
Lời giải chi tiết
+] Gọi H là trung điểm của AB \[ \Rightarrow OH \bot AB\] [quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung].
Ta có \[AH = BH = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}\].
Xét tam giác vuông OAH có \[\sin \widehat {AOH} = \dfrac{{AH}}{{OA}} = \dfrac{{\dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}}}{R} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\] \[ \Rightarrow \widehat {AOH} = {60^0}\].
Ta có \[OA = OB = R \Rightarrow \Delta OAB\] cân tại O \[ \Rightarrow \] Đường cao OH đồng thời là phân giác
\[ \Rightarrow \widehat {AOB} = 2\widehat {AOH} = {2.60^0} = {120^0}\].
+] Xét tam giác OBC có \[OB = OC = BC = R \Rightarrow \Delta OBC\] đều \[ \Rightarrow \widehat {BOC} = {60^0}\].
+] Ta có \[\widehat {AOB} + \widehat {BOC} + \widehat {COA} = {360^0} \]
\[\Rightarrow {120^0} + {60^0} + \widehat {COA} = {360^0} \] \[\Rightarrow \widehat {COA} = {180^0}\].