Bài 5 trang 76 Toán 11: Xếp hàng ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào 6 ghế kê theo hàng ngang. Tìm xác suất sao cho:
a] Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau
b] Ba bạn nam ngồi cạnh nhau.
Trả lời
Rõ ràng một cách xếp 6 bạn ngồi vào 6 chiếc ghế chính là một phần tử của không gian mẫu. Bởi vậy số phần từ của không gian mẫu là:
6! = 720.
Giả sử các ghế được đánh số từ 1 đến 6 như sau:
Ghế 1 Ghế 2 Ghế 3 Ghế 4 Ghế 5 Ghế 6
a] Để xếp được các bạn nam, nữ xen kẽ nhau ra xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: 3 bạn nam ngồi vào các vị trí Ghế 1, Ghế 3, Ghế 5. Các bạn nữ ngồi ghế còn lại. Khi đó có 3! 3! cách xếp hay có: 36 cách xếp
Vậy cả hai trường hợp có tổng cộng là 72 cách xếp để các bạn nam ngồi xen kẽ nhau.
Bởi vậy xác suất của biến cố này là P1 = 72/720 = 1/10
b] Để xếp được ba bạn ngồi cạnh nhau thì có những trường hợp sau đây:
+ Ba bạn nam ngồi vào các ghế 1, 2, 3.
+ Ba bạn nam ngồi vào các ghế 2,3, 4.
+ Ba bạn nam ngồi vào các ghế 3, 4, 5.
+ Ba bạn nam ngồi vào các ghế 4, 5, 6.
Trường hợp 1: Ba bạn nam ngồi vào các ghế 1, 2, 3. Có 3! cách xếp ba bạn nam vào các vị trí này. Ứng với mỗi cách xếp ba bạn nam ngồi vào các ghế 1, 2, 3 có 3! Cách xếp 3 bạn nữ ngồi vào các ghế còn lại.
Do đó có 3!.3! = 36 cách xếp.
Các trường hợp còn lại đều được làm tương tự và mỗi trường hợp đều có 36 cách xếp.
Do đó có tổng cộng là 4 . 36 = 144 cách xếp cho 3 bạn nam ngồi cạnh nhau. Vậy xác suất của biến cố 3 bạn nam ngồi cạnh nhau là:
Ta hãy đếm số cách ngồi theo từng phương án. Với mỗi phương án, mỗi cách ngồi có được thực hiện qua 2 công đoạn:– Công đoạn 1: xếp chỗ cho các bạn nữ;
– Công đoạn 2: xếp chỗ cho các bạn nam.
Số cách xếp chỗ cho 3 bạn nữ vào 3 chỗ ngồi chính là số hoán vị của 3, nghĩa là:
3! = 3.2.1 = 6 [cách].
Tương tự, số cách xếp chỗ cho 3 bạn nam vào 3 chỗ ngồi là:
3! = 3.2.1 = 6 [cách].
Vì vậy, theo quy tắc nhân, số cách xếp chỗ ngồi của mỗi phương án là:
6.6 = 36 [cách].
Như vậy, theo quy tắc cộng thì tổng số các cách xếp chỗ là:
36 + 36 = 72 [cách].
b]
Để xếp các bạn nữ ngồi liên tiếp nhau, ta có 4 phương án:
– Phương án 1: các bạn nữ ngồi các ghế 1, 2 và 3;
– Phương án 2: các bạn nữ ngồi các ghế 2, 3 và 4;
– Phương án 3: các bạn nữ ngồi các ghế 3, 4 và 5;
– Phương án 4: các bạn nữ ngồi các ghế 4, 5 và 6.
Với mỗi phương án, việc xếp chỗ cho nhóm bạn có thể được thực hiện qua hai công đoạn:
– Công đoạn 1: xếp chỗ cho các bạn nữ;
– Công đoạn 2: xếp chỗ cho các bạn nam.
Tương tự như a], số cách xếp chỗ cho 3 bạn nữ vào 3 chỗ ngồi và số cách xếp chỗ cho 3 bạn nam vào 3 chỗ ngồi đều bằng 6.
Do đó, số cách xếp chỗ theo mỗi phương án đều là 36. Vì vậy, theo quy tắc cộng tổng số các cách ngồi là:
Bài toán 1. Có 3 nam và 3 nữ cần xếp vào một hàng ghế gồm có 6 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp nam nữ xen kẽ nhau?
Giải
Lời giải 1. Xếp trước 3 bạn nữ, ta được $3!$ cách xếp. Cố định mỗi cách sắp các bạn nữ thì ta thấy có 4 vị trí có thể xếp 3 bạn học sinh nam [gồm 2 chỗ giữa các bạn nữ và 2 chỗ đầu hàng, cuối hàng], có $A_{4}^{3}$ cách xếp như vậy. Do đó có $3!.A_{4}^{3}$ cách xếp.
Đây là lời giải sai, lời giải đúng phải là
Lời giải 2. Nếu bạn nam ngồi ghế đầu tiên của hàng ghế thì có $3!$ cách xếp bạn nam và $3!$ cách xếp bạn nữ. Nếu bạn nữ ngồi ghế đầu tiên của hàng ghế thì có $3!$ cách xếp bạn nữ và $3!$ cách xếp bạn nam. Thành ra có $2.{{\left[ 3! \right]}^{2}}$ cách xếp.
Thế nhưng vận dụng lời giải 1 vào bài toán sau thì đúng còn lời giải 2 thì không.
Bài toán 2. Mỗi tổ học sinh có 10 bạn trong đó có ba bạn A, B, C hay nói chuyện riêng nên không được xếp cho 3 bạn này đứng cạnh nhau đôi một. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tổ học sinh nói trên thành một hàng?
Giải
Xếp 7 học sinh[không có A, B, C] trước ta có $7!$ cách xếp. Cố định mỗi cách xếp 7 học sinh trên, ta có 8 vị trí có thể xếp A, B, C vào đó để thỏa mãn đề bài. Số cách xếp A, B, C là $A_{8}^{3}$. Như vậy có $7!.A_{8}^{3}$ cách xếp thỏa đề.
Các bạn giải thích giúp mình, nếu sử dụng lời giải 1 trong bài toán 1thì sai chỗ nào còn nếu sử dụng lời giải 2 trong bài toán 2 thì sai chỗ nào? Mình mới học về tổ hợp chỉnh hợp nên còn bỡ ngỡ, các bạn cố gắng giúp mình.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phathuy: 26-05-2014 - 06:12
Bài toán 1. Có 3 nam và 3 nữ cần xếp vào một hàng ghế gồm có 6 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp nam nữ xen kẽ nhau?
Giải
Lời giải 1. Xếp trước 3 bạn nữ, ta được $3!$ cách xếp. Cố định mỗi cách sắp các bạn nữ thì ta thấy có 4 vị trí có thể xếp 3 bạn học sinh nam [gồm 2 chỗ giữa các bạn nữ và 2 chỗ đầu hàng, cuối hàng], có $A_{4}^{3}$ cách xếp như vậy. Do đó có $3!.A_{4}^{3}$ cách xếp.
Đây là lời giải sai, lời giải đúng phải là
Lời giải 2. Nếu bạn nam ngồi ghế đầu tiên của hàng ghế thì có $3!$ cách xếp bạn nam và $3!$ cách xếp bạn nữ. Nếu bạn nữ ngồi ghế đầu tiên của hàng ghế thì có $3!$ cách xếp bạn nữ và $3!$ cách xếp bạn nam. Thành ra có $2.{{\left[ 3! \right]}^{2}}$ cách xếp.
Thế nhưng vận dụng lời giải 1 vào bài toán sau thì đúng còn lời giải 2 thì không.
Bài toán 2. Mỗi tổ học sinh có 10 bạn trong đó có ba bạn A, B, C hay nói chuyện riêng nên không được xếp cho 3 bạn này đứng cạnh nhau đôi một. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tổ học sinh nói trên thành một hàng?
Giải
Xếp 7 học sinh[không có A, B, C] trước ta có $7!$ cách xếp. Cố định mỗi cách xếp 7 học sinh trên, ta có 8 vị trí có thể xếp A, B, C vào đó để thỏa mãn đề bài. Số cách xếp A, B, C là $A_{8}^{3}$. Như vậy có $7!.A_{8}^{3}$ cách xếp thỏa đề.
Các bạn giải thích giúp mình, nếu sử dụng lời giải 1 trong bài toán 1thì sai chỗ nào còn nếu sử dụng lời giải 2 trong bài toán 2 thì sai chỗ nào? Mình mới học về tổ hợp chỉnh hợp nên còn bỡ ngỡ, các bạn cố gắng giúp mình.
Ở bài toán 1, số phần tử nam là $x=3$, số phần tử nữ là $y=3$ [$x=y$].
Theo lời giải $1$, đáp án là $6.24=144$ ; theo lời giải $2$, đáp án là $2.6^2=72$ [chênh lệch nhau $72$ cách]
Đó là do trong lời giải $1$, ta đã tính luôn $2$ trường hợp sau :
$a]$ Nam - Nữ - Nữ - Nam - Nữ - Nam : TH này có $\left [ 3! \right ]^2=36$ cách
$b]$ Nam - Nữ - Nam - Nữ - Nữ - Nam : TH này cũng có $\left [ 3! \right ]^2=36$ cách
Hai TH này không thỏa mãn yêu cầu đề bài là nam nữ xen kẽ nên lời giải $1$ sai.
Ở bài toán $2$, số phần tử $2$ nhóm không bằng nhau [nhóm nhiều hơn là $x=7$, nhóm ít hơn là $y=3$] và yêu cầu tính cách xếp sao cho $2$ phần tử của nhóm ít hơn không đứng cạnh nhau [còn các phần tử của nhóm nhiều hơn có thể đứng cạnh nhau]
Chính vì các phần tử của nhóm nhiều hơn có thể đứng cạnh nhau nên không thể áp dụng lời giải $2$.
Lời giải $2$ chỉ đúng khi đề yêu cầu tính số cách sắp xếp XEN KẼ, tức là $2$ phần tử cùng nhóm không đứng cạnh nhau.
Nói thêm về lời giải $2$ : Khi áp dụng lời giải $2$ để tính số cách sắp xếp XEN KẼ, có $3$ TH có thể xảy ra.
Gọi $x$ và $y$ là số phần tử của $2$ nhóm [$x\geqslant y$] :
+ Nếu $x-y=0$ thì số cách sắp xếp xen kẽ là $2.\left [ x! \right ]^2$
+ Nếu $x-y=1$ thì số cách sắp xếp xen kẽ là $x!.y!=x!.\left [ x-1 \right ]!=\frac{\left [ x! \right ]^2}{x}$