Có bao nhiêu cách chứng minh tam giác đồng dạng

Câu hỏi: Thế nào là hai tam giác đồng dạng?

Lời giải:

Haitam giácđược gọi là đồng dạng khi các góc của hai tam giác tương ứng bằng nhau và có các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau.

Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu :

Các góc: A’ = A ; B’ = B ; C’ = C ;

Tỉ lệ các cạnh: A’B/AB = B’C’/BC = C’A’/CA

Cùng Top lời giải đi tìm hiểu về định lí Taget, tam giác đồng dạng và đồng dạng tam giác vuông nhé.

I. Lý thuyết

1. Đồng dạng là gì?

Khái niệm đồng dạng khi sử dụng trong hình học là các hình có hình dạng và cấu trúc giống nhau nhưng khác nhau về kích thước.

Ví dụ: Tất cả cáchình trònđều đồng dạng với nhau, tất cả cáchình vuôngđều đồng dạng với nhau, tất cả cáctam giác đềuđều đồng dạng với nhau.

2. Định lý Ta – lét trong tam giác

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

3. Định lý đảo và hệ quả của định lý Ta – let

a. Định lý Ta – lét đảo.

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

b. Hệ quả của định lý Ta – let.

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

4. Tính chất đường phân giác trong tam giác

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của đoạn ấy.

5. Tam giác đồng dạng

a. Khái niệm

Haitam giácđược gọi là đồng dạng khi các góc của hai tam giác tương ứng bằng nhau và có các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau.

Ký hiệu đồng dạng:

Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu :

Các góc: A’ = A ; B’ = B ; C’ = C ;

Tỉ lệ các cạnh: A’B/AB = B’C’/BC = C’A’/CA

– Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

b.Tính chất hai tam giác đồng dạng

-Tính chất đối xứng: Nếu tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC thì tam giác ABC cũng đồng dạng với tam giác A’B’C’.

-Tính chất phản xạ: Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau, tuy nhiên điều ngược lại hai tam giác đồng dạng với nhau chưa chắc bằng nhau.

-Tính chất bắc cầu: Nếu tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác A’’B’’C’’, tam giác A’’B’’C’’ đồng dạng với tam giác ABC thì chúng ta có được cặp tam giác đồng dạng A’B’C’ và ABC.

Chú ý:

Tỉ số các cạnh tương ứng k được gọi là tỉ số đồng dạng của hai tam giác.

c. Định lí

Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.

6. Ba trường hợp đồng dạng của tam giác

a. Trường hợp thứ nhất [c.c.c]

Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

b. Trường hợp thứ hai [c.g.c]

Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng với nhau.

c. Trường hợp thứ ba [g.g.g]

Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

7. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu :

– Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia.

– Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia.

– Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyện và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

8. Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng

-Phương pháp 1: Chứng minh hai tam giác đồng dạng nếu chúng có các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ và các góc tương ứng tỉ lệ.

-Phương pháp 2: Áp dụngđịnh lý Talet: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó vạch ra trên cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.

-Phương pháp 3: Chứng minh các điều kiện cần và đủ để hai tam giác đồng dạng: Hai tam giác có các cặp cạnh tương ứng tỷ lệ thì đồng dạng. Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì đồng dạng. Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng tỷ lệ, hai góc xen giữa hai cặp cạnh ấy bằng nhau thì đồng dạng.

-Phương pháp 4: Chứng minh trường hợp 1 [cạnh - cạnh - cạnh]: Nếu 3 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 3 cạnh của tam giác kia thì 2 tam giác đó đồng dạng.

-Phương pháp 5: Chứng minh trường hợp 2 [cạnh - góc - cạnh]: Nếu 2 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 2 cạnh của tam giác kia và 2 góc tạo bởi tạo các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam đó giác đồng dạng.

9. Một số lưu ý về dạng bài tập hai tam giác đồng dạng

- Cần thuộc các công thức và luyện tập vẽ hình chính xác và biết cách nhìn hình giải bài tập. Việc vẽ hình sẽ giúp các bạn có nhiều kỹ năng, nâng cao khả năng tư duy, tưởng tượng ra được vấn đề mà bài tập muốn hỏi đến để giải toán.

- Làm bài tập thường xuyên, làm bài tập thật nhiều từ cơ bản đến nâng cao. Giúp các bạn khi gặp bất kỳ dạng toán nào cũng biết cách áp dụng những định nghĩa, tính chất đã học để giải đề.

- Cần phải đọc và phân tích đề bài thật kĩ và khi tính toán nên sử dụngmáy tính cầm tayđể tránh bị sai và nhầm lẫn.

Chuyên đề về tam giác đồng dạng cũng như cách chứng minh hai tam giác đồng dạng học sinh đã được tìm hiểu trong chương trình Toán 8, phân môn Hình học. Đây là phần kiến thức vô cùng quan trọng của chương trình. Bài viết hôm nay, THPT Sóc Trăng sẽ hệ thống lại tất cả các kiến thức cần ghi nhớ về chuyên đề này. Bạn tìm hiểu nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

1. Định nghĩa hai tam giác đồng dạng

Bạn đang xem: Tam giác đồng dạng là gì ? Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng

Hai tam giác đồng dạng là gì? “Đồng dạng” là từ Hán Việt và vốn có nghĩa là giống nhau. Hai tam giác đồng dạng với nhau khi chúng có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ.

Tam giác ABC và tam giác A’B’C’ được gọi là đồng dạng với nhau nếu: A^=A′^;B^=B′^;C^=C′^

và A′B′AB=B′C′BC=A′C′AC

Kí hiệu hai tam giác đồng dạng: △ABC∼△A′B′C′

Tỉ số:  A′B′AB=B′C′BC=A′C′AC=k được gọi là tỉ số đồng dạng.

2. Các trường hợp đồng dạng của tam giác thường

• Trường hợp 1: Ba cạnh tương ứng tỉ lệ nhau [c – c – c].

Xét hai tam giác ABC và DEF có:

ABDE=ACDF=BCEF

Suy ra: △ABC∼△DEF [c – c – c]

• Trường hợp 2: Hai cạnh tương ứng tỉ lệ nhau – góc xen giữa hai cạnh bằng nhau [c – g – c].

Xét hai tam giác ABC và DEF, ta có:

ABDE=ACDF

A^=D^

Suy ra: △ABC∼△DEF [c – g – c]

• Trường hợp 3: Hai góc tương ứng bằng nhau [g – g]

Xét hai tam giác ABC và DEF có:

A^=D^

B^=E^

Suy ra: △ABC∼△DEF [g – g]

3. Các định lý đồng dạng của tam giác vuông

• Định lý 1: Cạnh huyền – Cạnh góc vuông

Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

• Định lý 2: Hai cạnh góc vuông

Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

• Định lý 3: Góc của hai tam giác vuông

Nếu góc nhọn của tam giác vuông này bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

II. CÁCH CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Dạng 1 : Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Hệ thức :

Bài toán: Cho △ABC[AB ∆HBE ~ ∆HCD [g – g]

b] ∆HED và ∆HBC, ta có :

 [∆HBE ~ ∆HCD]

=> 

 [đối đỉnh]

=> ∆HED ~ ∆HBC [c – g – c]

=>  [1]

mà : Đường cao BD và CE cắt nhau tại H [gt]

=> H là trực tâm.

=> AH ⊥ BC tại M.

=> 

mặt khác: 

=>  [2]

từ [1] và [2] : 

hay: 

c] cmtt câu b, ta được:  [3]

xét ∆BCD, ta có :

DB = DC [gt]

=> ∆BCD cân tại D

=> 

mà:  [∆HED ~ ∆HBC]

=> 

mà: 

 [cmt]

=>

hay: 

=> ED ⊥ EM.

Bài 2: Cho ∆ABC [AB < AC], có AD là đường phân giác trong. Ở miền ngoài ∆ABC vẽ tia Cx sao cho  . Gọi I là giao điểm của Cx và AD. cmr :

a] ∆ADB đồng dạng ∆CDI.

b] 

c] AD2 = AB.AC – BD.DC

Giải

a] ∆ADB và ∆CDI , ta có :
 [gt]

 [đối đỉnh]

=> ∆ADB ~ ∆CDI

b] ∆ABD và ∆AIC , ta có :
 [∆ADB ~ ∆CDI]

 [AD là phân giác]

=> ∆ABD ~ ∆AIC

=> 

c] => AD.AI = AB.AC [1]

mà :  [∆ADB ~ ∆CDI ]

=> AD.DI = BD.CD [2]

từ [1] và [2] :
AB.AC – BD.CD = AD.AI – AD.DI = AD[AI – DI ] = AD.AD = AD2

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH . Chứng minh các hệ thức :

a. AB2 = BH.BC và AC2 = CH.BC

b. AB2 +AC2 = BC2

c. AH2 = BH.CH

d. AH.BC = AB.AC

Giải.

Xét hai ∆ABC và ∆ HAC, ta có:

a. AC2 = CH.BC :

 là góc chung.

=> ∆ABC ~ ∆HAC [g – g]

=> 

=> AC2 = CH.BC [1]

Cmtt : AB2 = BH.BC [2]

b. AB2 +AC2 = BC2

Từ [1] và [2], ta có :

AB2 +AC2 = BH.BC + CH.BC = [BH + CH]BC = BC2

c. AH2 = BH.CH :

Xét hai ∆HBA và ∆ HAC, ta có :

 cùng phụ 

=> ∆HBA ~ ∆HAC [g – g]

=> 

=> AH2 = BH.CH

d. AH.BC = AB.AC :

Ta có :  [∆ABC ~ ∆HAC]
=> AH.BC = AB.AC.

Bài 4: Cho ∆ABC nhọn. kẻ đường cao BD và CE. vẽ các đường cao DF và EG của ∆ADE. Chứng minh

a] ∆ABD đồng dạng ∆AEG.

b] AD.AE = AB.AG = AC.AF

c] FG // BC

Giải

a] xét ∆ABD và ∆AEG, ta có :
BD ⊥ AC [BD là đường cao]

EG ⊥ AC [EG là đường cao]

=> BD // EG

=> ∆ABD ~ ∆AGE

b] => 

=> AD.AE = AB.AG [1]

cmtt, ta được : AD.AE = AC.AF [2]

từ [1] và [2] suy ra :
AD.AE = AB.AG = AC.AF

c] xét ∆ABC, ta có :
AB.AG = AC.AF [cmt]

=> FG // BC [định lí đảo talet]

Do đó H là trực tâm, suy ra AH⊥BC tại M.

Suy raA1ˆ+ABCˆ=90∘

Mặt khác : C1ˆ+ABCˆ=90∘

Suy ra: A1ˆ=C1ˆ [2]

Từ [1] và [2] =>  A1ˆ=D1ˆ

hay: HDEˆ=HAEˆ

2. Bài tập tự luyện thêm

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH. Chứng minh:

a/ AH.BC = AB.AC

b/ AB² = BH.BC

c/ AH² = BH.CH

d/ Gọi M là trung điểm của BH, N là trung điểm của AH. Chứng minh: CN AM.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền thành 2 đoạn BH = 9cm và HC = 16cm. Tính AB, AC, BC.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết AB = 21cm; AC = 28cm.

a/ Tính AH

b/ Kẻ HD AB; HE AC. Tính diện tích tam giác AED.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 15cm, AC = 20cm. Kẻ đường cao AH, trung tuyến AM.

a/ Tính AH; BC.                             b/ Tính BH,CH.               c/ Tính diện tích tam giác AHM.

Bài 5: Cho có ba góc nhọn, đường cao AH. Vẽ HD vuông góc AB tại D, HE vuông góc AC tại E.

a] Chứng minh: tam giác AHB đồng dạng với tam giác ADH và tam giác AHC đồng dạng với tam giác AEH.

b] Chứng minh: AD.AB = AE.AC.

c] Cho AB = 12 cm, AC = 15 cm, BC = 18 cm. Tính độ dài đường phân giác AK của [K thuộc BC]

Bài 6: Cho ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. Đường phân giác góc A cắt cạnh BC tại D. Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại E và BA tại K.

a/ Chứng minh ABC vuông

b/ Tính DB, DC

c/ Chứng minh tam giác EDC đồng dạng với tam giác BDK

d/ Chứng minh DE = DB

Bài 7: Cho ABC vuông tại A, cho biết AB = 15 cm, AC = 20 cm. Kẻ đường cao AH của ABC.

a] Chứng minh: tam giác AHB đồng dạng với tam giác CAB và suy ra AB² = BH.BC

b] Tính độ dài các đoạn thẳng BH và CH.

c] Kẻ HM vuông góc với AB và HN vuông góc với AC. Chứng minh: AM.AB = AN.AC

d]Chứng minh: tam giác AMN đồng dạng với tam giác ACB

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường phân giác của góc A cắt cạnh huyền BC tại D. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC và cắt AC tại E.

a] Chứng minh tam giác DEC đồng dạng với tam giác ABC.

b] Chứng minh: DB = DE.

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 16cm, BC = 20cm. Kẻ đường phân giác BD [D thuộc AC]

a] Tính CD và AD

b] Từ C kẻ CH vuông góc với BD tại H. Chứng minh: Tam giác ABD đồng dạng với tam giác HCD

c] Tính diện tích tam giác HCD .

Trên đây, THPT Sóc Trăng.vn đã giới thiệu đến quý thầy cô và các bạn tam giác đồng dạng là gì ? Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng nhanh nhất. Hi vọng, bài viết đã cung cấp cho bạn những thông tin hữu ích. Xem thêm cách chứng minh hình thang tại đường link này nhé !

Đăng bởi: THPT Sóc Trăng

Chuyên mục: Giáo dục