Cách Tính phương trình đường thẳng y = ax + b
|
1. Định nghĩa Show
Hàm số bậc nhất là hàm số có công thức: \(y = ax + b\) trong đó \(a\) và \(b\) là các số đã cho với \(a ≠ 0, x\) là biến số. 2. Sự biến thiên Hàm số bậc nhất \(y = ax + b (a ≠ 0)\) có tập xác định \(D =\mathbb R\), đồng biến trên \(\mathbb R\) nếu \(a > 0\) và nghịch biến trên \(\mathbb R\) nếu \(a < 0\). Bảng biến thiên của hàm số bậc nhất tùy theo \(a\) như sau:  3. Đồ thị Đồ thị hàm số \(y = ax + b (a ≠ 0)\) là một đường thẳng không song song cũng không trùng với các trục tọa độ, cắt trục tung tại điểm \(P(0; b)\) và cắt trục hoành tại điểm \(Q = \left( { - {b \over a};0} \right)\) Ta gọi đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) là đường thẳng \(y=ax + b\). Số \(a\) gọi là hệ số góc của đường thẳng \(y = ax + b\). 4. Hàm số hằng \(y = b\) Khi \(a = 0\) hàm số \(y = ax + b\) trở thành hàm hằng \(y = b\) là đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung tại điểm \(P(0; b)\). Ta gọi đường thẳng này là đường thẳng \(y = b\). 5. Hàm số \(y = |x|\) \(y = |x| = \left\{ \matrix{ x,\text { nếu }x \ge 0 \hfill \cr - x,\text { nếu }x < 0 \hfill \cr} \right.\) có tập xác định \(D =\mathbb R\), đồng biến trên khoảng \((0; +∞)\) và nghịch biến trên khoảng \((- ∞; 0)\). Đồ thị là đường thẳng; trên nửa khoảng \([0; +∞)\) trùng với đồ thị hàm số \(y = x\) và trên khoảng \((- ∞; 0)\) trùng với đồ thị hàm số \(y = - x\). Loigiaihay.com 10:05:4704/05/2022 Xác định a, b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm hay viết phương trình hàm số bậc nhât đi qua hai điểm (viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm) là dạng bài tập các em hay gặp ở nội dung toán lớp 9. Vậy cách xác định a, b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm như thế nào? cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm ra sao? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây. ° Xác định a, b để đồ thị hàm số đi qua 2 điểm (viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cho trước). - Cho tọa độ 2 điểm A, B trong hệ Oxy. Hãy xác định hệ số a, b để đồ thị hàm số bậc nhất đi qua 2 điểm (hay viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A, B) ta thực hiện các bước sau: - Bước 1: Gọi tổng quát đường thẳng có dạng y = ax + b (a khác 0) - Bước 2: Với từng điểm cho trước thì thay trực tiếp vào phương trình đường thẳng. Khi đó, ta được 2 phương trình bậc nhất. - Bước 3: Giải hệ phương trình tìm a và b - Bước 4: Viết phương trình đồ thị hàm số (viết phương trình đường thẳng) ° Ví dụ minh họa cách xác định a, b để đồ thị hàm số đi qua 2 điểm (viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cho trước). * Ví dụ 1: Xác định a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(2; -2) và B(-1; 3). * Lời giải: - Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A(2; -2) nên ta có: 2.a + b = -2 (1) - Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua B(-1; 3) nên ta có: (-1).a + b = 3 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Vậy đồ thị hàm số có dạng: * Ví dụ 2: Xác định a và b để đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b đi qua hai điểm A(1; 3) và B(-1; -1) * Lời giải: - Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A(1; 3) nên ta có: 1.a + b = 3 (1) - Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua B(-1; -1) nên ta có: (-1).a + b = -1 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Vậy đồ thị hàm số có dạng: y = 2x + 1. * Ví dụ 3: Xác định hàm số bậc nhất biết đồ thị là đường thẳng đi qua 2 điểm A(1; 2) và B(-2; 3). * Lời giải: - Đồ thị hàm số (phương trình đường thẳng dạng tổng quát) y = ax + b đi qua A(1; 2) nên ta có: 1.a + b = 2 (1) - Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua B(-2; 3) nên ta có: (-2).a + b = 3 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Vậy đồ thị hàm số có dạng:
Hy vọng với bài viết xác định a, b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm hay viết phương trình hàm số bậc nhất đi qua hai điểm (viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm) ở nội dung toán lớp 9 trên của hayhochoi.vn giúp các em giải các bài tập dạng này một cách dễ dàng. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để Hay Học Hỏi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.
Hàm số bậc nhất là một chương cơ bản nhưng rất quan trọng trong chương trình toán THCS. Chủ đề này luôn xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi cũng như thi tuyển sinh vào lớp 10. Vì vậy, hôm nay Kiến Guru gửi đến bạn đọc bài viết tổng hợp những phương pháp và ví dụ minh họa điển hình kèm lời giải chi tiết. Cùng nhau khám phá nhé: I. Trọng tâm kiến thức về hàm số bậc nhất.1. Hàm số bậc nhất là gì?Hàm số có dạng y=ax+b ( 2. Tính biến thiên ở hàm số bậc nhất.– Xét hàm số y=ax=b (a≠0): – Tập xác định: D=R – Khi a>0, hàm số đồng biến. Ngược lại, khi a<0, hàm số nghịch biến. – Ta có bảng biến thiên hàm số: 3. Đồ thị hàm số.Hàm số y=ax+b ( – Hệ số góc là a. – Cắt trục hoành tại A(-b/a;0). – Cắt trục tung tại B(0;b) Đặc biệt, trong trường hợp a=0, hàm số suy biến thành y=b, là một hàm hằng, đồ thị là đường thẳng song song với trục hoành. Lưu ý: khi cho đường thẳng d có hệ số góc a, đi qua điểm (x0;y0), sẽ có phương trình: II. Các dạng toán hàm số bậc nhất tổng hợp.Dạng 1: Tìm hàm số bậc nhất, xét sự tương giao giữa các đồ thị hàm số bậc nhất.Phương pháp: Đối với bài toán xác định hàm số bậc nhất, ta sẽ làm theo các bước: – Hàm số cần tìm có dạng: y=ax+b ( – Giải hệ vừa thiết lập, ta sẽ có được hàm số cần tìm. Đối với bài toán tương giao hai đồ thị hàm số bậc nhất: gọi đường thẳng d: y=ax+b (a≠0), đường thẳng d’: y=a’x+b’ (a’≠0), lúc này: + d trùng d’ khi và chỉ khi: + d song song d’ khi: + d cắt d’ khi a≠a’, lúc này tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ: đặc biệt khi Ví dụ 1: Xét hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d, hãy xác định hàm số biết rằng: a. d đi qua điểm (1;3) và (2;-1). b. d đi qua điểm (3;-2), đồng thời song song với d’: 3x-2y+1=0. c. d đi qua điểm (1;2), đồng thời cắt tia Ox và tia Oy lần lượt tại M, N thỏa diện tích tam giác OMN là nhỏ nhất. d. d đi qua (2;-1) và vuông góc với d’: y=4x+3. Hướng dẫn: Hàm số có dạng y=ax+b ( a. Chú ý: một đường thẳng có dạng y=ax+b ( Vì hàm số đi qua hai điểm (1;3) và (2;-1), ta có hệ phương trình: Vậy đáp số là b. Dựa vào tính chất hai đường thẳng song song, ta biến đổi d’ về dạng: Do d song song d’, suy ra: lại có d đi qua (3;-2), suy ra: Ta có thu được hàm số cần tìm. c. Tọa độ các điểm cắt lần lượt là: Do điểm giao nằm trên tia Ox và tia Oy, vì vậy a<0 và b>0 Lúc này, diện tích tam giác được tính theo công thức: Theo đề, đồ thị đi qua điểm (1;2), suy ra: 2=a+b ⇒ b=2-a Thế vào công thức diện tích: Vậy diện tích tam giác MNO đạt nhỏ nhất khi: Đáp số cần tìm: Chú ý: ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số thực dương để giải bài toán trên, cụ thể: cho hai số thực dương a,b, khi đó ta có bất đẳng thức: điều kiện xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi: a=b d. Đồ thị đi qua điểm (2;-1) nên: Lại có d vuông góc d’:
Vậy ta thu được: Ví dụ 2: Xét hai đường thẳng d:y=x+2m và d’:y=3x+2.
Hướng dẫn: a. Vì 1≠3 (hai hệ số góc khác nhau) nên d và d’ cắt nhau. Tọa độ giao điểm là nghiệm của: Vậy tọa độ giao điểm là M(m-1;3m-1) b. Do 3 đường thẳng đồng quy, vậy M ∈d’’. Suy ra: Xét: m=1, khi đó 3 đường thằng là d:y=x+2; d’: y=3x=2 và d’’: y=-x+2 phân biệt cắt nhau tại (0;2) Vậy m=1 là đáp số cần tìm. Dạng 2: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.Phương pháp: Dựa vào tính chất biến thiên đã nêu ở mục I để giải. Ví dụ 1: Cho hàm số sau, xét sự biến thiên: Hướng dẫn: a. Tập xác định D=R a=3>0, vậy nên hàm số đồng biến trên R. Bảng biến thiên được vẽ như sau: Vẽ đồ thị: để vẽ đồ thị, ta xác định các điểm đặc biệt mà đồ thị đi qua, cụ thể là hai điểm (-2;0) và (-1;3) b. Ta biến đổi hàm số về dạng: Tập xác định D=R. Hệ số góc a<0, hàm số nghịch biến trên R. Bảng biến thiên: Đồ thị hàm số: Dạng 3: Hàm số bậc nhất chứa dấu giá trị tuyệt đối.Phương pháp: Xét đồ thị hàm số có dạng Cách 1: Vẽ đồ thị (C1) của hàm số y=ax+b với các tọa độ x thỏa mãn ax+b≥0. Tiếp tục vẽ đồ thị (C2) của hàm số y= -ax-b ở các tọa độ x thỏa mãn ax+b<0. Đồ thị © cần tìm là hợp của đồ thị (C1) và (C2). Cách 2: Vẽ đồ thị (C’) của hàm số y=ax+b, lấy đối xứng phần đồ thị (C’) nằm dưới trục hoành qua trục hoành, rồi xóa toàn bộ phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành. Phần đồ thị còn lại là đồ thị © cần tìm. Mở rộng: Cho trước đồ thị (C) : y=f(x). Khi đó:
Ví dụ: Vẽ đồ thị: Hướng dẫn: a. Khi x≥0, hàm số có dạng y=2x. Đồ thị là phần đường thẳng đi qua (0;0) và (1;2) (chú ý chỉ lấy phần bên phải của đường thẳng x=0) – Khi x<0, hàm số có dạng y=-x. Đồ thị là phần đường thẳng đi qua (-1;1) và (-2;2) (chú ý lấy phần nằm bên trái đường thẳng x=0) b. Ta vẽ đường thẳng y=-3x+3 và đường thẳng y=3x-3. Sau đó xóa phần đồ thị nằm dưới trục hoành, ta sẽ thu được đồ thị cần tìm. Trên đây là tổng hợp các phương pháp cơ bản nhất để giải các dạng toán Hàm số bậc nhất. Hy vọng qua bài viết này, các bạn sẽ tự củng cố cũng như rèn luyện thêm cho mình tư duy, định hướng khi giải toán. Ngoài ra các bạn có thể tham khảo thêm những bài viết khác trên trang của Kiến Guru để học thêm nhiều điều bổ ích. Chúc các bạn học tập tốt. |
