Trong chương trình toán Đại số, Hàm số là một phần không thể thiếu. Vì vậy hôm nay Kiến Guru xin gửi đến bạn đọc bài viết về chuyên đề hàm số bậc 2. Bài viết vừa tổng hợp lý thuyết vừa đưa ra các dạng bài tập áp dụng một cách rõ ràng dễ hiểu. Đây cũng là một kiến thức khá nền tảng giúp các bạn chinh phục các đề thi học kì, đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia. Cùng nhau tìm hiểu nhé:
I. Hàm số bậc 2 - Lý thuyết cơ bản.
Bạn đang xem: Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số
Cho hàm số bậc 2:
- Tập xác định D=R- Tính biến thiên:
a>0:hàm số nghịch biến trong khoảng và đồng biến trong khoảng
Bảng biến thiên khi a>0:
a hàm số đồng biến trong khoảng và nghịch biến trong khoảng Bảng biến thiên khi a
biết rằng:
- Trục đối xứng x=-b/2a.- Parabol có bề lõm quay lên trên nếu a>0 và ngược lại, bề lõm quay xuống dưới khi aII. Ứng dụng hàm số bậc 2 giải toán.
Dạng bài tập liên quan khảo sát hàm số bậc 2.
Ví dụ 1: Hãy khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số cho phía dưới:
y=3x2-4x+1y=-x2+4x-4Hướng dẫn:
1. y=3x2-4x+1
- Tập xác định: D=R
- Tính biến thiên:
Vì 3>0 nên hàm số đồng biến trên [⅔;+∞] và nghịch biến trên [-∞;⅔].Vẽ bảng biến thiên:Vẽ đồ thị:
Tọa độ đỉnh: [⅔ ;-⅓ ]Trục đối xứng: x=⅔Điểm giao đồ thị với trục hoành: Giải phương trình y=0⇔3x2-4x+1=0, được x=1 hoặc x=⅓ . Vậy giao điểm là [1;0] và [⅓ ;0]Điểm giao đồ thị với trục tung: cho x=0, suy ra y=1. Vậy giao điểm là [0;1]2. y=-x2+4x-4
Tập xác định: D=R
Tính biến thiên:
Vì -1Vẽ bảng biến thiên:Vẽ đồ thị:
Tọa độ đỉnh: [2;0]Trục đối xứng x=2.Điểm giao đồ thị với trục hoành: giải phương trình hoành độ giao điểm y=0 ⇔-x2+4x-4=0, được x=2. Suy ra điểm giao [2;0]Điểm giao đồ thị với trục tung: x=0, suy ra y=-4. Vậy điểm giao là [0;-4].Hướng dẫn:
Nhận xét chung: để giải bài tập dạng này, ta cần nhớ:
Một điểm [x0;y0] thuộc đồ thị hàm số y=f[x] khi và chỉ khi y0=f[x0]Đỉnh của một hàm số bậc 2: y=ax2+bx+c có dạng:với :
Từ nhận xét trên ta có:
Kết hợp ba điều trên, có hệ sau:
Vậy hàm số cần tìm là: y=5x2+20x+19
Dạng bài tập tương giao đồ thị hàm số bậc 2 và hàm bậc 1
Phương pháp để giải bài tập tương giao của 2 đồ thị bất kì, giả sử là [C] và [C’]:
Lập phương trình hoành độ giao điểm của [C] và [C’]Giải trình tìm x. Giá trị hoành độ giao điểm chính là các giá trị x vừa tìm được.Số nghiệm x chính là số giao điểm giữa [C] và [C’].Ví dụ 1: Hãy tìm giao điểm của đồ thị hàm số y=x2+2x-3 và trục hoành.
Hướng dẫn:
Phương trình hàm số thứ nhất:y= x2+2x-3.
Phương trình trục hoành là y=0.
Xem thêm: Cấu Trúc It Was Not Until: Cấu Trúc, Cách Dùng & Bài Tập Về It Was Not Until
Phương trình hoành độ giao điểm: x2+2x-3=0 ⇔ x=1 ∨ x=-3.
Vậy đồ thị của hàm số trên cắt trục hoành tại 2 giao điểm [1;0] và [1;-3].
Ví dụ 2: Cho hàm số y= x2+mx+5 có đồ thị [C] . Hãy xác định tham số m để đồ thị [C] tiếp xúc với đường thẳng y=1?
Hướng dẫn:
Phương trình hoành độ giao điểm: x2+mx+5=1 ⇔ x2+mx+4=0 [1]
Để [C] tiếp xúc với đường thẳng y=1 thì phương trình [1] phải có nghiệm kép.
suy ra: ∆=0 ⇔ m2-16=0 ⇔ m=4 hoặc m=-4.
Vậy ta có hai hàm số thỏa điều kiện y= x2+4x+5 hoặc y=x2-4x+5
Ví dụ 3: Cho hàm số bậc 2 y=x2+3x-m có đồ thị [C] . Hãy xác định các giá trị của m để đồ thị [C] cắt đường thẳng y=-x tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm?
Hướng dẫn:
Nhận xét: Ta sử dụng hệ thức Viet cho trường hợp này. Xét phương trình bậc 2 ax2+bx+c=0 có hai nghiệm x1, x2. Khi đó hai nghiệm này thỏa mãn hệ thức:
Ta lập phương trình hoành độ giao điểm: x2+3x-m=-x ⇔x2+4x-m=0 [1]
Để [C] cắt đường thẳng y=-x tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm thì phương trình [1] phải có 2 nghiệm phân biệt âm.
Điều kiện có hai nghiệm phân biệt: ∆>0 ⇔ 16+4m>0 ⇔m> -4.Điều kiện hai nghiệm là âm:Vậy yêu cầu bài toán thỏa khi 0>m>-4.
III. Một số bài tập tự luyện về hàm số bậc 2.
Bài 1: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
y=x2+2x-3y=2x2+5x-7y=-x2+2x-1Bài 2: Cho hàm số y=2x2+3x-m có đồ thị [Cm]. Cho đường thẳng d: y=3.
Khi m=2, hãy tìm giao điểm của [Cm] và d.Xác định các giá trị của m để đồ thị [Cm] tiếp xúc với đường thẳng d.Xác định các giá trị của m để [Cm] cắt d tại 2 điểm phân biệt có hoành độ trái dấu.Gợi ý:
Bài 1: Làm theo các bước như ở các ví dụ trên.
Bài 2:
Giải phương trình hoành độ giao điểm, được giao điểm là [1;3] và [-5/2;3]Điều kiện tiếp xúc là phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép hay ∆=0.Hoành độ trái dấu khi x1x2-3Trên đây là tổng hợp của Kiến Guru về hàm số bậc 2. Hy vọng qua bài viết, các bạn sẽ tự ôn tập củng cố lại kiến thức bản thân, vừa rèn luyện tư duy tìm tòi, phát triển lời giải cho từng bài toán. Học tập là một quá trình không ngừng tích lũy và cố gắng. Để dung nạp thêm nhiều điều bổ ích, mời các bạn tham khảo thêm các bài viết khác trên trang của Kiến Guru. Chúc các bạn học tập tốt!
1. Để tìm điểm uốn của đồ thị hàm số y = f[x] ta thực hiện:
. Tính đạo hàm f'[x] [liên tục trên khoảng [a ; b]].
. Tính đạo hàm cấp hai f'’[x] và áp dụng:
f'’[x] đổi dấu khi x qua x0 ∈ [a ; b] thì I[x0 ; f[x0]] là điểm uốn của đồ thị hàm số y = f[x].
[Tại điểm uốn, f'’[x0] triệt tiêu hoặc không xác định nhưng f'[x0] phải xác định].
2. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số:
. Đồ thị [C] : y = f[x] nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng nếu có điều kiện:
f[-x] = -f[x], ∀x ∈ D [f là hàm số lẻ].
. Trường hợp [C] : y = f[x] nhận điểm I[x0 ; y0] làm tâm đối xứng thì ta phải dời hệ trục toạ độ cũ xOy về
hệ trục toạ độ mới XIY bằng phép tịnh tiến theo vectơ , để chứng tỏ biểu thức của hàm số trong hệ trục
toạ độ mới là hàm số lẻ tức nhận gốc I làm tâm đối xứng.
Công thức đổi trục bằng phép tịnh tiến theo vectơ [x0 ; y0]:
Ghi chú:
Với các bài toán về điểm uốn, ta có thể gặp những yêu cầu sau đây mà học sinh cằn nắm vững phương pháp giải để giải quyết nhanh các câu hỏi trắc nghiệm.
1. Chứng minh ba điểm uốn thẳng hàng:
a] Hoặc tìm toạ độ ba điểm uốn A, B, C sau đó chứng tỏ cùng phương với .
b] Trường hợp không tính được toạ độ ba điểm uốn, ta có cách giải như sau:
- Áp dụng tính chất f”[x] liên tục và đổi dấu ba lần để chứng tỏ f’'[x] = 0 có ba nghiệm phân biệt bằng cách chỉ ra các giá trị a, b, c, d [a < b < c < d] với f[a].f[b] < 0, f[b].f[c] < 0, f[c].f[d] < 0.
- Toạ độ ba điểm uốn phải thoả hệ:
Dùng phương pháp thay thế ta suy ra toạ độ ba điểm uốn sẽ cùng thoả phương trình một đường thẳng.
2. Đối với yêu cầu xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số, ta lưu ý:
- Đồ thị hàm số bậc ba có tâm đối xứng là điểm uốn của đồ thị.
tu- - + 6 ax2+bx + c
- Đồ thi các hàm số có tâm đối xứng là giao điềm của hai đường tiệm cận.
Ngoài ra với các hàm số khác nếu có tâm dối xứng, ta có thể biến đổi biểu thức y = f[x] và đặt ẩn phụ sao cho có dạng Y = F[X] là một biểu thức hàm sô lẻ.
Ví dụ 1.
Cho hàm số
a] Xác định toạ độ điểm I là giao của hai đường tiệm cận của [H].
b] Viết công thức đổi hệ trục toạ độ bằng phép tịnh tiến theo .
c] Viết phương trình của [H] đối với hệ trục mới XIY và suy ra I là tâm đối xứng của [H].
Giải
a,
Suy ra phương trình hai đường tiệm cận của [H] là : x = 1 ; y = 2x - 3. Do đó giao điểm hai đường tiệm cận là I[1 ; -1].
b] Dời hệ trục cũ xOy đến hệ trục mới XIY bằng phép tịnh tiến theo = [1 ; -1], ta có công thức đổi trục :
c] Thay vào phương trình của [H] ta được:
là phương trình của [H] trong hệ trục mới XIY, biểu thức trên cũng là biểu thức hàm số lẻ của Y theo X nên gốc toạ độ I là tâm đối xứng của đồ thị [H].