Các công thức đạo hàm trong toán cao cấp năm 2024
|
Các bài trước các bạn đã làm quen với định nghĩa và các quy tắc tính đạo hàm cấp 1. Vậy đạo hàm cấp 2, cấp 3, cấp n được tính như thế nào? Có công thức tính đạo hàm cấp cao hay không? Cách bấm đạo hàm cấp cao? Hay ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai như thế nào? Chúng ta cùng tìm hiểu bài: đạo hàm cấp cao. Show
1. Đạo hàm cấp cao1.1. Đạo hàm cấp haiGiả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x). Khi đó đạo hàm của hàm số f'(x) nếu có, được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số . Kí hiệu: f''(x) hay y''. Viết: f''(x) = [f'(x)]'. 1.2. Đạo hàm cấp nTheo mục 1.1, ta có: f''(x) = [f'(x)]' tương tự f'''(x) = [f''(x)]' f(4)(x) = [f'''(x)]' f(5)(x) = [f(4)(x)]' ... Tổng quát lên ta có định nghĩa sau: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n - 1 (n ∈ N, n ≥ 4). Kí hiệu f(n-1)(x). Nếu f(n-1)(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f(x). Kí hiệu: f(n)(x) hoặc y(n). Viết: f(n)(x) = [f(n-1)(x)]'. 1.3. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp haiXét một vật chuyển động xác định bởi phương trình s = f(t) với f(x) là hàm số có đạo hàm. Khi đó gia tốc tức thời a của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) là a(t) = f''(t). Chú ý: Vận tốc tức thời tại thời điểm t là v(t) = f'(t). 2. Công thức đạo hàm cấp cao, với a > 0 *Công thức Lepnit: Nếu a và b là các hàm khả vi n lần thì: (ab)(n) = Trong đó: là tổ hợp chập k của n phần tử. 3. Cách bấm máy tính đạo hàm cấp caoBài toán: Giả sử đề bài yêu cầu tính đạo hàm cấp 2 của hàm số y = f(x) tại x = xo, ta thực hiện như sau: • Bước 1: Ta tính đạo hàm cấp 1 của hàm số trên: y' • Bước 2: Để tính được f''(xo), ta dùng máy tính cầm tay và bấm: SHIFT → (nhập f'(x) và xo) → ta được kết quả cần tìm Từ đó, ta có thể bấm máy tính các đạo hàm cấp 3, cấp 4,... Ví dụ minh hoạ: Cho hàm số y = sin(2023x), kết quả của y''(0) là? Giải Ta tính: y' = [sin(2023x)]' \= 2023.cos2023x Sử dụng máy tình cầm tay: SHIFT → → ta được kết quả cần tìm là: 0 Vậy y''(0) = 0 *Chú ý: Khi giải bài toán đạo hàm mà hàm số là hàm lượng giác, các bạn cần đổi máy tính về chế độ 4. Các dạng bài tập đạo hàm cấp cao4.1. Dạng toán 1: Tính đạo hàm cấp cao bằng định nghĩa và công thức*Phương pháp giải: Cách 1: Tính đạo hàm cấp cao: Áp dụng trực tiếp định nghĩa: f''(x) = [f'(x)]' f'''(x) = [f''(x)]' f(4)(x) = [f'''(x)]' ... f(n)(x) = [f(n-1)(x)]'
Cách 2: Áp dụng công thức đạo hàm cấp cao ở mục 2. Câu 1: Tính đạo hàm cấp 2 bằng định nghĩa các hàm số dưới đây:
ĐÁP ÁN
y' = 23x22.sinx + x23.cosx y'' = 506x21.sinx + 23x22.cosx + 23x22.cosx - x23.sinx
y' = 2023x2022 - sinx y'' = 4090506x2021 - cosx
y' = 12.(x+10)11 y'' = 132.(x+10)10
y' = y'' = \= \= Câu 2: Cho hàm số y = (5x-4)4 , kết quả của y'''(4) là
ĐÁP ÁN Cách 1: Áp dụng định nghĩa y' = 20.(5x-4)3 y'' = 300.(5x-4)2 y''' = 3000.(5x-4) ⇒ y'''(4) = 3000.(5.4-4) \= 48000 Cách 2: Áp dụng trực tiếp công thức đạo hàm cấp cao ở mục 2, ta làm như sau: y''' = [(5x-4)4 ]''' \= 53.4.3.2.(5x-4) \= 3000.(5x-4) ⇒ y'''(4) = 3000.(5.4-4) \= 48000 Chọn đáp án B. Câu 3: Cho hàm số y = sin2023x, kết quả của y(10) là
ĐÁP ÁN Áp dụng trực tiếp công thức đạo hàm cấp cao ở mục 2, ta được: y(10) = \= \= Chọn đáp án A. Câu 4: Cho hàm số y = 2023x, kết quả của y(5)(0) là:
ĐÁP ÁN Áp dụng trực tiếp công thức đạo hàm cấp cao ở mục 2, ta được: y(5) = (2023x)(5) \= 2023x.ln52023 suy ra: y(5)(0) = 20230.ln52023 \= ln52023 Chọn đáp án D. Câu 5: Cho hàm số y = x20 + cosx, hệ thức nào sau đây đúng?
ĐÁP ÁN y' = 20x19 - sinx y'' = 380x18 - cosx suy ra: y + y'' = x20 + cosx + 380x18 - cosx \= x20 + 380x18 y - y'' = x20 + cosx - 380x18 + cosx \= x20 + 2cosx - 380x18 Chọn đáp án A. 4.2. Dạng toán 2: Các bài toán về ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai*Phương pháp giải: Áp dụng các công thức ở mục 1.3 để giải các bài toán này. Câu 6: Phương trình chuyển động của một chất điểm s(t) = t4 + 5t3 - 19t - 2023 (s tính bằng mét, t tính bằng giây).Gia tốc tức thời tại thời điểm vận tốc bằng 0 có kết quả là?
ĐÁP ÁN Trước ta tìm phương trình vận tốc của chất điểm bằng các đạo hàm phương trình s, ta được: v(t) = s'(t) = 4t3 + 15t2 - 19 v(t) = 0 ⇔ 4t3 + 15t2 - 19 = 0 ⇔ Gia tốc tức thời: a(t) = v'(t) = 12t2 + 30t suy ra a(1) = 12.12 + 30.1 = 42 Chọn đáp án C. Câu 7: Phương trình chuyển động của một chất điểm s(t) = 2t4 + 5t2 - 2023 (s tính bằng mét, t tính bằng giây). Mệnh đề nào là mệnh đề sai? |
