- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \[\left[ C \right]\] của hàm số: \[y = - {x^3} + 3x + 1\]
Phương pháp giải:
- Tìm TXĐ.
- Xét sự biến thiên.
+ Tìm các giới hạn tại vô cực.
+ Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến.
+ Tìm cực trị [nếu có].
+ Lập bảng biến thiên.
- Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết:
* Tập xác định:\[D = \mathbb{R}\],
* Chiều biến thiên:
+] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \]
+] \[y' = - 3{x^2} + 3\]; \[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = - 1}\end{array}} \right.\]
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \[[ - \infty ; - 1],[1; + \infty ]\].
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left[ { - 1;1} \right]\].
Hàm số đạt cực đại tại \[x = 1,{y_{CD}} = 3\]. Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = - 1,{y_{CT}} = - 1\].
Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
+] Có \[y'' = - 6x\]; \[y'' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y = 1\] nên điểm uốn \[U\left[ {0;1} \right]\].
+] Đồ thị cắt trục \[Oy\] tại điểm \[\left[ {0;1} \right]\].
+] Vẽ đồ thị:
LG b
Chỉ ra phép biến hình biến \[\left[ C \right]\] thành đồ thị \[\left[ {C'} \right]\] của hàm số: \[y = {[x + 1]^3} - 3x - 4\]
Phương pháp giải:
Nhận xét dạng hàm số của \[\left[ {C'} \right]\] so với \[\left[ C \right]\], từ đó suy ra phép biến hình cần tìm.
Lời giải chi tiết:
Tịnh tiến \[\left[ C \right]\] song song với trục \[Ox\] sang trái \[1\] đơn vị, ta được đồ thị \[\left[ {{C_1}} \right]\] của hàm số \[y = f[x] = - {[x + 1]^3} + 3[x + 1] + 1\] hay \[f[x] = - {[x + 1]^3} + 3x + 4\] \[\left[ {{C_1}} \right]\].
Lấy đối xứng \[\left[ {{C_1}} \right]\] qua trục \[Ox\], ta được đồ thị \[\left[ {C'} \right]\] của hàm số \[y = g[x] = {[x + 1]^3} - 3x - 4\]
LG c
Dựa vào đồ thị \[\left[ {C'} \right]\], biện luận theo \[m\] số nghiệm của phương trình: \[{[x + 1]^3} = 3x + m\]
Phương pháp giải:
- Biến đổi phương trình về dạng \[{[x + 1]^3} - 3x - 4 = m - 4\].
- Từ đồ thị \[\left[ {C'} \right]\] đã dựng và mối tương quan giữa số nghiệm của phương trình với tương giao đồ thị để biện luận.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[{[x + 1]^3} = 3x + m\]\[ \Leftrightarrow {[x + 1]^3} - 3x - 4 = m - 4\]
Số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đường \[y = g[x] = {[x + 1]^3} - 3x - 4\] \[\left[ {C'} \right]\;\] và\[y = m-4\]\[\left[ {{d_1}} \right]\]
Từ đồ thị, ta suy ra:
+] Nếu \[\left[ \begin{array}{l}m - 4 < - 3\\m - 4 > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 5\end{array} \right.\] thì phương trình đã cho có một nghiệm.
+] Nếu \[\left[ \begin{array}{l}m - 4 = - 3\\m - 4 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 5\end{array} \right.\] phương trình đã cho có hai nghiệm.
+] Nếu\[ - 3 < m - 4 < 1 \Leftrightarrow 1 < m < 5\], phương trình đã cho có ba nghiệm.
LG d
Viết phương trình tiếp tuyến \[\left[ d \right]\] của đồ thị \[\left[ {C'} \right]\], biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng \[y = - \dfrac{x}{9} + 1\]
Phương pháp giải:
- Tìm hệ số góc \[k\] của \[d\], sử dụng tính chất hai đường thẳng vuông góc nếu tích hai hệ số góc bằng \[ - 1\].
- Giải phương trình \[y' = k\] tìm hoành độ tiếp điểm, suy ra tung độ.
- Viết phương trình tiếp tuyến tho công thức \[y = k\left[ {x - {x_0}} \right] + {y_0}\].
Lời giải chi tiết:
Vì \[\left[ d \right]\] vuông góc với đường thẳng \[y = - \dfrac{x}{9} + 1\] nên ta có hệ số góc bằng \[9\].
Ta có: \[g'[x] = 3{[x + 1]^2} - 3\]
\[g'[x] = 9 \Leftrightarrow 3{\left[ {x + 1} \right]^2} - 3 = 9\]\[ \Leftrightarrow {\left[ {x + 1} \right]^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 2\\x + 1 = - 2\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 1\\x = - 3 \Rightarrow y = - 3\end{array} \right.\]
+ Với \[x = 1,y = 1\] ta có tiếp tuyến: \[y = 9\left[ {x - 1} \right] + 1\] hay \[y = 9x - 8\].
+ Với \[x = - 3,y = - 3\] ta có tiếp tuyến: \[y = 9\left[ {x + 3} \right] - 3\] hay \[y = 9x + 24\].
Vậy có hai tiếp tuyến phải tìm là: \[y = 9x - 8\] và \[y = 9x + 24\].