Đề bài
Gọi \[G\] là trọng tâm của tam giác \[ABC\]. Trên tia \[AG\] lấy điểm \[G\] sao cho \[G\] là trung điểm của \[AG\]. [h.27]
a] So sánh các cạnh của tam giác \[BGG\] với các đường trung tuyến của tam giác \[ABC.\]
b] So sánh các đường trung tuyến của tam giác \[BGG\] với các cạnh của tam giác \[ABC.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác.
Lời giải chi tiết
a] So sánh các cạnh của tam giác \[BGG'\] với các đường trung tuyến của tam giác \[ABC.\]
Theo tính chất trọng tâm của tam giác, ta có :
\[BG = \dfrac{2}{3}BE,\] \[CG = \dfrac{2}{3}CF,\] \[AG = \dfrac{2}{3}AD.\]
Mặt khác, do \[G\] là trung điểm của \[AG'\] nên \[GG' = AG = \dfrac{2}{3}AD.\]
Ta còn có \[\Delta BDG' = \Delta CDG\] \[\left[ {c.g.c} \right]\], suy ra \[BG' = CG = \dfrac{2}{3}CF.\]
Tóm lại ta có
\[GG' = \dfrac{2}{3}AD;\] \[BG = \dfrac{2}{3}BE;\] \[BG' = \dfrac{2}{3}CF.\]
b] So sánh các đường trung tuyến \[BD,\,GI,\,G'K\] của tam giác \[BGG'\] với các cạnh của tam giác \[ABC.\] Ta có \[BD = \dfrac{1}{2}BC\] [vì \[D\] là trung điểm của \[BC\]].
Hai tam giác \[AEG\] và \[G'KG\] có \[AG = GG'\] vì \[G\] là trung điểm của \[AG'\], \[GK = GE\] vì cùng bằng \[\dfrac{1}{3}BE\] và \[\widehat {AGE} = \widehat {G'GK}\] [đối đỉnh]. Vậy \[\Delta AEG = \Delta G'KG\], do đó
\[G'K = AE = \dfrac{1}{2}AC\] [vì \[E\] là trung điểm của \[AC\]].
Hai tam giác \[BDG'\] và \[CDG\] bằng nhau theo câu a] nên ta có \[\widehat {G'BD} = \widehat {GCD},\] suy ra \[BG'//CF,\] do đó \[\widehat {FGB} = \widehat {GBI}\] [so le trong]. Hơn nữa, \[BG' = CG\] \[\left[ { = \dfrac{2}{3}CF} \right]\] suy ra \[BI = \dfrac{1}{2}BG' = \dfrac{1}{2}CG = GF\].
Vậy \[\Delta BFG = \Delta GIB\left[ {c.g.c} \right]\], suy ra \[GI = BF = \dfrac{1}{2}AB.\]
Tóm lại \[BD = \dfrac{1}{2}BC;\] \[GI = \dfrac{1}{2}AB;\] \[G'K = \dfrac{1}{2}AC.\]