Trong mạch điện có các điện trở mắc song song thì cường độ dòng điện đi qua mỗi điện trở thì tỉ lệ nghịch với điện trở đó
Ví dụ: R1//R2
vì mạch mắc song song
nên\[\dfrac{I_1}{I_2}=\dfrac{R_2}{R_1}\]
Hoặc có thể như này
công thức tính điện trở tương đương khi có 2 điện trở mắc song song
\[R_{tđ}=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}\]
Thì ta thấy điện trở tương đương đã tỉ lệ nghịch với tổng các điện trở thành phần
Ngoài ra công thức tính điện trở tương đương khi có nhiều điện trở dc mắc song song
\[\dfrac{1}{R_{tđ}}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}+...+\dfrac{1}{R_n}\]
[còn nếu ko đúng thì mình cũng chịu nha. Nhưng bạn học thuộc các công thức mình ghi ra nha. Quan trọng đó!]
Từ nghịch đảo [reciprocal] được sử dụng rộng rãi trong tiếng Anh từ bản in thứ ba của Encyclopædia Britannica [1797] để mô tả hai số có tích bằng 1; thể hiện bằng hình học trong tỷ lệ nghịch được mô tả như reciprocall trong một bản dịch năm 1570 tác phẩm của Euclid, Elements.
Số phức nghịch đảo là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 12 và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi. Trong bài viết này, VUIHOC sẽ giúp các em tổng hợp lý thuyết, công thức số phức nghịch đảo cùng các bài tập vận dụng để từ đó ôn tập thật hiệu quả nhé!
1. Số phức nghịch đảo là gì?
Trước khi tìm hiểu về số phức nghịch đảo, chúng ta hãy cùng ôn lại khái niệm số phức.
- Số phức là biểu thức có dạng $z=a+bi$, trong đó $a,b$ là các số nguyên; $a$ là phần thực, $b$ là phần ảo, $i$ là đơn vị ảo. Quy ước: $i^{2}=-1$.
- Số phức nghịch đảo, hay còn được gọi là nghịch đảo của số phức, ký hiệu z-1 là số phức có dạng sao cho tích của số phức nghịch đảo và số phức có kết quả bằng 1: $z^{-1}.z=1$
2. Lý thuyết số phức nghịch đảo
Chúng ta hoàn toàn có thể chứng minh được:
$z^{-1}=\frac{1}{\left | z \right | {2}} . \bar{z} = \frac{1}{a{2}+b^{2}}[a-bi]$
Suy ra: $z^{-1}=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}[a-bi][a+bi]=\frac{a^{2}-b^{2}i^{2}}{a^{2}+b^{2}}=1$
- Số phức nghịch đảo của $z=a+bi$ là $z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{1}{a+bi}$
- Số nghịch đảo của $z=a+bi [z\neq 0]$ là $z^{-1} = \frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{\left | z \right |^{2}}$
Đăng ký ngay để nhận bí kíp nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán thi THPT Quốc Gia
3. Một số bài tập tìm số phức nghịch đảo và lời giải chi tiết
Bài 1: Tìm số phức nghịch đảo của số phức sau: z=3+4i?
Lời giải:
Số phức nghịch đảo của $z=3+4i$ là:
$z^{-1}=\frac{1}{3+4i}=\frac{3-4i}{3^{2}-[4i]^{2}}=\frac{3-4i}{9+16}=\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i$
Vậy số phức nghịch đảo của số phức $z=3+4i$ là $z^{-1}=\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i$
Bài 2: Số phức nghịch đảo của $z=2-2i$ là:
- $-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i$
- $\frac{1}{4}-\frac{1}{4}i$
- $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i$
- $-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}i$
Lời giải: $z=2-2i \Rightarrow z^{-1}=\frac{1}{2-2i}=\frac{1+i}{2[1-i][1+i]}=\frac{1+i}{2[1-i^{2}]}=\frac{1+i}{2.2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i$
Đáp án cần chọn: C. $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i$
Bài 3: Hãy tìm số nghịch đảo của số phức $z=10+8i$?
Lời giải:
$z=10+8i \Rightarrow z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{1}{10+8i}=\frac{10-8i}{[10-8i][10+8i]}=\frac{10-8i}{10^{2}+8^{2}}=\frac{10-8i}{164}$
$\Rightarrow z^{-1} = \frac{5}{82} - \frac{2}{41}i$
Vậy số phức nghịch đảo của $z=10+8i$ là $z^{-1}=\frac{5}{82}-\frac{2}{41}i$
Bài 4: Đáp án nào dưới đây là số phức nghịch đảo của $z=1+3i$:
- $\frac{1}{10}[1-3i]$
- $1-3i$
- $\frac{1}{\sqrt{10}}[1+3i]$
- $\frac{1}{10}[1+3i]$
Lời giải:
$z=1+3i \Rightarrow \frac{1}{z}=\frac{1}{1+3i}=\frac{1-3i}{1^{2}-[3i]^{2}}=\frac{1-3i}{10}=\frac{1}{10}[1-3i]$
Đáp án cần chọn: A. $\frac{1}{10}[1-3i]$
Bài 5: Số phức nghịch đảo của số phức $z=\sqrt{2}-3i$ là đáp án nào dưới đây:
- $\frac{\sqrt{2}}{11}+\frac{3}{11}i$
- $\frac{\sqrt{2}}{11}-\frac{3}{11}i$
- $\frac{3}{11}+\frac{\sqrt{2}}{11}i$
- $\frac{3}{11}-\frac{\sqrt{2}}{11}i$
Lời giải:
$z=\sqrt{2}-3i \Rightarrow \frac{1}{z}=\frac{1}{\sqrt{2}-3i}=\frac{\sqrt{2}+3i}{2-9i^{2}}=\frac{\sqrt{2}+3i}{11}=\frac{\sqrt{2}}{11}+\frac{3}{11}i$
Đáp án cần chọn: A. $\frac{\sqrt{2}}{11}+\frac{3}{11}i$
4. Hướng dẫn cách giải số phức nghịch đảo bằng máy tính cầm tay Casio
Để tiết kiệm thời gian làm bài, chúng ta có thể giải các bài toán liên quan đến số nghịch đảo của số phức bằng cách sử dụng máy tính cầm tay Casio:
Ví dụ: Tìm số nghịch đảo của số phức sau:
a, $\sqrt{2}-i\sqrt{3}$
b, $\frac{1-i\sqrt{3}}{7+2i}$
c, $5+i\sqrt{3}$
d, $i$
e, $1+2i$
Hướng dẫn:
Thực hiện giải bài toán trên bằng máy tính cầm tay Casio theo các bước sau:
Bước 1: Bấm MODE 2 để chọn chương trình tính toán số phức
Bước 2: Nhập $[\sqrt{2}-i\sqrt{3}]{-1}$ hoặc $\frac{1}{[\sqrt{2}-i\sqrt{3}]{-1}}$, bấm phím = ta được kết quả $\frac{\sqrt{2}}{5}+\frac{\sqrt{3}}{5}i$
Bước 3: Ghi kết quả nhận được
Vậy số phức nghịch đảo của $\sqrt{2}-i\sqrt{3}$ là $\frac{\sqrt{2}}{5}+\frac{\sqrt{3}}{5}i$
b, Thực hiện tương tự ta được kết quả: Số phức nghịch đảo của $\frac{1-i\sqrt{3}}{7+2i}$ là $\frac{7-2\sqrt{3}}{4}+\frac{2+7\sqrt{3}}{4}i.$
c, Thực hiện giải bài toán trên bằng máy tính cầm tay Casio theo các bước sau:
Bước 1: Bấm MODE 2 để chọn chương trình tính toán số phức
Bước 2: Nhập $5+i\sqrt{3}$ hoặc $\frac{1}{5+i\sqrt{3}}$, bấm phím "=" ta được kết quả:
$\frac{5}{28}-\frac{3}{28}i$
Bước 3: Ghi kết quả nhận được
Vậy số phức nghịch đảo của $5+i\sqrt{3}$ là $\frac{5}{28}-\frac{3}{28}i$
- Thực hiện tương tự ta được kết quả: Số phức nghịch đảo của $i$ là $-i.$
- Thực hiện tương tự ta được kết quả: Số phức nghịch đảo của $1+2i$ là $\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$
Để hiểu nhiều hơn về các dạng bài tập số phức đặc biệt là số phức nghịch đảo, các em đừng bỏ qua bài giảng vô cùng hấp dẫn và thú vị sau đây của thầy Thành Đức Trung. Chắc chắn trong bài giảng sẽ có những tips giải bài số phức, phương pháp bấm máy số phức cực hay và bổ ích đó!
PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA
Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:
⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+
⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích
⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô
⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi
⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề
⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập
Đăng ký học thử miễn phí ngay!!
Trên đây là tổng hợp khái niệm, định lý số phức nghịch đảo cùng các bài tập và hướng dẫn giải chi tiết. Hy vọng các em đã có được nguồn tham khảo bổ ích và có thể áp dụng để làm các bài kiểm tra. Hãy truy cập Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản để học thêm nhiều dạng bài tập và ôn thi THPT Quốc Gia nhé!
Hai số nghịch đảo nhau khi nào?
Số nghịch đảo. Hai số được gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng 1. Hai số được gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng 1. Từ đó suy ra chỉ có những số khác 0 thì mới có số nghịch đảo.
Nghịch đảo của một số là gì?
Trong toán học, nghịch đảo phép cộng của một số a là số mà khi cộng với a cho kết quả 0. Số này cũng được gọi là số đối, số đảo dấu. Đối với số thực, nó đảo dấu của số: số đối của một số dương là số âm, và số đối của một số âm là số dương. Số 0 là nghịch đảo phép cộng của chính nó.