1 cosx có nguyên hàm trên khoảng nào

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết.

Nâng cấp VIP

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết.

Nâng cấp VIP

Nguyên hàm lượng giác là kiến thức vô cùng quan trọng trong chương trình toán cấp 3. Các công thức nguyên hàm lượng giác có nhiều mức độ, từ hàm sơ cấp cho đến các công thức hàm hợp, theo đó là rất nhiều dạng bài tập khác nhau. Marathon Education sẽ tổng hợp các công thức lượng giác cơ bản, công thức nguyên hàm lượng giác và các dạng bài tập vận dụng liên quan qua bài viết sau.

\>>> Xem thêm: Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết Và Một Số Bài Tập Ví Dụ

Các công thức lượng giác cần nhớ

\begin{aligned} &\small\text{1. Hằng đẳng thức lượng giác:}\ & \ \ \ \ \bull sin^2x+cos^2x=1\ & \ \ \ \ \bull \frac{1}{sin^2x}=1+cot^2x\ & \ \ \ \ \bull \frac{1}{cos^2x}=1+tan^2x\ &\small\text{2. Công thức cộng:}\ & \ \ \ \ \ \bull sin(a\pm b)=sina.cosb\pm sinb.cosa\ & \ \ \ \ \ \bull cos(a\pm b)=cosa.cosb\mp sina.cosb\ & \ \ \ \ \ \bull tan(a\pm b)=\frac{tana \pm tanb}{1\mp tana.tanb}\ &\small\text{3. Công thức nhân đôi:}\ & \ \ \ \ \ \bull sin2a=2sina.cosa\ & \ \ \ \ \ \bull cos2a=cos^2a-sin^2a=2cos^2a-1=1-2sin^2a\ &\small\text{4. Công thức nhân ba:}\ & \ \ \ \ \ \bull sin3a=3sina-4sin^3a\ & \ \ \ \ \ \bull cos3a=4cos^3a-3cosa\ &\small\text{5. Công thức hạ bậc:}\ & \ \ \ \ \ \bull sin^2a=\frac{1-cos2a}{2}\ & \ \ \ \ \ \bull cos^2a=\frac{1+cos2a}{2}\ &\small\text{6.Công thức biến đổi tích thành tổng:}\ & \ \ \ \ \ \bull cosa.cosb=\frac{1}{2}[cos(a-b)+cos(a+b)]\ & \ \ \ \ \ \bull sina.sinb=\frac{1}{2}[cos(a-b)-cos(a+b)]\ & \ \ \ \ \ \bull sina.cosb=\frac{1}{2}[sin(a-b)+sin(a+b)]\ \end{aligned}

\>>> Xem thêm: Hàm Số Lượng Giác – Lý Thuyết Và Các Công Thức

Bảng công thức nguyên hàm lượng giác cơ bản

Bảng công thức nguyên hàm lượng giác hàm số hợp

Bảng công thức nguyên hàm lượng giác hàm số hợp u = u(x)

Bảng công thức nguyên hàm lượng giác hàm số hợp u = ax + b

\>>> Xem thêm: Bảng Nguyên Hàm Và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết

6 dạng nguyên hàm lượng giác thường gặp và phương pháp giải

Các bài toán tìm nguyên hàm lượng giác rất đa dạng và phức tạp. Mỗi dạng sẽ có cách biến đổi và hướng giải khác nhau. Vì vậy, Marathon Education đã tổng hợp 6 dạng toán thường gặp nhất và phương pháp giải của từng dạng để giúp các em nắm vững các bài toán dạng này.

Dạng 1

I=\int\frac{dx}{sin(x+a)(sin(x+b)}

• Phương pháp giải:

\begin{aligned} &\text{Dùng đồng nhất thức:}\ &1=\frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}=\frac{sin[(x+a)-(x+b)}{sin(a-b)}=\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(a-b)}\ &\text{Từ đó suy ra:}\ &I=\frac{1}{sin(a-b)}\int\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(x+a)sin(x+b)}dx\ &\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}\int \left[ \frac{cos(x+b)}{sin(x+b)}-\frac{cos(x+a)}{sin(x+a)} \right]dx\ &\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}[ln|sin(x+b)|-ln|sin(x+a)|]+C \end{aligned}

Lưu ý

Với các này, ta có thể tìm được các nguyên hàm:

\begin{aligned} &\bull J=\int\frac{dx}{cos(x+a)cos(x+b)} \text{ bằng các dùng đồng nhất thức }1=\frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}.\ &\bull K=\int\frac{dx}{sin(x+a)cos(x+b)} \text{ bằng các dùng đồng nhất thức }1=\frac{cos(a-b)}{cos(a-b)}.\ \end{aligned}

• Ví dụ:

Tính nguyên hàm sau đây:

I=\int \frac{dx}{sinx.sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}

• Bài giải:

\begin{aligned} &\text{Ta có:}\ &1=\frac{sin\frac{\pi}{6}}{sin\frac{\pi}{6}}=\frac{sin\left[\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-x\right]}{\frac{1}{2}}=2\left[sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)cosx-cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)sinx \right]\ &\text{Từ đó:}\ &I=2\int\frac{\left[sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)cosx-cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)sinx \right]}{sinx.sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}dx\ &\ \ =2\int \left[\frac{cosx}{sinx}-\frac{\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)} \right]dx\ &\ \ =2\int\frac{d(sinx)}{sinx}-2\int\frac{d\left[sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right]}{sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}\ &\ \ =2ln\left|\frac{sinx}{sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)} \right|+C \end{aligned}

Dạng 2

I=\int tan(x+a)tan(x+b)dx

• Phương pháp giải:

\begin{aligned} &\text{Ta có:}\ & tan(x+a)tan(x+b)\ &=\frac{sin(x+a)sin(x+b)}{cos(x+a)cos(x+b)}\ &=\frac{sin(x+a)sin(x+b)+cos(x+a)cos(x+b)}{cos(x+a)cos(x+b)}-1\ &=\frac{cos(a-b)}{ cos(x+a)cos(x+b)}-1\ &\text{Từ đó:}\ &I=cos(a-b)\int\frac{dx}{cos(x+a)cos(x+b)}-1\ &\text{Đến đây, ta gặp bài toán tìm nguyên hàm lượng giác ở \textbf{Dạng 1}.} \end{aligned}

Lưu ý

Với các này, ta có thể tính được các nguyên hàm:

\begin{aligned} &\bull J=\int cot(x+a)cot(x+b)dx\ &\bull K=\int tan(x+a)tan(x+b)dx \end{aligned}

• Ví dụ:

Tính nguyên hàm sau đây:

K=\int tan\left(x+\frac{\pi}{3}\right)cot\left(x+\frac{\pi}{6}\right)dx

• Bài giải:

I=\int\frac{dx}{sin(x+a)(sin(x+b)}

0

Dạng 3

I=\int\frac{dx}{sin(x+a)(sin(x+b)}

1

• Phương pháp giải:

I=\int\frac{dx}{sin(x+a)(sin(x+b)}

2

• Ví dụ:

Tính nguyên hàm sau:

I=\int\frac{dx}{sin(x+a)(sin(x+b)}

3

• Bài giải:

I=\int\frac{dx}{sin(x+a)(sin(x+b)}

4

Dạng 4

I=\int\frac{dx}{sin(x+a)(sin(x+b)}

1

• Phương pháp giải:

I=\int\frac{dx}{sin(x+a)(sin(x+b)}

6

• Ví dụ:

Tính nguyên hàm sau đây:

I=\int\frac{dx}{sin(x+a)(sin(x+b)}

7

• Bài giải:

I=\int\frac{dx}{sin(x+a)(sin(x+b)}

8

Dạng 5

I=\int\frac{dx}{sin(x+a)(sin(x+b)}

9

• Phương pháp giải:

\begin{aligned} &\text{Dùng đồng nhất thức:}\ &1=\frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}=\frac{sin[(x+a)-(x+b)}{sin(a-b)}=\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(a-b)}\ &\text{Từ đó suy ra:}\ &I=\frac{1}{sin(a-b)}\int\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(x+a)sin(x+b)}dx\ &\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}\int \left[ \frac{cos(x+b)}{sin(x+b)}-\frac{cos(x+a)}{sin(x+a)} \right]dx\ &\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}[ln|sin(x+b)|-ln|sin(x+a)|]+C \end{aligned}

0

• Ví dụ:

Tính nguyên hàm dưới đây:

\begin{aligned} &\text{Dùng đồng nhất thức:}\ &1=\frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}=\frac{sin[(x+a)-(x+b)}{sin(a-b)}=\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(a-b)}\ &\text{Từ đó suy ra:}\ &I=\frac{1}{sin(a-b)}\int\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(x+a)sin(x+b)}dx\ &\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}\int \left[ \frac{cos(x+b)}{sin(x+b)}-\frac{cos(x+a)}{sin(x+a)} \right]dx\ &\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}[ln|sin(x+b)|-ln|sin(x+a)|]+C \end{aligned}

1

• Bài giải:

\begin{aligned} &\text{Dùng đồng nhất thức:}\ &1=\frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}=\frac{sin[(x+a)-(x+b)}{sin(a-b)}=\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(a-b)}\ &\text{Từ đó suy ra:}\ &I=\frac{1}{sin(a-b)}\int\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(x+a)sin(x+b)}dx\ &\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}\int \left[ \frac{cos(x+b)}{sin(x+b)}-\frac{cos(x+a)}{sin(x+a)} \right]dx\ &\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}[ln|sin(x+b)|-ln|sin(x+a)|]+C \end{aligned}

2

Dạng 6

\begin{aligned} &\text{Dùng đồng nhất thức:}\ &1=\frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}=\frac{sin[(x+a)-(x+b)}{sin(a-b)}=\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(a-b)}\ &\text{Từ đó suy ra:}\ &I=\frac{1}{sin(a-b)}\int\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(x+a)sin(x+b)}dx\ &\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}\int \left[ \frac{cos(x+b)}{sin(x+b)}-\frac{cos(x+a)}{sin(x+a)} \right]dx\ &\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}[ln|sin(x+b)|-ln|sin(x+a)|]+C \end{aligned}

3

• Phương pháp giải:

\begin{aligned} &\text{Dùng đồng nhất thức:}\ &1=\frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}=\frac{sin[(x+a)-(x+b)}{sin(a-b)}=\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(a-b)}\ &\text{Từ đó suy ra:}\ &I=\frac{1}{sin(a-b)}\int\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(x+a)sin(x+b)}dx\ &\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}\int \left[ \frac{cos(x+b)}{sin(x+b)}-\frac{cos(x+a)}{sin(x+a)} \right]dx\ &\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}[ln|sin(x+b)|-ln|sin(x+a)|]+C \end{aligned}

4

• Ví dụ:

Tính nguyên hàm sau:

\begin{aligned} &\text{Dùng đồng nhất thức:}\ &1=\frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}=\frac{sin[(x+a)-(x+b)}{sin(a-b)}=\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(a-b)}\ &\text{Từ đó suy ra:}\ &I=\frac{1}{sin(a-b)}\int\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(x+a)sin(x+b)}dx\ &\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}\int \left[ \frac{cos(x+b)}{sin(x+b)}-\frac{cos(x+a)}{sin(x+a)} \right]dx\ &\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}[ln|sin(x+b)|-ln|sin(x+a)|]+C \end{aligned}

5

• Bài giải:

\begin{aligned} &\text{Dùng đồng nhất thức:}\ &1=\frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}=\frac{sin[(x+a)-(x+b)}{sin(a-b)}=\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(a-b)}\ &\text{Từ đó suy ra:}\ &I=\frac{1}{sin(a-b)}\int\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(x+a)sin(x+b)}dx\ &\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}\int \left[ \frac{cos(x+b)}{sin(x+b)}-\frac{cos(x+a)}{sin(x+a)} \right]dx\ &\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}[ln|sin(x+b)|-ln|sin(x+a)|]+C \end{aligned}

6

Bài tập nguyên hàm lượng giác

1. Tính nguyên hàm sau

\begin{aligned} &\text{Dùng đồng nhất thức:}\ &1=\frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}=\frac{sin[(x+a)-(x+b)}{sin(a-b)}=\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(a-b)}\ &\text{Từ đó suy ra:}\ &I=\frac{1}{sin(a-b)}\int\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(x+a)sin(x+b)}dx\ &\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}\int \left[ \frac{cos(x+b)}{sin(x+b)}-\frac{cos(x+a)}{sin(x+a)} \right]dx\ &\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}[ln|sin(x+b)|-ln|sin(x+a)|]+C \end{aligned}

7

\begin{aligned} &\text{Dùng đồng nhất thức:}\ &1=\frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}=\frac{sin[(x+a)-(x+b)}{sin(a-b)}=\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(a-b)}\ &\text{Từ đó suy ra:}\ &I=\frac{1}{sin(a-b)}\int\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(x+a)sin(x+b)}dx\ &\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}\int \left[ \frac{cos(x+b)}{sin(x+b)}-\frac{cos(x+a)}{sin(x+a)} \right]dx\ &\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}[ln|sin(x+b)|-ln|sin(x+a)|]+C \end{aligned}

8

2. Tính nguyên hàm

\begin{aligned} &\text{Dùng đồng nhất thức:}\ &1=\frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}=\frac{sin[(x+a)-(x+b)}{sin(a-b)}=\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(a-b)}\ &\text{Từ đó suy ra:}\ &I=\frac{1}{sin(a-b)}\int\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(x+a)sin(x+b)}dx\ &\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}\int \left[ \frac{cos(x+b)}{sin(x+b)}-\frac{cos(x+a)}{sin(x+a)} \right]dx\ &\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}[ln|sin(x+b)|-ln|sin(x+a)|]+C \end{aligned}

9

\begin{aligned} &\bull J=\int\frac{dx}{cos(x+a)cos(x+b)} \text{ bằng các dùng đồng nhất thức }1=\frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}.\ &\bull K=\int\frac{dx}{sin(x+a)cos(x+b)} \text{ bằng các dùng đồng nhất thức }1=\frac{cos(a-b)}{cos(a-b)}.\ \end{aligned}

0

3. Tính nguyên hàm D

\begin{aligned} &\bull J=\int\frac{dx}{cos(x+a)cos(x+b)} \text{ bằng các dùng đồng nhất thức }1=\frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}.\ &\bull K=\int\frac{dx}{sin(x+a)cos(x+b)} \text{ bằng các dùng đồng nhất thức }1=\frac{cos(a-b)}{cos(a-b)}.\ \end{aligned}

1

\begin{aligned} &\bull J=\int\frac{dx}{cos(x+a)cos(x+b)} \text{ bằng các dùng đồng nhất thức }1=\frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}.\ &\bull K=\int\frac{dx}{sin(x+a)cos(x+b)} \text{ bằng các dùng đồng nhất thức }1=\frac{cos(a-b)}{cos(a-b)}.\ \end{aligned}

2

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

Trên đây là những công thức nguyên hàm lượng giác và các dạng toán thường gặp. Các em có thể lưu về để có thể hoàn thành bài tập về chủ đề này nhanh chóng và hiệu quả hơn.

Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học online nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!