Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 dạng chính tắc

Một trong những dạng cơ bản của phương trình vi phân thường là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, bài viết này sẽ giải quyết bài toán về phương trình vi phân tuyến tính này. Đây là một môn học mình bị ác cảm chính vì thế nên mình mặc định là không hiểu nổi gì, nhiều khi nghĩ lại thấy hiểu một vấn đề hay không còn phụ thuộc vào niềm tin. Nhưng không sao, đâu cũng vào đó kakaka. OK Let's go!

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình vi phân có dạng: $y'+p[x]y=q[x]$

Trước khi xử lý thằng này thì ta sẽ xử lý thằng đệ của nó, là một trường hợp đặc biệt khi $q[x]=0$ mà người ta gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất. [Mẹo: cứ thêm chữ thuần nhất là vế phải bằng 0]

Dạng. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất có dạng: $$y'+p[x]y=0 \quad [1]$$

Phương pháp giải.

Cách 1. Biến phân ly [Tách biến]

Nếu để ý một chút thì $[1]$ là phương trình vi phân tách biến [hay biến phân ly]. Cách làm đối với phương pháp này là tách mỗi biến về mỗi vế của phương trình.

Ta biến đổi một chút

$$\begin{aligned}[1]&\Leftrightarrow\ y'=-p[x]y\\&\Leftrightarrow \dfrac{dy}{dx}=-p[x]y\\ &\Leftrightarrow \dfrac{dy}{y}=-p[x]dx \end{aligned}$$

Tới đây ta lấy tích phân hai vế lên:

$$\begin{aligned}&\int\dfrac{dy}{y}=\int-p[x]dx+C_1\\ &\Leftrightarrow \ln|y|=\int-p[x]dx +C_1 \\ &\Leftrightarrow y=e^{\int-p[x]dx+C_1}\\ &\Leftrightarrow y=e^{C_1}e^{\int-p[x]dx}\\ &\Leftrightarrow y=Ce^{\int-p[x]dx} \quad [C=e^{C_1}=const]\end{aligned}$$

Lưu ý một chút là việc lựa chọn hằng số như thế nào không quan trọng, thông thường ta sẽ chọn sao cho gọn nhất, như trên $e^{C_1}$ là một hằng số phụ thuộc $C_1$, ta có thể đặt $C=e^{C_1}$ mà không sợ ảnh hưởng kết quả.

Tới đây ta rút ra được công thức nghiệm tổng quát của $[1]$ là:

$$\boxed{y=Ce^{\int-p[x]dx}} \quad [2]$$

Hãy nhớ công thức trên để có thể làm dạng toán này một cách dễ dàng. Ta đi qua một ví dụ.

Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: $$y'-\dfrac{2x}{1+x^2}y=0$$

Giải.

Giải trực tiếp

$$\begin{aligned} &y'-\dfrac{2x}{1+x^2}y=0\\ \Leftrightarrow & \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x}{1+x^2}y\\ \Leftrightarrow & \dfrac{dy}{y}=\dfrac{2xdx}{1+x^2}\\ \Leftrightarrow &\int\dfrac{dy}{y}=\int\dfrac{2xdx}{1+x^2}+C_1\\ \Leftrightarrow &\int\dfrac{dy}{y}=\int\dfrac{d[1+x^2]}{1+x^2}+C_1\\ \Leftrightarrow &\ln|y|=\ln[1+x^2]+C_1\\ \Leftrightarrow &y=e^{C_1}[1+x^2]\\ \Leftrightarrow &y=C[1+x^2] \quad [C=e^{C_1}] \end{aligned}$$

Nếu áp dụng ngay công thức $[2]$ thì sẽ tiết kiệm được thời gian hơn. Với ví dụ trên thì $p[x]=-\dfrac{2x}{1+x^2}$. Khi đó:

$$\begin{aligned} y&=Ce^{\int-p[x]dx}\\ y&=Ce^{\int\frac{2x}{1+x^2}dx}\\ y&=Ce^{\int\frac{d[1+x^2]}{1+x^2}}\\ y&=Ce^{\ln[1+x^2]}\\ y&=C[1+x^2] \end{aligned}$$

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: $y=C[1+x^2]$

Cách 2. Thừa số tích phân

Ý tưởng phương pháp này là sẽ đưa vế trái của $[1]$ về dạng vi phân toàn phần của một hàm nào đó tức là có dạng $u'=0$. Khi ấy chỉ cần lấy tích phân hai vế nữa là xong. Tuy nhiên không phải lúc nào vế trái cũng là vi phân toàn phần của một hàm nào đó, muốn có vậy ta phải thêm bớt một đại lượng mà ở đây người ta gọi là thừa số tích phân.

Đối với phương pháp này chỉ cần nhớ mỗi cái thằng đệ $e^{\int p[x]dx}$. Thế là xong! Ở đây đang xét trong thuần nhất [tức $q[x]=0$], sau không thuần nhất [$q[x]\ne 0$] thì với thằng $e^{\int p[x]dx}$ cũng giải vô tư. Còn các cách khác để mình biết thêm, chứ chỉ cần nhớ mỗi thằng $e^{\int p[x]dx}$ là đủ xử tử dạng phương trình vi phân tuyến tính cấp một rồi.

Ta nhân hai vế của $[1]$ với thằng đệ nhắc đến ở trên $e^{\int p[x]dx}$ ta được:

$$\begin{aligned} &y'+p[x]y=0\\ &y'e^{\int p[x]dx}+p[x]ye^{\int p[x]dx}=0\\ \end{aligned}$$

Khi đó vế trái là vi toàn phần của một hàm, tức là vế trái có thể viết lại dưới dạng $[ye^{\int p[x]dx}]'$. Xem $y$ là hàm theo $x$. Nếu tính $[ye^{\int p[x]dx}]'$ cụ thể sẽ ra ta sẽ được vế trái.

Như vậy ta sẽ có là:

$$\begin{aligned} &[ye^{\int p[x]dx}]'=0\\ &ye^{\int p[x]dx}=C\\ &y=Ce^{\int -p[x]dx} \end{aligned}$$

Cuối cùng ta cũng dẫn đến công thức $[2]$.

Tới đây có thể các bạn thắc mắc ủa tại sao phải nhân cho thằng đệ $e^{\int p[x]dx}$ mà không nhân cho thằng khác, rồi làm sao biết thằng đệ này ở đâu ra mà tin dùng nó? Có một phần lý thuyết nói về phương pháp sử dụng thừa số tích phân này và cách tìm thừa số tích phân như thế nào. Các bạn có thể tỉm thêm trong sách, đối với dạng tuyến tính này thì thừa số tích phân luôn là $e^{\int p[x]dx}$, nên cứ rơi vào tuyến tính thì gọi thằng đệ vào chắc chắn sẽ giải quyết được vấn đề. Mình thì hay quên công thức, nên cứ quên thì thay thằng đệ này vào nháp nháp là nhớ lại ngay.

Thử ví dụ trên cho cách này.

Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: $$y'-\dfrac{2x}{1+x^2}y=0$$

Giải.

Với đề trên thì $p[x]=-\dfrac{2x}{1+x^2}$

Đầu tiên ta phải tìm thừa số tích phân là thằng đệ $e^{\int p[x]dx}$

$$\begin{aligned}&e^{\int p[x]dx}=e^{\int -\frac{2x}{1+x^2}dx}\\=&e^{-\int\frac{d[1+x^2]}{1+x^2}}=e^{-\ln[1+x^2]}\\=&e^{\ln[1+x^2]^{-1}}=\frac{1}{1+x^2}\end{aligned}$$

Giờ ta chỉ cần nhân vào hai vế với $\dfrac{1}{1+x^2}$

$$\begin{aligned}&y'\times\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{2x}{1+x^2}y\times\dfrac{1}{1+x^2}=0\\\Leftrightarrow &\dfrac{1}{1+x^2}y'-\dfrac{2x}{[1+x^2]^2}y=0\\\Leftrightarrow &\bigg[ \dfrac{y}{1+x^2}\bigg]'=0\\\Leftrightarrow &\ \dfrac{y}{1+x^2}=C\\\Leftrightarrow &\ y=C[1+x^2]\end{aligned}$$

Tóm lại: Đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất, ta có thể giải rất bình thường bằng cách đưa về phương trình vi phân tách biến [biến phân ly], ta cũng có thể giải quyết bằng cách sử dụng phương pháp thừa số tích phân, lúc đó thì chỉ nhớ tới thằng đệ $e^{\int p[x]dx}$.

Qua phần này thì hãy nhớ dạng phương trình vi phân $y'+p[x]y=0$ thì có nghiệm tổng quát là $y=Ce^{\int -p[x]dx}$

Trước khi xử lý thằng phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất [ở phần thứ 2] thì hãy cùng làm vài bài tập nhỏ để quen với dạng vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.

Bài tập

Sau đây là một số bài tập về phương trình tuyến tính cấp 1 có lời giải

Bài tập 1: Tìm tích phân tổng quát [hay nghiệm tổng quát] của phương trình sau:

$$y'+\dfrac{4x}{4+x^2}y=0$$

Bài tập 2: Tìm tích phân tổng quát [hay nghiệm tổng quát] của phương trình sau:

$$y'-xy=0$$

Hãy để lại cảm nhận hay bổ sung thêm cho bài viết dưới phần comment nhé!

Chương 3Phương trình vi phânNội dungI. Khái niệmII. Phương trình vi phân cấp 11. Giới thiệu về phương trình vi phân cấp 12. Phương trình biến số phân ly3. Phương trình dẳng cấp cấp 14. Phương trình tuyến tính cấp 15. Phương trình vi phân cấp 1 BernoulliIII.Phương trình vi phân cấp 21. Giới thiệu về phương trình vi phân cấp 22. Một số phương trình giảm cấp được3. Phương trình tuyến tính cấp 24. Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằngI. Khái niệm- Định nghĩa: PTVP là đẳng thức liên hệ giữa biến độc lập, hàmchưa biết của biến độc lập và các đạo hàm [ hoặc vi phân] củahàm số đó.- Cấp của PTVP là cấp cao nhất của đạo hàm hoặc vi phân củahàm số có mặt trong phương trình ấy- Dạng tổng quát: F[ x;y;y’;y’’,…; ] = 0- Nghiệm của PTVP [ cấp n] là mọi hàm số khả vi đến cấp n màkhi thay vào phương trình đó ta được một đồng nhận thứcII. Phương trình vi phân cấp I1. Giới thiệu về PTVP cấp 1- Các dạng biểu diễn+ Dạng tổng quát: F[x;y;y’] = 0+ Dạng giải được theo đạo hàm: y’ = = f[x,y]+ Dạng đối xứng: M[x,y]dx + N[x,y]dy = 0- Các dạng nghiệm của PTVP cấp 1+ Tổng quát: y = [x,C]+ Nghiệm riêng: y = [x,]+ Tích phân tổng quát: [x,y, C] = 0+ Tích phân riêng: [x,y,] = 02.Phương trình biến số phân li.a]Dạng phương trình:f[x] dx = g[y] dyCác phương trình sau đều có thể đưa về được phương trình có biến phân li:y’=f[x].g[y]hoặcM[x].P[y]dx + N[x].Q[y]dy = 0b]Phương pháp giải.Lấy tích phân 2 vế:∫ f[x] dx = ∫ g[y] dy F[x] = G[y] + C F[x] – G[y] + C = 03. Phương trình đẳng cấp cấp mộtDạng phương trình:Cách giải:]Xét phương trình ]Đặt y = u.x, ta có thay vào phương trình, ta được:u + x. hay x.Nếu [u] – u ≠ 0 thì ta có ln x=CNếu [u] – u 0 thì [u] = u  [ . Khi đó phương trình có dạng. Nghiệm là y = CxNếu tồn tại sao cho thì bằng cách thử trực tiếp ta thấy hàmy = là nghiệm của phương trình đã cho.*] Trường hợp đưa được về phương trình đẳng cấp:- Hàm f[x,y] được gọi là đẳng cấp bậc m nếu với mọi số t ta có:f[tx,ty] = .f[x,y]- Dạng phương trình:M[x,y] dx + N[x,y] dy = 0Phương pháp giải:Đặt: y = ux [ với x≠0 ]Ta có: dy = udx + xdu hayDạng phương trình:Phương pháp giải:TH1: Nếu đặt PT đẳng cấpTH2: Nếu thì PT đã cho có dạngđặt z = ax + by .Đưa về phương trình có vế phải không chứa biến xPhương trình tuyến tính cấp 1.- Dạng phương trình:y’ + p[x].y = q[x][1][P[x], q[x]: là các hàm liên tục]Nếu q[x] = 0 thì phương trình được gọi là thuần nhất.- Phương pháp giải: biến thiên hằng số.PTTN: y’ + p[x].y = 0[1’]+ Bước 1: giải PTTN có nghiệm tổng quát: C. [C[*]+ Bước 2: biến thiên hằng số: ở [*] coi C là hàm của x: C = C[x]Khi đó: y = C[x].  y’ = C[x]’ -C.+ Thay vào phương trình [1] ta được:C[x]’ - C. + p[x].. = q[x] C[x]’ = q[x].  C[x] = dx + D+ Thay C[x] vào nghiệm tổng quát của PTTN. Suy ra NTQ của PT [1] là:y = dx + D]. [D là hằng số]5] Phương trình vi phân cấp 1 Bernoulli.- Dạng phương trình: y’ + p[x].y = q[x].[1]- Phương pháp giải:+Nếu = 0 thì [1] là PT tuyến tính cấp 1+Nếu = 1 thì [1] là PTPL+Nếu < 0 chia 2 vế của PT[1] cho [với y ≠ 0]Ta có: . � ′ + �[�]. = q[x][2]Đặ�: z=  z’= [1- ]. .y’ thay vào [2] ta có:+ p[x].z = q[x]  z’ + [1-]p[x]z = [1-].q[x] [3]+Nếu 0 < ≠ 1 thì ngoài nghiệm như ở [3] còn thêm nghiệm y = 0III. Phương trình vi phân cấp 2- Các khái niệm cơ bảnPhương trình vi phân cấp hai dạng tổng quát:F[x,y,y',y''] = 0Dạng giải được đối với đạo hàm bậc hai [dạng chính tắc]:y'' = ƒ[x,y,y']- Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm:Xét phương trình: y'' = ƒ[x,y,y']. Nếu hàm ƒ[x,y,y'] liên tục trongmiền mở D nào đó chứa điểm x0, y0, y'0 thì tồn tại nghiệm y = y[x]của phương trình sao cho y[x0] = y'0. Nếu ƒ' y[x,y], ƒ' y'[x,y] cũngliên tục trên D thì nghiệm nói trên là duy nhất.Phương pháp giải:- Nếu đưa được một PTVP cấp hai về đẳng thức tương đương dạngy = φ[x,,] trong đó , là các hằng số tự do thì đẳng thức này gọi làNTQ của PTVP đó.- Từ NTQ, thay một bộ các giá trị cụ thể =, =ta được một hàm số xác định là y = φ[x,,] , Hàm này được gọi làmột nghiệm riêng- Nếu đưa được một PTVP cấp hai về đẳng thức tương đương dạnghàm ẩn φ[x, y, ] = 0 thì đẳng thức này được gọi là tích phân tổngquát.- Nếu thay , bằng các giá trị cụ thể vào tích phân tổng quát thì đẳngthức φ[x, y, , ] = 0 gọi là tích phân riêng•Một số trường hợp giảm cấp được:Xét phương trình vi phân cấp 2 dạng chính tắc:y'' = ƒ[x,y,y']Trong trường hợp khuyết y,y', khuyết y hay khuyết x ta có thể đưaphương trình cấp 2 về phương trình cấp 1 [ thường bằng cách đổibiến]Ta xét từng trường hợp một:•Trường hợp vế phải không phụ thuộc y,y'Phương trình có dạng:y" = ƒ[x]Cách giải: lấy tích phân 2 lần liên tiếpy" = ʃƒ[x]dx + C1 f [ x]dx  C  dx + C12• Trường hợp vế phải không phụ thuộc yPhương trình có dạng:y" = ƒ[x,y’]Cách giải:Đặt y' = p[x], ta có y" = p'. Khi đó phương trình về dạng p' = ƒ[x,p].Giả sử NTQ của phương trình này là p= φ [x,C1 ].Khi đó ta cóy' = φ[x,C1].Giải tiếp ta được nghiệm: y = ʃφ[x, C1]dx + C2•Trường hợp vế phải không chứa xPhương trình có dạng: y" = ƒ[y,y']Cách giải:- Đầu tiên ta kiểm tra trường hợp y = 0, trường hợp còn lại đặt y' = p[y], khi đódp [ y ] dp dydpy" = dx  dy dx  p dydpThay vào phương trình ta có: p= ƒ[y,p]. Đây là một phương trình vi phân cấp 1 với biếndyy, hàm p.Giả sử ph5ương trình này có nghiệm là p = φ[y,C1] giải tiếp phương trìnhdydydx= φ[y,C1]Ta được:dx [ y, C1 ]Từ đây ta có:dy [ y, C ] x  C21•Phương trình tuyến tính cấp 2Phương trình có dạng:y  p[x]y q[x]y ƒ[x]•Nếu ƒ[x] ≠ 0 thì phương trình gọi là không thuần nhất•Nếu ƒ[x]0 thì phương trình gọi là thuần nhất•Nếu p,q không phụ thuộc vào x thì nói phương trình có hệ số hằng.Ngược lại, nói phương trình có hệ số biến thiên.Tính chất:•Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất: y  p[x]y q[x]y ƒ[x]Bằng tổng của nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhấty  p[x]y q[x]y  0Với một nghiệm riêng nào đó của phương trình không thuần nhất.• [Nguyên lý chồng chất nghiệm] Nếu y1 là nghiệm riêng của PTƒ1[x]y  p[x]y q[x]y Vậy y2 là nghiệm riêngƒ2[x]y q[x]y của PT Thì yy=yp[x]+ y là nghiệm riêng của12phương trình y  p[x]y q[x]y  ƒ1[x]+ ƒ2[x]• Nếu y1[x] và y2[x] là nghiệm của PTTN thì với mọik, h  ℝ, y[ x ] hy1 [ x ]  ky2 [ x ] cũng là nghiệm của PTTN.• Nếu y1[x] và y2[x] là 2 nghiệm ĐLTT [không tỷ lệ] của phương trình thầnnhất thì NTQ của PTTN sẽ là:y[ x ] C1 y1 [ x ]  C 2 y 2 [ x ]IV] Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằnga] PTVP tuyến tính cấp 2 hệ số hằng là phương trình có dạng:Xétphương trình:y py qy  ƒ[x][1]Phương trình liên kết với [1]:y py qy 0 [2]PTĐTk 2  pk  q 0[3]b] ĐL về nghiệmĐL 1: Nếu y1[x], y2[x] là các nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình thuầnnhất [2] thì nghiệm tổng quát của [2] là:y[x] C1 y1 [x]  C 2 y 2 [x]ĐL 2: NTQ của phương trình [1] bằng tổng của NTQ của PT [2] và 1 nghiệm riêngcủa PT [1]y[ x ] y[ x ]  yˆ [ x ]ĐL 3: Nếu yˆ 1 [ x ], yˆ 2 [ x ] lần lượt là các nghiệm riêng của các phương trình:y py qy f1 [x]vày py qy f 2 [x]Thì yˆ1 [x]  yˆ 2 [x] là ghiệm riêng của phương trìnhy py qy f1 [x]  f 2 [x]c] Nghiệm của PTTNy py qy 0 [2]Xét PTĐTk 2  pk  q 0 [3]- Nếu PT [3] có 2 nghiệm thực phân biệt k1, k2 thì nghiệm tổng quát của PTTN [2] là:y[x] C1ek1x C 2ek 2x- Nếu PT [3] có 2 nghiệm kép k1 = k2 = k thì NTQ của PTTN [2] lày[x] C1e kx  C 2 xe kx- Nếu PT [3] có 2 nghiệm phức liên hợp k1,2 =  i thì NTQ của [2] lày[ x ] e x [C1 cosx  C 2 sin  x ]d] Nghiệm riêng của PTVP tuyến tính không thuần nhấtTrường hợp 1:x P [ x ]eƒ[x] =nTrong đó: Pn [x ] là đa thức bậc n của x còn α là hằng số thực,n   ta sẽ dùngˆ để chỉ nghiệm riêng.ký hiệu yxXét phương trình Q: y  py  qy e Pn [x ]. Có thể tìm một nghiệm riêngcủa phương trình này ở dạng:+ yˆ Q [ x ] nếu α không phải là nghiệm của PTĐT+ yˆ xQ n [ x ] nếu α là nghiệm đơn của PTĐT2ˆyxQ n [ x ] nếu α là nghiệm kép của PTĐT.+Trong đó Q n [x ] là đa thức với các hệ số chưa biết và có thể xác định chúngbằng phương pháp hệ số bất định.nTrường hợp 2:ƒ[x] =e x  Pn [ x ] cos x  Pm [ x ] sin  x  [ sin  0]+ Nếu α ± i không phải là nghiệm của PTĐT thì nghiệm riêng có thể tìm ở dạng:yˆ e  Q1 [ x ] cosx  R 1 [ x ] sin x x+ Nếu   i[l = maxlà nghiệm của PTĐT thì nghiệm riêng có thể tìm m, nở dạng:ˆy xe x  Q1 [ x ] cos x  R 1 [ x ] sin  x l = max[ m, nTHE·ENDCảmơncôlắngnghe!vàcácbạnđã