Shortlink: //wp.me/P8gtr-MY
1. Định nghĩa:
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng:
[1] [hay ]
trong đó p[x], q[x] là những hàm số liên tục, cho trước.
Nếu q[x] ≡ 0, thì [1] được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.
Nếu q[x] ≠0, thì [1] được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.
2. Cách giải:
2.1 Cách 1: Phương pháp thừa số tích phân:
Nhân 2 vế của [1] với thừa số
Ta được:
[*]
ta chú ý vế trái của phương trình sẽ thấy biểu thức ở vế trái chính là đạo hàm của tích số . Vậy ta viết lại phương trình [*] như sau:
Lấy tích phân hai vế ta được:
.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình [1] có dạng:
Lưu ý: hàm p[x] là hệ số của y trong trường hợp hệ số của y’ bằng 1.
Ví dụ: Giải phương trình
Nhân 2 vế của phương trình với thừa số .
Ta đươc:
Hay:
Lấy tích phân 2 vế ta được:
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:
2.2 Cách 2: Phương pháp Bernoulli [pp tìm nghiệm dưới dạng tích]
Từ cách thứ nhất, ta nhận thấy nghiệm của phương trình có dạng tích của hai hàm số. Vì vậy, ta sẽ tìm nghiệm của phương trình dưới dạng tích:
Ta có:
Thế vào phương trình ta có:
Hay: [*]
Phương trình [*] có tới 4 thông số chưa biết là u, v, u’ , v’ nên không thể giải tìm u, v bất kỳ. Để tìm u, v thỏa mãn phương trình [*], ta cần chọn u, v sao cho triệt tiêu đi 1 hàm chưa biết.
Muốn vậy, ta chọn u[x] sao cho [**]
Ta dễ dàng tìm được hàm u[x] thỏa [**] vì [**] chính là phương trình tách biến. Khi đó:
Chọn C = 1 ta có:
Như vậy ta tìm được hàm u[x] nên từ [*] ta sẽ có:
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình [1] là:
2.3 Cách 3: Phương pháp Larrange [pp biến thiên hằng số]
Từ cách 2 ta thấy nghiệm phương trình có dạng với u[x] là nghiệm phương trình [**] – đây là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1.
Do vậy, giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 ta tìm được:
Mà công thức nghiệm tổng quát của phương trình [1] lại là: chỉ sai khác so với u[x] ở chỗ thế hằng số C bằng hàm cần tìm v[x].
Do vậy, ta chỉ cần tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, sau đó thay hằng số C bằng hàm cần tìm v[x] sẽ giải được bài toán. Vậy:
Bước 1: giải phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1 liên kết với phương trình [1]:
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng:
Bước 2: nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất [1] có dạng:
Ta có:
Thế vào phương trình ta có:
Suy ra: . Từ đó tìm được v[x].
Nhận xét:
Trong 3 cách thì cách thứ 3 là cách mà ta không phải nhớ công thức như cách 1 và cách 2. Ngoài ra ở cách 3, trong bước 2 khi thế vào phương trình để tìm hàm v[x], ta luôn luôn khử được những gì liên quan đến v[x] và chỉ còn lại v'[x]. Do đó, nếu khi thế vào mà ta không triệt tiêu được v[x] thì nghĩa là hoặc ta thế sai, hoặc ở bước 1 ta đã giải sai. Điều này sẽ giúp các bạn dễ dàng kiểm tra các bước giải của mình và kịp thời phát hiện sai sót.
Video liên quan
Shortlink: //wp.me/P8gtr-MY
1. Định nghĩa:
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng:
[1] [hay ]
trong đó p[x], q[x] là những hàm số liên tục, cho trước.
Nếu q[x] ≡ 0, thì [1] được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.
Nếu q[x] ≠0, thì [1] được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.
2. Cách giải:
2.1 Cách 1: Phương pháp thừa số tích phân:
Nhân 2 vế của [1] với thừa số
Ta được:
[*]
ta chú ý vế trái của phương trình sẽ thấy biểu thức ở vế trái chính là đạo hàm của tích số . Vậy ta viết lại phương trình [*] như sau:
Lấy tích phân hai vế ta được:
.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình [1] có dạng:
Lưu ý: hàm p[x] là hệ số của y trong trường hợp hệ số của y’ bằng 1.
Ví dụ: Giải phương trình
Nhân 2 vế của phương trình với thừa số .
Ta đươc:
Hay:
Lấy tích phân 2 vế ta được:
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:
2.2 Cách 2: Phương pháp Bernoulli [pp tìm nghiệm dưới dạng tích]
Từ cách thứ nhất, ta nhận thấy nghiệm của phương trình có dạng tích của hai hàm số. Vì vậy, ta sẽ tìm nghiệm của phương trình dưới dạng tích:
Ta có:
Thế vào phương trình ta có:
Hay: [*]
Phương trình [*] có tới 4 thông số chưa biết là u, v, u’ , v’ nên không thể giải tìm u, v bất kỳ. Để tìm u, v thỏa mãn phương trình [*], ta cần chọn u, v sao cho triệt tiêu đi 1 hàm chưa biết.
Muốn vậy, ta chọn u[x] sao cho [**]
Ta dễ dàng tìm được hàm u[x] thỏa [**] vì [**] chính là phương trình tách biến. Khi đó:
Chọn C = 1 ta có:
Như vậy ta tìm được hàm u[x] nên từ [*] ta sẽ có:
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình [1] là:
2.3 Cách 3: Phương pháp Larrange [pp biến thiên hằng số]
Từ cách 2 ta thấy nghiệm phương trình có dạng với u[x] là nghiệm phương trình [**] – đây là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1.
Do vậy, giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 ta tìm được:
Mà công thức nghiệm tổng quát của phương trình [1] lại là: chỉ sai khác so với u[x] ở chỗ thế hằng số C bằng hàm cần tìm v[x].
Do vậy, ta chỉ cần tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, sau đó thay hằng số C bằng hàm cần tìm v[x] sẽ giải được bài toán. Vậy:
Bước 1: giải phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1 liên kết với phương trình [1]:
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng:
Bước 2: nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất [1] có dạng:
Ta có:
Thế vào phương trình ta có:
Suy ra: . Từ đó tìm được v[x].
Nhận xét:
Trong 3 cách thì cách thứ 3 là cách mà ta không phải nhớ công thức như cách 1 và cách 2. Ngoài ra ở cách 3, trong bước 2 khi thế vào phương trình để tìm hàm v[x], ta luôn luôn khử được những gì liên quan đến v[x] và chỉ còn lại v'[x]. Do đó, nếu khi thế vào mà ta không triệt tiêu được v[x] thì nghĩa là hoặc ta thế sai, hoặc ở bước 1 ta đã giải sai. Điều này sẽ giúp các bạn dễ dàng kiểm tra các bước giải của mình và kịp thời phát hiện sai sót.