40 đề thi Học sinh giỏi Toán 9 dùng cho giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi và học sinh luyện tập trước kì thi học sinh giỏi
ĐỀ SỐ 1
Thời gian: 150 phút
Câu I. [ 4 điểm]. Giải phương trình:
Câu II. [4 điểm]
1. Cho biểu thức:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.
2. Cho a > 0; b > 0; c > 0
Chứng minh bất đẳng thức:
Câu III. [4,5 điểm]
1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và số đó lớn hơn tổng các bình phương các chữ số của nó là 1.
2. Cho phương trình: x2 [m + 1]x + 2m - 3 = 0 [1]
+ Chứng minh rằng phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
+ Tìm giá trị của m để phương trình [1] có nghiệm bằng 3.
Câu IV [4 điểm]
Cho hình thang cân ABCD, [AB//CD; AB > CD]. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. Góc ACD = 600; gọi E; F; M lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng IA; ID; BC.
1. Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp được trong một đường tròn.
2. Chứng minh tam giác MEF là tam giác đều.
Câu V. [3,5 điểm]
Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có các mặt là tam giác đều. Gọi O là trung điểm của đường cao SH của hình chóp.
Chứng minh rằng: góc AOB = BOC = COA = 900
ĐỀ SỐ 2
Bài 1 [2 điểm]:
1. Cho biểu thức:
a. Rút gọn biểu thức.
b. Cho
. Tìm Max A.
2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
Từ đó tính tổng:
Bài 2 [2 điểm]:
Phân tích thành nhân tử: A = [xy + yz + zx] [x + y+ z] xyz
Bài 3 [2 điểm]:
1. Tìm giá trị của a để phương trình sau chỉ có 1 nghiệm:
2. Giả sử x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình: x2 + 2kx + 4 = 4
Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức:
Bài 4: [2 điểm] Cho hệ phương trình:
1. Giải hệ phương trình với m = 1
2. Tìm m để hệ đã cho có nghiệm.
Bài 5 [2 điểm]:
1. Giải phương trình:
2. Giải hệ phương trình:
Bài 6 [2 điểm]:
Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng [d] có phương trình: 2kx + [k 1]y = 2 [k là tham số]
1. Tìm k để đường thẳng [d] song song với đường thẳng y = 3.x? Khi đó hãy tính góc tạo bởi [d] và tia Ox.
2. Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng [d] là lớn nhất?
Bài 7 [2 điểm]: Giả sử x, y là các số dương thoả mãn đẳng thức: x + y = 10
Tìm giá trị của x và y để biểu thức: P = [x4 + 1][y4 + 1] đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.
Bài 8 [2 điểm]:
Cho Δ ABC với BC = 5cm, AC= 6cm; AB = 7cm. Gọi O là giao điểm 3 đường phân giác, G là trọng tâm của tam giác. Tính độ dài đoạn OG.
Bài 9 [2 điểm]
Gọi M là một điểm bất kì trên đường thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMCD, BMEF.
a. Chứng minh rằng AE vuông góc với BC.
b. Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh rằng ba điểm D, H, F thẳng hàng.
c. Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn luôn đi qua một điểm cố định khi M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định.
d. Tìm tập hợp các trung điểm K của đoạn nối tâm hai hình vuông khi M chuyển động trên đường thẳng AB cố định.
Bài 10 [2 điểm]:
Cho xOy khác góc bẹt và một điểm M thuộc miền trong của góc. Dựng đường thẳng qua M và cắt hai cạnh của góc thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất.
Download tài liệu để xem chi tiết.