Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì song song với nhau

1. Kiến thức cần nhớ

a] Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệt.

- Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng.

- Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng.

- Hai đường thẳng gọi là cắt nhau nếu chúng có một điểm chung.

- Hai đường thẳng được gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung.

b] Hai đường thẳng song song

Tính chất của hai đường thẳng song song:

- Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

- Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Định lý [về giao tuyến của ba mặt phẳng]: 

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó [hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó].

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng song song

Phương pháp:

Sử dụng một trong các cách sau:

+ Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng [như tính chất đường trung bình, định lí Talet,…]

+ Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với một đường thẳng thứ ba.

+ Áp dụng định lí về giao tuyến song song.         

Dạng 2: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy trong không gian

a] Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Phương pháp:

Chứng minh ba điểm đó là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó, chúng nằm trên đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng nên thẳng hàng, nghĩa là:

- Tìm \[d = \left[ P \right] \cap \left[ Q \right]\].

- Chứng minh \[d\] đi qua ba điểm \[A,B,C\] hoặc đường thẳng \[AB\] đi qua \[C\].

b] Chứng minh ba đường thẳng đồng quy

Phương pháp:

Cách 1: Chứng minh đường thẳng thứ nhất đi qua giao điểm của hai đường thẳng còn lại.

Cách 2: Chứng minh ba đường thẳng đôi một cắt nhau và chúng đôi một nằm trong ba mặt phẳng phân biệt.

- Bước 1: Xác định \[\left\{ \begin{array}{l}{d_1},{d_2} \subset \left[ P \right],{d_1} \cap {d_2} = {I_1}\\{d_2},{d_3} \subset \left[ Q \right],{d_2} \cap {d_3} = {I_2}\\{d_3},{d_1} \subset \left[ R \right],{d_3} \cap {d_1} = {I_3}\end{array} \right.\] với \[\left[ P \right],\left[ Q \right],\left[ R \right]\] phân biệt.

- Bước 2: Kết luận \[{d_1},{d_2},{d_3}\] đồng quy tại \[I \equiv {I_1} \equiv {I_2} \equiv {I_3}\]

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng [nếu có] sẽ:

C. Song song với hai đường thẳng đó.

B. Song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

C. Trùng với một trong hai đường thẳng đó.

D. Cắt một trong hai đường thẳng đó.

Hướng dẫn

Đáp án B.

I. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng:

1. Các tính chất thừa nhận của đường thẳng và mặt phẳng:

Để nghiên cứu hình học không gian, từ quan sát thực tiễn và kinh nghiệm người ta thừa nhận một số tính chất sau:

Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.

Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Tính chất 3: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng [ không đồng phẳng ].

Tính chất 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.

Tính chất 5: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.                                                                                                                                                                                                                                            2. Cách xác định một mặt phẳng:

Dựa vào các tính chất thừa nhận trên, ta có ba cách xác định một mặt phẳng sau đây:

Cách 1: Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Cách 2: Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.

Cách 3: Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian:

Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Khi đó có thể xảy ra một trong hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa a và b. Khi đó ta nói a và b đồng phẳng.

a]     a và b có điểm chung duy nhất M. Ta nói a và b cắt nhau tại M và kí hiệu là : aÇb={M}

     b]    a và b không có điểm chung. Ta nói a và b song song với nhau và kí hiệu là a // b.

     c]     a trùng b, kí hiệu là a º b.

       Như vậy: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.

Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa a và b. Khi đó ta nói a và b chéo nhau hay a chéo với b.                              

4. Hai đường thẳng song song:

Dựa vào tiên đề Euclide về đường thẳng song song trong mặt phẳng, ta có được các tính chất sau:

            Tính chất 1: Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

           Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng:

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó [ hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

5. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng:

           Định nghĩa: Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

           Định lý 1: Nếu đường thẳng a không nằm trên mặt phẳng a và song song với một đường thẳng nào đó nằm trên a thì a song song với a.

          Định lý 2: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng a thì mọi mặt phẳng b chứa a mà cắt a thì cắt theo giao tuyến song song với a.

  Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng.

 Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.

          Định lý 3: Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b.

6. Điều kiện để hai mặt phẳng song song:

Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là song song nếu chúng không có điểm chung.

Định lý : Nếu mặt phẳng [P] chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng [Q] thì [P] song song với [Q].

Tính chất 1: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

Hệ quả 1: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng [Q] thì có duy nhất một mặt phẳng [P] chứa a và song song với [Q].Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

           Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng [P] và [Q] song song thì mọi mặt phẳng [R] đã cắt [P] thì phải cắt [Q] và các giao tuyến của chúng song song.

7. Định lý Thalès trong không gian:                                                                                                                                          Định lý Thalès: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn ra trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Tức là:    AB/A'B'=BC/B'C'=CA/C'A'
Định lý Thalès đảo: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và a’. Lấy các điểm phân biệt A, B, C trên a và A’, B’, C’ trên a’ sao cho:Khi đó, ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song song với một mặt phẳng.