Minimum variance portfolio là gì

Trong thực tế, các nhà đầu tư thường chọn giải pháp đầu tư vào nhiều loại tài sản rủi ro khác nhau cùng một lúc, hay còn gọi là danh mục đầu tư [Portfolio], nhằm giảm thiểu việc mất giá của một loại tài sản nào đó & hợp lý hóa mức độ lợi nhuận của danh mục đầu tư. Khi đó, nhà đầu tư cần phải chú ý đến sự tác động tương hữu qua lại các loại tài sản rủi ro trong danh mục đầu tư.

Thông thường thì nhà đầu từ sẽ đầu tư vào nhiều loại tài sản rủi ro có tác động ngược chiều với nhau để vẫn có thể duy trì được lợi nhuận khi nền kinh tế có biến động, chẳng hạn như đầu tư vào cổ phiếu của các hãng “McDonald, KFC & Pizza Hut” cùng một lúc. Khi đó, giả sử có biến cố “H5N1” xảy ra thì mọi người sẽ chuyển sang ăn Pizza cho an toàn, và ngược lại doanh thu “gà rán” sẽ tăng vọt khi xảy ra sự cố “bò điên”. Như vậy nhà đầu tư vẫn đảm bảo được lợi nhuận của mình thông qua việc đa dạng hóa danh mục đầu tư của mình một cách hợp lý.

Ngoài ra, để chọn ra loại cổ phiếu nào cần phải có trong danh mục đầu tư, người ta thường áp dụng “Phương pháp tiếp cận từ trên xuống” có thể tóm lược qua các bước sau:

- Xem xét toàn bộ các khu vực Châu Mỹ, Âu, Úc, Á, Phi một cách tổng quát rồi đưa quyết định đầu tư vào khu vực có hiệu quả nhất [chẳng hạn như Châu Úc].

- Dựa vào đó chọn ra Quốc gia có nền kinh tế tăng trưởng nhất trong khu vực [dĩ nhiên là nước Úc].

- Sau đó, lựa Ngành công nghiệp đang phát triển nhất trong quốc gia đó [ngành khai thác khoáng sản chẳng hạn].

- Từ đó chọn ra Cổ phiếu của công ty kinh doanh có hiệu quả nhất trong ngành này để đầu tư.

Hoặc đơn giản hơn, nhà đầu tư cũng có thể chọn đầu tư vào cổ phiếu của công ty phát triển nhất mà không cần phải quan tâm đến các bước trên trong trường hợp không thể tiếp cận được nhiều thông tin. Cách này nghe có vẻ “phi logic” quá nhưng cũng được khá nhiều nhà đầu tư áp dụng.

Thị trường chứng khoán là nơi “gì cũng mua – bán” được cả, từ các loại cổ phiếu, trái phiếu, hợp đồng ngoại thương có giao hàng hóa đến những quyền mua, quyền bán ngoại hối hoặc hàng hóa. Để tham gia mua bán trên thị trường, nhà đầu tư phải mở “tài khoản chứng khoán” mà Ngân hàng hoặc Trung tâm giao dịch chứng khoán có thể hạch toán Lãi – Lỗ vào tài khoản này một trực tiếp tùy thuộc vào tình hình biến động cổ phiếu của nhà đầu tư trên thị trường.

Thông qua tài khoản chứng khoán này, nhà đầu tư được phép thực hiện các giao dịch có giá trị tối đa 20 lần số tiền thực tế đã đặt vào tùy thuộc vào uy tín của nhà đầu tư [khi nạp vào “tài khoản chứng khoán” số tiền $10 thì nhà đầu tư được phép mua bán tối đa lên đến $200].

Tuy nhiên, tài khoản này cũng được quy định phải duy trì số dư tối thiểu, nếu thấp hơn mức này thì Ngân hàng sẽ thông báo nhà đầu tư bỏ thêm tiền vào tài khoản. Nếu nhà đầu tư không “đổ thêm tiền” vào, Ngân hàng sẽ đóng tài khoản này lại sau khi khấu trừ các chi phí hành chính phát sinh và nhà đầu tư phải mở “tài khoản chứng khoán” khác nếu muốn tiếp tục tham gia vào thị trường chứng khoán.

Chính nhờ cơ chế rất linh hoạt này mà nhiều “môi giới chứng khoán – broker” đã kiếm được khá nhiều tiền một cách dễ dàng ngay trong ngày khi thị trường chứng khoán “sôi động”, chỉ có nhà đầu tư là người trực tiếp bỏ tiền túi ra để mua niềm vui “giây lát” khi cổ phiếu tăng giá, nhưng lại phải gánh chịu nỗi đau “thực tế” trong trường hợp cổ phiếu xuống giá.

Từ đó nảy sinh ra trường phái đầu tư ngắn hoặc trung hạn [dưới 3 năm] vì theo số liệu thống kê thì cứ sau khoảng 8 năm là nền kinh tế sẽ có 1 đợt khủng hoảng xảy ra ở đâu đó trên thế giới này.

Ngược lại, cũng có trường phái đầu tư theo lối dài hạn mà dẫn đầu là nhà tỉ phú Warren Buffett nổi tiếng chuyên mua cổ phiếu các công ty mạnh & nắm giữ trong vòng 20 đến 30 năm mới bán ra. Bằng cách này sẽ tránh được những biến động của thị trường trong ngắn hạn, nhưng ông cũng khuyên là “chỉ nên đầu tư bằng tiền của mình”, không nên đi vay mượn để đầu tư dài hạn. Điều này vẫn luôn là “cảnh báo” rất có giá trị cho những ai theo đuổi việc đầu tư vào các “tài sản rủi ro” làm sự nghiệp cho mình.

Bài tiểu luận sau đây dựa trên số liệu thống kê lợi nhuận của các loại cổ phiếu, trái phiếu, gửi tiết kiệm, cổ phiếu quốc tế & cổ phiếu đảm bảo bằng bất động sản trên thị trường chứng khoán Úc trong vòng 20 năm [từ 1983 đến 2003], từ đó định ra tỷ lệ hợp lý cho danh mục đầu tư để có được lợi nhuận cao nhất với mức rủi ro chấp nhận được. Vậy mà loay hoay giải một hồi vẫn không tìm ra được Portfolio tối ưu này mới chết không chứ!!!

============================================================================

1. INTRODUCTION

Investments are the crucial activities in which both the investors and fund’s users would be getting the benefits from their speculations. Due to reach the investment’s target, the investor must consider which asset is more advantage than others. An intelligent investor always wonders about how much probability on surpassing or missing the profits would happen in the future to his/her portfolio.

This paper attempts to analyze the historical outcomes of several given assets on the Australia’s market during the period of time from 1983 to 2003, as well as review some theory relating to risk and return of portfolio.

2. THE HISTORICAL RECORD AND BASIC CALCULATING

The following Table 2.1 illustrates the different returns on certain categories of assets for the period of 1983 to 2003:

Table 2.1 The Historical Outcomes of Assets from 1983 to 2003

According to the assumption that the expected return is equal to the average annual stock return from 1983 to 2003, we could define the expected return value for each asset by the formula below:

And the formula for historical variance is defined by the equation follows [Bodie, Z Ariff, M da Silva Rosa, R Kane, A & Marcus, AJ 2007, p. 137]:

Thus, the standard deviation is identified by the square root of the variance [Bodie et al 2007, p. 169]:

The two rows data at bottom of Table 3.1 indicates the average amount and the standard deviation of each asset which are calculated from the historical figures of the assets from 1983 to 2003.

Now, we could calculate the covariance and correlation coefficient of each pair of assets by the following formulae [Bodie et al 2007, p. 171]:

The results of these calculations are demonstrated in the Tables 2.2 and 2.3 as following:

Table 2.3 The Correlation Coefficient Matrix of Assets

3. THE RESTRICTED AND UNRESTRICTED EFFICIENT FRONTIER

Until now, we could build an equally weighted portfolio of the given five assets with its components defined by formulae as follows [Bodie et al 2007, p. 238]:

- The portfolio variance:

Table 3.1 The Border-multiplied covariance matrix for the equally weighted portfolio and portfolio variance

So far, we should exploit the Microsoft Excel Solver function to calculate points with its weights in portfolio contributing to the efficient frontier. The following Tables 3.2 and 3.3 exhibit the resulting variance of efficient portfolios with and without short sales.

Table 3.2 The Restricted Frontier [Without Short Sales]

Table 3.3 The Unrestricted Frontier [With Short Sales]

Based on the calculating data, we could graph the restricted and unrestricted efficient frontier of portfolio as well as the individual of five assets as exposed in the Figure 3.1 as following:

Figure 3.1 The Individual of Five Assets, Equally Weighted Portfolio, Efficient Frontier and CAL

In addition, we also could find the optimal portfolio by combining this risky portfolio with the risk-free asset such as the bank-accepted bill. Based on the statistic of the Reserve Bank of Australia, the average interest of 30-day bank-accepted bill from 1983 to 2003 was 5.60% [Reserve Bank of Australia 2008] and we would identify the reward-to-variability ratio or the slope of the CAL mixing bank-accepted bill and the efficient frontier by the formula as follows [Bodie et al 2007, p. 231]:

From the information of the efficient frontier, we might locate the tangency portfolio with getting both the maximum feasible reward-to-variability ratio and the minimum-variance portfolio. Consequently, such tangency portfolio would have the expected return of 10.5% and standard deviation of 4.6% as illustrated in the Figure 3.1 above. For that reason, a risk-free asset could increase the return of a given risky.

At the tangency point, the weights of portfolios combined with five assets have the proportions as shown in the Figures 3.2 below:

Figure 3.2 The Weights of Tangency Portfolio of Five Assets

Depending on the investor’s degree of risk aversion, we just restructure the proportions of the optimal complete portfolio by using the following formula [Bodie et al 2007, p. 232]:

Because the standard deviation value is 4.6% so the investors are completely confident enough to invest on the portfolio without any notice on risk-free asset.

Moreover, by observing the outcome of weights in portfolio, we easily find that the restricted frontier is not feasible when the mean return of portfolio is going less than 4.4% or more than 22.6% because, if we invest all the money on Australian shares or cash, we will get the highest return of 22.6% or the lowest return of 4.4% in certainty. Thus, the weights in restricted portfolios are always positive values. Otherwise, the unrestricted frontier allows us to build portfolios with short sales and the weights in portfolios can get negative numbers as results. The efficient frontier with short sales lies upper the one without short sales.

According to the concept of the Markowitz Portfolio Theory, we always construct the efficient frontier to locate a portfolio of risky assets with higher return than each individual. Otherwise, the CAPM supposes that the market portfolio is on the efficient frontier; the risky portfolio return is equal the risk-free rate and the beta coefficient with market risk premium.

From the graph in Figure 3.1, we notice that Australian bonds and cash have the lowest risks and returns in respectively sequence; the Australian shares have the highest return while the International shares have the highest risk among five assets.

Besides, the equally weighted portfolio helps to reduce the highest standard deviation of Australian shares from 22.6% down to 10.8% and also increase the lowest return of cash from 9.3% up to 10.8% at the same time.

On the other hand, we could maximize the expected return of the equally weighted portfolio by moving it upon the restricted efficient frontier in case of no short sales, or continuously push it up to the unrestricted efficient frontier in case of short sales.

4. ADDITIONS ON INVESTMENT ANALYSIS

i. Share or ordinary share is an equity security representing ownership in corporation. The holders of shares are annually received dividends from the corporation depending on their proration. In case of owning an adequate proportion, they also have influenced directly to the board of directors of corporation through voting. If the corporation unfortunately goes to bankruptcy, however, the shareholders would be given back their money after the priority payment of creditors and taxations.

Based on share’s characteristics, the risks of missing financial targets of the shareholders are low earning per share, low growing return rate and even totally loss in circumstances of bankruptcy. [Investopedia 2008]

ii. Bond is a debt security representing relationship between issuer and holder. The holder would receive the coupon payment and principal at maturity. Corporations or governments are usually issued bonds for the long-term loans with maturities greater than ten years.

Thus, the typical risks of bonds are market interest rate increasing higher than coupon rate and issuer under bankrupt. [Moffatt, M 2008]

iii. Cash or money market security is a short-term debt obligation. Money market trades in financial instruments with short period of time typically up to thirteen months such as Treasure bill, commercial paper and banker’s acceptances.

Due to short-term maturity, the risks of cash or money market security are almost inconsiderable, but they still have potential risks in situations of interest adjustments from the Central Banks. [InvestorWords 2008]

iv. International share is an equity security issuing upon the foreign corporation outside the investor’s country. The expected return of international share is regularly depending on the GDP, legalities and business regulations of the home-country.

Therefore, the investors of international shares often struggle with the generic risk factors as the exchange rate and country-specific risks. [Bodie et al 2007, pp. 912-919]

v. Property trust allows a person or trustee to hold property on behalf of a number of investors. Through the trustee, the trust owns the legality of property; investors hold units in the trust and have beneficial ownership of the property.

The general risks of property trust are the prestige of fiduciaries, conflicts of interest and misleading information in a prospectus. [Mitchell, P 2002]

b. The Arithmetic Mean and Geometric Mean

The difference between arithmetic and geometric average returns generally are definite as following [Bodie et al 2007, p. 866]:

where �� 2 is the variance of returns.

Therefore, the AM and GM measures of the average annual yield on each of asset classes during the period 1983-2003 are illustrated in the Table 4.1 below:

Table 4.1 The AM and GM Measures of Average Annual Returns

Consequently, the geometric mean is always lower than the arithmetic mean except for the circumstances of no variance. Thus, the geometric mean is the best measure for evaluating the historical performance because of the appearance of standard deviation factor.

c. The Main Problem of Using the Efficient Portfolio

By the theory, if we only try to using the efficient frontier for selection purposes we would encounter with the risk of missing the expected return because the risky assets of portfolio is actually not diversified enough to diverse all the unsystematic risks and the efficient portfolio is omitted all the affects of beta factors of market portfolio. In addition, the efficient frontier still has the variance that could make missing the expected return.

d. The Affect of Foreign Exchange Risk

For international investments, the investors have to convert their money into the foreign currency, so the movement of exchange rate would influence directly on the bona fide return, especially in circumstances of the devaluation of the related foreign currency.

On the other hand, the investors could not forecast which currency would be more dominated accuracy than other and how much foreign currency return would receive in the future. Therefore, hedging exchange rate risk seems easier said than done, or it is worse to do such an uncertain thing like this. [Bodie et al 2007, pp. 912-919]

e. The Benefits During A World Financial Crisis

The various markets will have different risks, so the investors diverse on the international shares for reducing the systematic risk. But during a world financial crisis, all the main financial markets will usually go to the same direction and become highly correlated. The investors can still get benefits of international diversification depending on which industry they had invested in. However, if the world financial crisis is happened to the financial institutions, it might make the global disaster surging over the world. In such situation, all the investors could tolerate terrible losses whether they invested in the international shares or not.

f. The Phenomenon of Home Bias

The majority of investors are expected to have possession of the international shares. But, the investor portfolios naturally contain more weights of shares from home country than foreign security. This phenomenon is called as the home bias.

The most importance of home bias is that whole investors focus to invest on some home-country securities. Such strategies of investment could cause a great tension on the local economic situation. According to John Owen, the investment analyst at MLC, all investors should have a diversification of portfolio with the outside home-country securities to avoid the risk of bearing local economy. [Owen, J 2008]

5. CONCLUSION

In summary, the most important routine of investors is properly identified the reliable portfolio for their investment. The Markowitz model is a brilliant innovation of portfolio selection. Furthermore, the discreet investors should use the optimal portfolio with combination of risky portfolio and risk-free asset to secure their investment. Last but not least, the investors should regularly revise their portfolio to adapt quickly with any changing of market, especially in the situation of financial crisis occurring.

Page 2