Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là một hình thoi tâm \[I\] cạnh \[a\] và có góc \[A\] bằng \[60^{0},\] cạnh \[SC=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\] và \[SC\] vuông góc với mặt phẳng \[[ABCD]\].
- Chứng minh mặt phẳng \[[SBD]\] vuông góc với mặt phẳng \[[SAC]\].
- Trong tam giác \[SCA\] kẻ \[IK\] vuông góc với \[SA\] tại \[K\]. Hãy tính độ dài \[IK\]
- Chứng minh \[\widehat{BKD}=90^{0}\] và từ đó suy ra mặt phẳng \[[SAB]\] vuông góc với mặt phẳng \[[SAD]\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
- Chứng minh tam giác \[SCA\] và \[IKA\] đồng dạng, từ đó suy ra tỉ số các cạnh và tính \[IK\].
- Chứng minh tam giác \[BKD\] có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy.
Xác định góc giữa hai mặt phẳng \[[SAB]\] và \[[SAD]\] và chứng minh góc đó bằng \[90^0\].
Quảng cáo
Lời giải chi tiết
- \[SC \bot \left[ {ABCD} \right] \Rightarrow SC \bot BD\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]\]
\[ABCD\] là hình thoi nên \[AC\bot BD\,\,\,\,\,\left[ 2 \right]\]
Từ [1] và [2] suy ra \[BD ⊥ [SAC]\].
Mà \[BD\subset [SBD]\Rightarrow [SBD] ⊥ [SAC]\].
- Xét tam giác \[ABD\] có \[AB=AD\] và góc \[A=60^0\] nên là tam giác đều.
Do đó \[AI=\dfrac {a\sqrt 3 } 2\Rightarrow AC = 2AI = a\sqrt 3 \]
\[SC \bot \left[ {ABCD} \right] \Rightarrow SC \bot CA\] nên tam giác \[SAC\] vuông tại \[C\].
Xét tam giác vuông \[SAC\] có: \[SA=\sqrt {A{C^2} + S{C^2}} = \sqrt {3{a^2} + \dfrac {6{a^2}} 4} \] \[=\dfrac{3a}{\sqrt{2}}.\]
Xét \[\Delta SCA\] và \[\Delta IKA\] có:
\[\left\{ \begin{array}{l} A\, \text {chung}\\ \widehat {SCA} = \widehat {IKA} = {90^0} \end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow \] \[\Delta SCA \backsim \Delta IKA\,\,\left[ {g.g} \right]\]
\[\Rightarrow \dfrac{IK}{SC}=\dfrac{AI}{AS}\] \[\Rightarrow IK=\dfrac{AI.SC}{AS}=\dfrac{a}{2}.\]
- Dễ thấy \[\Delta ABD\] đều nên \[BD = a \] \[\Rightarrow IK = \dfrac{1}{2}BD\] nên \[\Delta BKD\] vuông tại \[K\].
Vậy \[\widehat{BKD}=90^{0}.\]
Ta có: \[BD \bot \left[ {SAC} \right]\,\,\left[ {cmt} \right] \Rightarrow BD \bot SA\]
\[\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SA\\IK \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left[ {BKD} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA \bot BK\\SA \bot DK\end{array} \right.\]
Ta có:
\[\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \left[ {SAB} \right] \cap \left[ {SAD} \right] = SA\\ \left[ {SAB} \right] \supset BK \bot SA\\ \left[ {SAD} \right] \supset DK \bot SA \end{array} \right.\\ \end{array}\]
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng \[[SAB]\] và \[[SAD]\] bằng góc giữa hai đường thẳng \[BK\] và \[DK\] là góc \[\widehat{BKD}=90^{0}.\] [đpcm]
Loigiaihay.com
- Góc giữa hai mặt phẳng
- Bài 10 trang 114 SGK Hình học 11 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a...
- Bài 9 trang 114 SGK Hình học 11 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC...
- Bài 8 trang 114 SGK Hình học 11 Giải bài 8 trang 114 SGK Hình học 11. Tính độ dài đường chéo của một hình lập phương cạnh a. Bài 7 trang 114 SGK Hình học 11
Giải bài 7 trang 114 SGK Hình học 11. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = b, CC' = c...