Đề bài
Câu 1. Bất phương trình \[ax + b > 0\] vô nghiệm khi:
A. \[\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b \ne 0\end{array} \right.\]
B. \[\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b \le 0\end{array} \right.\]
C. \[\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\b > 0\end{array} \right.\]
D. \[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\b = 0\end{array} \right.\]
Câu 2. Đường thẳng \[\left[ d \right]\] có phương trình \[ax + by + c = 0\] với \[{a^2} + {b^2} > 0\]. Ta xét \[4\] mệnh đề sau:
- \[\vec u\left[ {b;\,\, - a} \right]\] là véc tơ chỉ phương của \[\left[ d \right]\]
- \[b = 0\] đường thẳng \[\left[ d \right]\] song song với trục tung
- \[\vec n\left[ {ka;\,\,kb} \right],\forall k \in \mathbb{R}\] là véc tơ pháp tuyến của \[\left[ d \right]\]
- Nếu \[b \ne 0\] đường thẳng \[\left[ d \right]\] co hệ số góc \[k = \dfrac{{ - a}}{b}\]
Số mệnh đề sai trong các mệnh đề trên:
A. \[4\] B. \[2\] C. \[1\] D. \[3\]
Câu 3. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \[M\left[ {3;\,\,4} \right]\] và có véc tơ chỉ phương \[\vec u\left[ {1;\,\, - 2} \right]\] là
A. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = - 2 + 4t\end{array} \right.\]
B. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 4 - 2t\end{array} \right.\]
C. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 4t\\y = 1 - 2t\end{array} \right.\]
D. \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + t\\y = - 4 - 2t\end{array} \right.\]
Câu 4. Cho bảng xét dấu:
Hàm số có bảng xét dấu như trên là:
A. \[f\left[ x \right] = 16 - 8x\]B. \[f\left[ x \right] = x - 2\]
C. \[f\left[ x \right] = - x - 2\]D. \[f\left[ x \right] = 2 - 4x\]
Câu 5. Nếu \[a > b > 0,\,\,c > d > 0\] thì bất đẳng thức nào sau đây sai?
A. \[ac > bd\]
B. \[a - c > b - d\]
C. \[{a^2} > {b^2}\]
D. \[ac > bc\]
Câu 6. Tam giác \[ABC\] có \[a = 4,\,\,b = 6,\,\,{m_c} = 4\]. Tính độ dài cạnh \[c\].
A. \[2\sqrt {10} \]
B. \[\dfrac{{\sqrt {10} }}{2}\]
C. \[3\sqrt {10} \]
D. \[\sqrt {10} \]
Câu 7. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \[f\left[ x \right] = \dfrac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{x^2} + 3x + 3}}\] lần lượt là \[M\] và \[m\] thì:
A. \[M + m = \dfrac{4}{3}\] B. \[M.m = \dfrac{3}{4}\]
C. \[\dfrac{M}{m} = \dfrac{4}{3}\] D. \[M - m = \dfrac{4}{3}\]
Câu 8. Cho tam thức \[f\left[ x \right] = a{x^2} + bx + c\] với \[a < 0\] và \[\Delta = 0\]. Phát biểu nào sau đây đúng?
A. \[f\left[ x \right] < 0,\,\,\forall x \in R\backslash \left\{ { - \dfrac{b}{{2a}}} \right\}\]
B. \[f\left[ x \right] < 0,\,\,\forall x \in R\]
C. \[f\left[ x \right] < 0,\,\,\forall x \in R\backslash \left\{ { - \dfrac{b}{a}} \right\}\]
D. \[f\left[ x \right] < 0\] khi \[x \in \left[ { - \dfrac{b}{{2a}};\,\, + \infty } \right]\] và \[f\left[ x \right] > 0\] khi \[x \in \left[ { - \infty ;\,\, - \dfrac{b}{{2a}}} \right]\]
Câu 9. Nếu \[m > 0,\,\,n < 0\] thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
A. \[ - m > - n\] B. \[mn > 0\] C. \[m > - n\] D. \[n - m < 0\]
Câu 10. Góc giữa hai đường thẳng \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 + t\end{array} \right.\] và \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = - 2 + t\end{array} \right.\] là:
A. \[{45^0}\] B. \[{30^0}\] C. \[{135^0}\] D. \[{23^0}13'\]
Câu 11. Nếu \[0 < a < 1\] thì bất đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. \[{a^3} > {a^2}\] B. \[a > \dfrac{1}{a}\]
C. \[\dfrac{1}{a} > \sqrt a \] D. \[a > \sqrt a \]
Câu 12. Tập xác định của hàm số \[y = \sqrt {5 - 4x - {x^2}} \] là
A. \[\left[ { - \infty ;\,\, - 5} \right] \cup \left[ {1;\,\, + \infty } \right]\]
B. \[\left[ { - \infty ;\,\, - \dfrac{1}{5}} \right] \cup \left[ {1;\,\, + \infty } \right]\]
C. \[\left[ { - 5;\,\,1} \right]\]
D. \[\left[ { - \dfrac{1}{5};\,\,1} \right]\]
Câu 13. Cho tam giác \[ABC\] có \[{b^2} = {a^2} + {c^2} + ac\]. Số đo của góc \[B\] là:
A. \[{150^0}\] B. \[{30^0}\] C. \[{60^0}\] D. \[{120^0}\]
Câu 14. Tam giác \[ABC\] có \[AB = 12,\,\,AC = 8\], góc \[A\] bằng \[{30^0}\]. Tính diện tích tam giác đó.
A. \[24\sqrt 2 \] B. \[48\] C. \[24\sqrt 3 \] D. \[24\]
Câu 15. Số nghiệm nguyên của bất phương trình \[\dfrac{{{x^4} - {x^2}}}{{{x^2} + 5x + 6}} \le 0\]?
A. \[2\] B. \[3\] C. \[1\] D. \[0\]
Câu 16. Miền nghiệm của bất phương trình nào sau đây được biểu diễn bởi nửa mặt phẳng không bị gạch trong hình vẽ bên [kể cả bờ là đường thẳng]?
A. \[x + 2y + 2 \le 0\]
B. \[2x + y + 2 \le 0\]
C. \[2x + y \ge - 2\]
D. \[2x + y - 2 \ge 0\]
Câu 17. Đường thẳng đi qua hai điểm \[A\left[ {3;\,\,4} \right],\,\,B\left[ { - 1;\,\,2} \right]\] là:
A. \[2x + y - 5 = 0\]
B. \[x + 2y - 5 = 0\]
C. \[x - 2y + 5 = 0\]
D. \[x - 2y - 1 = 0\]
Câu 18. Tìm tham số \[m\] để hàm số \[y = \sqrt {\left[ {m + 1} \right]{x^2} - 2\left[ {m + 1} \right] + 4} \] có tập xác định là \[D = \mathbb{R}\]?
A. \[ - 1 \le m \le 3\] B. \[m \ge - 1\]
C. \[ - 1 < m < 3\] D. \[ - 1 < m \le 3\]
Câu 19. Cho hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}3x - 6 < 0\\mx + m - 1 \ge 0\end{array} \right.\]. Giá trị của \[m\] để hệ bất phương trình vô nghiệm là:
A. \[0 \le m \le \dfrac{1}{3}\] B. Kết quả khác
C. \[m > 0\]D. \[m \le \dfrac{1}{3}\]
Câu 20. Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 1 > 0\\5x - y + 4 < 0\end{array} \right.\]?
A. \[\left[ { - 1;\,\,4} \right]\] B. \[\left[ { - 2;\,\,4} \right]\]
C. \[\left[ {1;\,\,0} \right]\] D. \[\left[ { - 3;\,\,4} \right]\]
Câu 21. Tổng các nghiệm của bất phương trình \[x\left[ {3 - x} \right] \ge x\left[ {7 - x} \right] - 6\left[ {x - 1} \right]\] trên đoạn \[\left[ { - 6;\,\,6} \right]\].
A. \[9\] B. \[18\] C. \[12\] D. \[15\]
Câu 22. Phương trình \[2m{x^2} - 2mx + 3 = 0\] vô nghiệm khi và chỉ khi
A. \[0 < m < 6\] B. \[\left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > 6\end{array} \right.\]
C. \[0 \le m \le 3\] D. \[0 \le m < 6\]
Câu 23. Tập nghiệm của bất phương trình \[\dfrac{{{x^2} + 2x - 8}}{{\left| {x + 1} \right|}} < 0\] là:
A. \[\left[ { - 2;\,\, - 1} \right] \cup \left[ { - 1;\,\,1} \right]\]
B. \[\left[ { - 4;\,\, - 1} \right] \cup \left[ { - 1;\,\,2} \right]\]
C. \[\left[ { - 4;\,\, - 1} \right]\]
D. \[\left[ { - \infty ;\,\, - 4} \right] \cup \left[ { - 1;\,\,2} \right]\]
Câu 24. Cho tam giác \[ABC\] có \[A\left[ { - 1;\,\,6} \right],\,\,B\left[ {0;\,\,2} \right],\,\,C\left[ {1;\,\,5} \right]\]. Gọi \[\alpha \] là góc giữa hai đường cao \[AH\] và \[BK\], khi đó:
A. \[\cos \alpha = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\]
B. \[\cos \alpha = \dfrac{7}{{5\sqrt 2 }}\]
C. \[\cos \alpha = \dfrac{{ - 1}}{{5\sqrt 2 }}\]
D. \[\cos \alpha = \dfrac{1}{{5\sqrt 2 }}\]
Câu 25. Cặp bất phương trình nào sau đây không tương đương?
A. \[{x^2}\left[ {x + 2} \right] < 0\] và \[x + 2 < 0\]
B. \[2{x^2}\left[ {x + 1} \right] \le 0\] và \[x + 1 \le 0\]
C. \[\sqrt {x - 1} \ge x\] và \[\left[ {2x - 1} \right]\sqrt {x - 1} \ge x\left[ {2x - 1} \right]\]
D. \[2x + 1 + \dfrac{1}{{x - 2}} < \dfrac{1}{{x - 2}}\]và \[2x + 1 < 0\]
Câu 26. Cho hai điểm \[A\left[ {1;\,\, - 2} \right],\,\,B\left[ {3;\,\,6} \right]\]. Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng \[AB\] là:
A. \[2x + 8y + 5 = 0\]
B. \[x + 4y + 10 = 0\]
C. \[x + 4y - 10 = 0\]
D. \[2x + 8y - 5 = 0\]
Câu 27. Số nghiệm nguyên âm của bất phương trình \[\dfrac{{\left| {{x^2} - 8x + 12} \right|}}{{\sqrt {5 - x} }} > \dfrac{{{x^2} - 8x + 12}}{{\sqrt {5 - x} }}\] là
A. \[3\] B. vô số C. \[2\] D. \[0\]
Câu 28. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \[m\] để bất phương trình \[\left[ {{m^2} - 4} \right]{x^2} + \left[ {m - 2} \right]x + 1 \le 0\] có nghiệm với mọi \[x \in R\].
A. Đáp án khác
B. \[m \in \left[ { - \infty ;\,\,2} \right] \cup \left[ {\dfrac{{10}}{3};\,\, + \infty } \right]\]
C. \[m \in \left[ { - \dfrac{{10}}{3};\,\, - 2} \right]\]
D. \[m \in \left[ { - \infty ;\,\,2} \right] \cup \left[ {\dfrac{{10}}{3};\,\, + \infty } \right]\]
Câu 29. Tìm tất cả các gía trị thực của tham số \[m\] sao cho phương trình \[\left[ {m - 1} \right]{x^2} - 2\left[ {m + 1} \right]x + m + 4 = 0\] có hai nghiệm dương phân biệt.
A. \[m < - 4\] hoặc \[1 < m < 5\]
B. \[m < - 1\] hoặc \[ - 4 < m < 5\]
C. \[1 < m < 5\]
D. \[ - 4 < m < 5\]
Câu 30. Tập hợp các giá trị của \[m\] để \[3\] đường thẳng sau đồng quy: \[2x - y + 1 = 0\], \[x - y + 2 = 0\], \[\left[ {1 + {m^2}} \right]x - y + 2m - 1 = 0\] là
A. \[\left\{ {1;\,\, - 3} \right\}\] B. \[\left\{ 1 \right\}\]
C. \[\left\{ { - 3} \right\}\] D. Đáp án khác
Lời giải chi tiết
|
1. B. |
2. B |
3. B |
4. A |
5. B |
6. A |
|
7. D |
8. A |
9. D |
10. A |
11. C |
12. C |
|
13. D |
14. D |
15. B |
16. B |
17. C |
18. D |
|
19. A |
20. C |
21. B |
22. D |
23. B |
24. D |
|
25. B |
26. C |
27. D |
28. A |
29. A |
30. A |
Câu 1 [TH] - Bất phương trình
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp biện luận bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Cách giải:
Nếu \[a = 0\] và \[b \le 0\] thì bất phương trình vô nghiệm.
Chọn B.
Câu 2 [TH] - Phương trình đường thẳng
Phương pháp:
Xác định VTCP, VTPT, hệ só góc của đường thẳng \[d\].
Cách giải:
Đường thẳng \[\left[ d \right]\] có phương trình \[ax + by + c = 0\] với \[{a^2} + {b^2} > 0\], ta có:
+] VTPT \[{\vec n_d} = \left[ {a;\,\,b} \right] \Rightarrow \vec u = \left[ {b;\,\, - a} \right]\,\] là VTCP của \[\left[ d \right]\]
\[ \Rightarrow \] Mệnh đề \[1\] đúng
+] Nếu \[b = 0\] đường thẳng \[\left[ d \right]\] trở thành \[ax + c = 0 \Rightarrow x = - \dfrac{c}{a}\]
\[ \Rightarrow \] \[x = - \dfrac{c}{a}\] là đường thẳng song song hoặc trùng với trục tung.
\[ \Rightarrow \] Mệnh đề \[2\] sai
+] VTPT \[{\vec n_d} = \left[ {a;\,\,b} \right]\]\[ \Rightarrow k{\vec n_d} = \left[ {ka;\,\,kb} \right]\,,\]\[\forall k \ne 0\]cũng là VTPT của \[\left[ d \right]\]
\[ \Rightarrow \] Mệnh đề \[3\] sai
+] Nếu \[b \ne 0\] ta có: \[ax + by + c = 0\]\[ \Rightarrow y = - \dfrac{a}{b}x - \dfrac{c}{b}\]
\[ \Rightarrow \] Đường thẳng \[\left[ d \right]\] có hệ số góc là \[k - \dfrac{a}{b}\].
\[ \Rightarrow \] Mệnh đề \[4\] đúng
Vậy có \[2\] mệnh đề sai.
Chọn B.
Câu 3 [TH] - Phương trình đường thẳng
Phương pháp:
Phương trình tham số của đường thẳng \[\Delta \] đi qua \[M\left[ {{x_0};\,\,{y_0}} \right]\] nhận \[\vec u = \left[ {a;\,\,b} \right]\] là VTCP có dạng
\[\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\,\,\left[ {t \in \mathbb{R}} \right]\]
Cách giải:
Phương trình tham số đường thẳng đi qua \[M\left[ {3;\,\,4} \right]\] và có véc tơ chỉ phương \[\vec u\left[ {1;\,\, - 2} \right]\] là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 4 - 2t\end{array} \right.\]
Chọn B.
Câu 4 [TH] - Dấu của nhị thức bậc nhất
Phương pháp:
Hàm số \[f\left[ x \right] = ax + b\] có giá trị cùng dấu với hệ số \[a\] khi \[x\] lấy giá trị trong khoảng \[\left[ { - \dfrac{b}{a};\,\, + \infty } \right]\], trái dấu với hệ số \[a\] khi \[x\] lấy giá trị trong khoảng \[\left[ { - \infty ;\,\, - \dfrac{b}{a}} \right]\].
Cách giải:
Đặt \[f\left[ x \right] = ax + b\] là hàm số cần tìm.
Quan sát bảng xét dấu ta thấy, hàm số có nghiệm là \[x = 2\].
\[ \Rightarrow \] Đáp án C và đáp án D sai.
Trong khoảng \[\left[ {2;\,\, + \infty } \right]\], hàm số \[f\left[ x \right] = ax + b\] mang dấu \[ - \] nên \[a < 0\].
\[ \Rightarrow \] Đáp án A đúng và đáp án B sai.
Chọn A.
Câu 5 [TH] - Bất đẳng thức
Phương pháp:
Sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức để chứng minh.
Cách giải:
+] \[\left\{ \begin{array}{l}a > b > 0\\c > d > 0\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow ac > bd\]
\[ \Rightarrow \] Đáp án A đúng.
+] Chọn \[a = 5,\,\,b = 4,\,\,c = 3,\,\,d = 1\] thỏa mãn \[a > b > 0,\,\,c > d > 0\].
\[\left\{ \begin{array}{l}5 > 4 > 0\\3 > 1 > 0\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow 5 - 3 > 4 - 1\] [vô lý]
\[ \Rightarrow \] Đáp án B sai.
+] \[a > b > 0 \Rightarrow {a^2} > {b^2}\] [vì hai vế của bất đẳng thức luôn dương nên khi bình phương hai vế thì dấu của bất đẳng thức không đổi chiều]
\[ \Rightarrow \] Đáp án C đúng.
+] \[\left\{ \begin{array}{l}a > b > 0\\c > 0\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow ac > bc\] [nhân cả hai vế của bất đẳng thức \[a > b\] với một số \[c > 0\] thì dấu của BĐT không đổi chiều]
\[ \Rightarrow \] Đáp án D đúng.
Chọn B.
Câu 6 [TH] - Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác: \[m_c^2 = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}\]
Cách giải:
Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác \[ABC\] ta có:
\[m_c^2 = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4m_c^2 = 2\left[ {{a^2} + {b^2}} \right] - {c^2}\\ \Leftrightarrow {c^2} = 2\left[ {{a^2} + {b^2}} \right] - 4m_c^2\end{array}\]
Mà \[a = 4,\,\,b = 6,\,\,{m_c} = 4\] nên ta có: \[{c^2} = 2\left[ {{4^2} + {6^2}} \right] - {4.4^2} = 40\]
\[ \Rightarrow c = \sqrt {40} = 2\sqrt {10} \]
Chọn A.
Câu 7 [TH] - Phương trình quy về phương trình bậc hai
Phương pháp:
Đặt: \[\dfrac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{x^2} + 3x + 3}} = A\] \[\left[ 1 \right]\]
Biến đổi \[\left[ 1 \right]\]về dạng phương trình bậc hai và tìm điều kiện để \[\left[ 1 \right]\] có nghiệm. Từ đó tìm được \[M\] và \[m\].
Cách giải:
Đặt \[f\left[ x \right] = \dfrac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{x^2} + 3x + 3}} = A\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 5 = A\left[ {{x^2} + 3x + 3} \right]\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 5 - A\left[ {{x^2} + 3x + 3} \right] = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 5 - A{x^2} - 3Ax - 3A = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {1 - A} \right]{x^2} + \left[ {4 - 3A} \right]x + 5 - 3A = 0\,\,\,\,\left[ 1 \right]\end{array}\]
Phương trình \[\left[ 1 \right]\] có nghiệm \[ \Leftrightarrow \Delta \ge 0\]
\[\begin{array}{l}\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {\left[ {4 - 3A} \right]^2} \\- 4.\left[ {1 - A} \right]\left[ {5 - 3A} \right] \ge 0\\\, \Leftrightarrow \left[ {16 - 24A + 9{A^2}} \right]\\ - \left[ {4 - 4A} \right]\left[ {5 - 3A} \right] \ge 0\\\, \Leftrightarrow \left[ {16 - 24A + 9{A^2}} \right]\\ - \left[ {20 - 12A - 20A + 12{A^2}} \right] \ge 0\\\, \Leftrightarrow 16 - 24A + 9{A^2} - 20 \\+ 12A + 20A - 12{A^2} \ge 0\\\, \Leftrightarrow - 3{A^2} + 8A - 4 \ge 0\\\, \Leftrightarrow 3{A^2} - 8A + 4 \le 0\\\, \Leftrightarrow \left[ {A - 2} \right]\left[ {3A - 2} \right] \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{3} \le A \le 2\end{array}\]
+] \[A \ge \dfrac{2}{3} \Rightarrow Min\,A = \dfrac{2}{3}\]
\[A = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{x^2} + 3x + 3}} = \dfrac{2}{3}\]\[ \Leftrightarrow 3{x^2} + 12x + 15 = 2{x^2} + 6x + 6\]\[ \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 9 = 0\]\[ \Leftrightarrow x = - 3\]
+] \[A \le 2 \Rightarrow Max\,A = 2\]
\[A = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{x^2} + 3x + 3}} = 2\]\[ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 5 = 2{x^2} + 6x + 6\]\[ \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 = 0\]\[ \Leftrightarrow x = - 1\]
Vậy \[Min\,f\left[ x \right] = Min\,A = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow x = - 1\]; \[Max\,f\left[ x \right] = Max\,A = 2 \Leftrightarrow x = - 1\]
Khi đó, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}M = 2\\m = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\]
\[M + m = \dfrac{8}{3}\]\[ \Rightarrow \] Đáp án \[A\] sai.
\[Mm = \dfrac{4}{3}\]\[ \Rightarrow \] Đáp án \[B\] sai.
\[\dfrac{M}{m} = 3\]\[ \Rightarrow \] Đáp án \[C\] sai.
\[M - m = \dfrac{4}{3}\]\[ \Rightarrow \] Đáp án\[D\] đúng.
Chọn D.
Câu 8 [TH] - Dấu của tam thức bậc hai
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp biện luận phương trình bậc hai [Nếu \[\Delta = 0\] thì \[f\left[ x \right]\] có nghiệm kép].
Đưa \[f\left[ x \right]\] về dạng \[f\left[ x \right] = a{M^2}\left[ x \right]\] để xét dấu của \[f\left[ x \right]\].
Cách giải:
Vì \[\Delta = 0\] nên \[f\left[ x \right]\] có nghiệm kép \[x = - \dfrac{b}{{2a}}\].
\[ \Rightarrow f\left[ x \right] = a{\left[ {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right]^2}\] mà \[a < 0\] nên \[f\left[ x \right] = a{\left[ {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right]^2} \le 0\]
Dấu \[ = \] xảy ra \[ \Leftrightarrow x = - \dfrac{b}{{2a}}\].
Do đó, \[f\left[ x \right] < 0,\,\,\forall x \in R\backslash \left\{ { - \dfrac{b}{{2a}}} \right\}\]
Chọn A.
Câu 9 [TH] - Bất đẳng thức
Phương pháp:
Sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức để chứng minh.
Cách giải:
Nếu \[m > 0,\,\,n < 0\] thì \[m > n\].
+] Xét đáp án A:
\[ - m > - n \Leftrightarrow m < n\] [trái với đề bài]
\[ \Rightarrow \] Đáp án \[A\]sai.
+] Xét đáp án B:
\[mn > 0 \Rightarrow \]\[m\] và \[n\] cùng dấu [trái với đề bài]
\[ \Rightarrow \] Đáp án \[B\] sai.
+] Xét đáp án C:
Chọn \[m = 3 > 0,\,\,n = - 4 < 0 \Rightarrow 3 > - \left[ { - 4} \right]\] hay \[3 > 4\] [vô lý]
\[ \Rightarrow \] Đáp án \[C\] sai.
+] Xét đáp án D:
\[n - m < 0 \Leftrightarrow m > n\] [thỏa mãn đề bài]
\[ \Rightarrow \] Đáp án \[D\] đúng.
Chọn D.
Câu 10 [TH] - Tích vô hướng của hai vectơ
Phương pháp:
Công thức tính góc giữa hai đường thẳng: \[\cos \varphi = \left| {\cos \left[ {{{\vec n}_1},\,\,{{\vec n}_2}} \right]} \right| = \dfrac{{\left| {{{\vec n}_1}.\,{{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right|.\left| {{{\vec n}_2}} \right|}}\] hoặc \[\cos \varphi = \left| {\cos \left[ {{{\vec u}_1},\,\,{{\vec u}_2}} \right]} \right| = \dfrac{{\left| {{{\vec u}_1}.\,{{\vec u}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_1}} \right|.\left| {{{\vec u}_2}} \right|}}\]
Cách giải:
\[\left[ {{d_1}} \right]:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 + t\end{array} \right. \Rightarrow {\vec u_{{d_1}}} = \left[ {2;\,\,1} \right]\]
\[\left[ {{d_2}} \right]:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = - 2 + t\end{array} \right. \Rightarrow {\vec u_{{d_2}}} = \left[ { - 3;\,\,1} \right]\]
\[{\rm{cos}}\left[ {{d_1},{d_2}} \right] = {\rm{cos}}\left[ {{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec u}_{{d_2}}}} \right]\]\[ = \dfrac{{\left| {{{\vec u}_{{d_1}}}.{{\vec u}_{{d_2}}}} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_{{d_1}}}} \right|.\left| {{{\vec u}_{{d_2}}}} \right|}}\]\[ = \dfrac{{\left| {2.\left[ { - 3} \right] + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} .\sqrt {{{\left[ { - 3} \right]}^2} + {1^2}} }}\]\[ = \dfrac{5}{{\sqrt 5 .\sqrt {10} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\]
\[ \Rightarrow \left[ {{d_1},\,\,{d_2}} \right] = {45^0}\]
Vậy góc giữa hai đường thẳng trên bằng \[{45^0}\].
Chọn A.
Câu 11 [TH] - Bất đẳng thức
Phương pháp:
Sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức để chứn minh.
Cách giải:
+] Xét đáp án A:
\[{a^3} > {a^2} \Leftrightarrow {a^3} - {a^2} > 0\\ \Leftrightarrow {a^2}\left[ {a - 1} \right] > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} > 0\\a - 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow a > 1\] [trái với đề bài]
\[ \Rightarrow \] Đáp án \[A\]sai.
+] Xét đáp án B:
\[a > \dfrac{1}{a}\]\[ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2} - 1}}{a} > 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 1 > 0\\a > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 1 < 0\\a < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a > 1\\a < - 1\end{array} \right.\\a > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} - 1 < a < 1\\a < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a > 1\\ - 1 < a < 0\end{array} \right.\] [trái với đề bài]
\[ \Rightarrow \] Đáp án \[B\]sai.
+] Xét đáp án C:
\[\dfrac{1}{a} > \sqrt a \] \[ \Leftrightarrow \dfrac{{1 - a\sqrt a }}{a} > 0\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\a\sqrt a < 1\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\{\left[ {a\sqrt a } \right]^2} < {1^2}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\{a^3} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\a < 1\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow 0 < a < 1\] [thỏa mãn đề bài]
\[ \Rightarrow \] Đáp án \[C\] đúng.
+] Xét đáp án D:
\[a > \sqrt a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\{a^2} > a\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\a\left[ {a - 1} \right] > 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\a > 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\a < 1\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}a > 1\\a < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow a > 1\] [trái với đề bài]
\[ \Rightarrow \] Đáp án \[D\] sai.
Chọn C.
Câu 12 [TH] - Tập xác định của hàm số
Phương pháp:
Hàm số \[y = \sqrt {f\left[ x \right]} \] xác định khi và chỉ khi \[f\left[ x \right] \ge 0\].
Cách giải:
Hàm số \[y = \sqrt {5 - 4x - {x^2}} \] xác định khi và chỉ khi \[5 - 4x - {x^2} \ge 0\].
Ta có bảng xét dấu:
Vậy tập xác định của hàm số \[y = \sqrt {5 - 4x - {x^2}} \] là \[\left[ { - 5;\,\,1} \right]\].
Chọn C.
Câu 13 [TH] - Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
Phương pháp:
Sử dụng hệ quả của định lý cô-sin trong tam giác: \[\cos B = \dfrac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{2ac}}\]
Cách giải:
Theo đề bài, ta có:
\[{b^2} = {a^2} + {c^2} + ac\] \[ \Rightarrow {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2.\left[ { - \dfrac{1}{2}} \right].ac\]\[ \Rightarrow - \dfrac{1}{2} = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\]
Mà \[\cos B = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\]\[ \Rightarrow \cos B = - \dfrac{1}{2}\]\[ \Rightarrow \angle B = {120^0}\].
Chọn D.
Câu 14 [TH] - Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
Phương pháp:
Sử dụng công thức: \[S = \dfrac{1}{2}ab\sin C\]\[ = \dfrac{1}{2}bc\sin A\]\[ = \dfrac{1}{2}ca\sin B\]
Cách giải:
Áp dụng công thức tính diện tích, ta có:
\[{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin A\]\[ = \dfrac{1}{2}.12.8.\sin {30^0} = 24\]
Chọn D.
Câu 15 [TH] - Bất phương trình
Phương pháp:
Giải bất phương trình để tìm tập nghiệm và tìm các giá trị nguyên nằm trong tập nghiệm đó.
Cách giải:
ĐKXĐ: \[{x^2} + 5x + 6 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 2\\x \ne - 3\end{array} \right.\]
\[\dfrac{{{x^4} - {x^2}}}{{{x^2} + 5x + 6}} \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}\left[ {{x^2} - 1} \right]}}{{{x^2} + 5x + 6}} \le 0\]
Ta có bảng xét dấu:
\[ \Rightarrow x \in \left[ { - 3;\,\, - 2} \right] \cup \left[ { - 1;\,\,1} \right]\]
Mà \[x \in \mathbb{Z}\] nên \[x \in \left\{ { - 1;\,\,0;\,\,1} \right\}\].
Vậy phương trình có \[3\] nghiệm nguyên.
Chọn B.
Câu 16 [TH] - Phương trình đường thẳng
Phương pháp:
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \[\left[ { - 1;\,\,0} \right]\] và \[\left[ {0;\,\, - 2} \right]\]. Từ đó, dựa vào đồ thị để kết luận bất phương trình.
Cách giải:
Đường thẳng đi qua hai điểm \[\left[ { - 1;\,\,0} \right]\] và \[\left[ {0;\,\, - 2} \right]\] \[ \Rightarrow VTCP\,{\mathop u\limits^ \to _d} = \left[ {1; - 2} \right]\] \[ \Rightarrow VTPT\,\,{\vec n_d} = \left[ {2;\,\,1} \right]\]
\[ \Rightarrow \,\,\]Miền nghiệm không bị gạch biểu diễn BPT \[2x + y + 2 \le 0\]
Chọn B.
Câu 17 [TH] - Phương trình đường thẳng
Phương pháp:
Tìm VTCP và suy ra VTPT của \[AB\].
Phương trình đường thẳng \[AB\] đi qua \[A\left[ {{x_0};\,\,{y_0}} \right]\], nhận \[\vec n = \left[ {a;\,\,b} \right]\] có dạng: \[a\left[ {x - {x_0}} \right] + b\left[ {y - {y_0}} \right] = 0\]
Cách giải:
\[A\left[ {3;\,\,4} \right],\,\,B\left[ { - 1;\,\,2} \right]\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left[ { - 4;\, - 2} \right] = \left[ {2;1} \right]\]\[ \Rightarrow {\vec n_{AB}} = \left[ {1;\,\, - 2} \right]\]
Phương trình đường thẳng \[AB\] đi qua \[A\left[ {3;\,\,4} \right]\] có VTPT \[{\vec n_{AB}} = \left[ {1;\,\, - 2} \right]\] là :
\[\begin{array}{l}1.\left[ {x - 3} \right] - 2.\left[ {y - 4} \right] = 0\\ \Leftrightarrow x - 3 - 2y + 8 = 0\\ \Leftrightarrow x - 2y + 5 = 0\end{array}\]
Chọn C.
Câu 18 [TH] - Tập xác định của hàm số
Phương pháp:
Hàm số \[y = \sqrt {f\left[ x \right]} \] có tập xác định là \[D = R\] khi và chỉ khi \[f\left[ x \right] \ge 0\] với \[\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\].
Cách giải:
Hàm số \[y = \sqrt {\left[ {m + 1} \right]{x^2} - 2\left[ {m + 1} \right]x + 4} \] có tập xác định là \[D = \mathbb{R}\] khi và chỉ khi \[\left[ {m + 1} \right]{x^2} - 2\left[ {m + 1} \right]x + 4 \ge 0\] với mọi \[x \in \mathbb{R}\].
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 > 0\\4{\left[ {m + 1} \right]^2} - 16\left[ {m + 1} \right] \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\4{m^2} - 8m - 12 \le 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\ - 1 \le m \le 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow - 1 < m \le 3\end{array}\]
Chọn D.
Câu 19 [TH] - Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp giải và biện luận bất phương trình.
Cách giải:
\[\left\{ \begin{array}{l}3x - 6 < 0\\mx + m - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2\\mx \ge 1 - m\end{array} \right.\]
TH1: \[m = 0\]
Hệ bất phương trình trở thành \[\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\0 \ge 1\end{array} \right.\] [vô lý]
\[ \Rightarrow \] Hệ bất phương trình vô nghiệm với \[m = 0\]
TH2: \[m \ne 0\]
Hệ bất phương trình trở thành \[\left\{ \begin{array}{l}x < 2\\mx \ge 1 - m\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2\\x \ge \dfrac{{1 - m}}{m}\end{array} \right.\]
Hệ bất phương trình vô nghiệm \[ \Leftrightarrow \dfrac{{1 - m}}{m} \ge 2\]\[ \Leftrightarrow \dfrac{{1 - 3m}}{m} \ge 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 - 3m \ge 0\\m > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1 - 3m \le 0\\m < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m \le \dfrac{1}{3}\\m > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m \ge \dfrac{1}{3}\\m < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow 0 < m \le \dfrac{1}{3}\].
Kết hợp 2 trường hợp ta được: \[0 \le m \le \dfrac{1}{3}\]
Chọn A.
Câu 20 [TH] - Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn
Phương pháp:
Thay từng điểm vào hệ bất phương trình. Nếu thỏa mãn thì điểm đó thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.
Cách giải:
+] Với \[\left[ {x;\,\,y} \right] = \left[ { - 1;\,\,4} \right]\] bất phương trình trở thành \[\left\{ \begin{array}{l}2.\left[ { - 1} \right] + 3.4 - 1 > 0\\5.\left[ { - 1} \right] - 4 + 4 < 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 > 0\\ - 5 < 0\end{array} \right.\] [thỏa mãn]
\[ \Rightarrow \] Điểm \[\left[ { - 1;\,\,4} \right]\] thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 1 > 0\\5x - y + 4 < 0\end{array} \right.\]
+] Với \[\left[ {x;\,\,y} \right] = \left[ { - 2;\,\,4} \right]\] bất phương trình trở thành \[\left\{ \begin{array}{l}2.\left[ { - 2} \right] + 3.4 - 1 > 0\\5.\left[ { - 2} \right] - 4 + 4 < 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7 > 0\\ - 10 < 0\end{array} \right.\][thỏa mãn]
\[ \Rightarrow \] Điểm \[\left[ { - 2;\,\,4} \right]\] thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 1 > 0\\5x - y + 4 < 0\end{array} \right.\]
+] Với \[\left[ {x;\,\,y} \right] = \left[ {1;\,\,0} \right]\] bất phương trình trở thành \[\left\{ \begin{array}{l}2.1 + 3.0 - 1 > 0\\5.1 - 0 + 4 < 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\9 < 0\end{array} \right.\][vô lý]
\[ \Rightarrow \] Điểm \[\left[ {1;\,\,0} \right]\] không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 1 > 0\\5x - y + 4 < 0\end{array} \right.\]
+] Với \[\left[ {x;\,\,y} \right] = \left[ { - 3;\,\,4} \right]\] bất phương trình trở thành \[\left\{ \begin{array}{l}2.\left[ { - 3} \right] + 3.4 - 1 > 0\\5.\left[ { - 3} \right] - 4 + 4 < 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 > 0\\ - 15 < 0\end{array} \right.\][thỏa mãn]
\[ \Rightarrow \] Điểm \[\left[ { - 3;\,\,4} \right]\] thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 1 > 0\\5x - y + 4 < 0\end{array} \right.\]
Chọn C.
Câu 21 [TH] - Bất phương trình
Phương pháp:
Giải bất phương trình, tìm các giá trị nguyên của \[x\] là nghiệm của bất phương trình và thỏa mãn \[\left[ { - 6;\,\,6} \right]\].
Cách giải:
\[\begin{array}{l}x\left[ {3 - x} \right] \ge x\left[ {7 - x} \right] - 6\left[ {x - 1} \right]\\ \Leftrightarrow 3x - {x^2} \ge 7x - {x^2} - 6x + 6\\ \Leftrightarrow 3x - 7x + 6x - 6 \ge 0\\ \Leftrightarrow 2x - 6 \ge 0\\ \Leftrightarrow 2x \ge 6\\ \Leftrightarrow x \ge 3\end{array}\]
Kết hợp điều kiện đề bài \[x \in \left[ { - 6;\,\,6} \right]\]\[ \Rightarrow x \in \left[ {3;6} \right]\].
Tổng tất cả các giá trị nguyên của \[x\] thỏa mãn \[\left[ { - 6;\,\,6} \right]\] là: \[3 + 4 + 5 + 6 = 18\]
Chọn B.
Câu 22 [TH] - Dấu của tam thức bậc hai
Phương pháp:
Xét hai trường hợp: \[2m = 0\] và \[2m \ne 0\] và sử dụng điều kiện vô nghiệm của phương trình bậc hai \[\Delta < 0\].
Cách giải:
+] Với \[m = 0\], phương trình trở thành \[3 = 0\] [vô lý]
\[ \Rightarrow \] Phương trình \[2m{x^2} - 2mx + 3 = 0\] vô nghiệm khi \[m = 0\] \[\left[ 1 \right]\]
+] Với \[m \ne 0\]:
Phương trình \[2m{x^2} - 2mx + 3 = 0\] vô nghiệm \[ \Leftrightarrow \Delta < 0 \Leftrightarrow 4{m^2} - 24m < 0\\ \Leftrightarrow 4m\left[ {m - 6} \right] < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 6\] \[\left[ 2 \right]\]
Kết hợp \[\left[ 1 \right]\]và \[\left[ 2 \right]\]ta được: \[0 \le m < 6\]
Chọn D.
Câu 23 [TH] - Bất phương trình
Phương pháp:
Phá dấu giá trị tuyệt đối và giải bất phương trình.
Cách giải:
ĐKXĐ: \[x \ne - 1\]
TH1: \[x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1\]
\[ \Rightarrow \left| {x + 1} \right| = x + 1\]
\[\begin{array}{l}{\mathop{\rm BPT}\nolimits} \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 2x - 8}}{{x + 1}} < 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 8 < 0\\x + 1 > 0\end{array} \right.\\\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 < x < 2\\x > - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow - 1 < x < 2\end{array}\]
TH2: \[x + 1 < 0 \Leftrightarrow x < - 1\]
\[ \Rightarrow \left| {x + 1} \right| = - \left[ {x + 1} \right]\]
\[\begin{array}{l}{\mathop{\rm BPT}\nolimits} \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 2x - 8}}{{ - \left[ {x + 1} \right]}} < 0\\\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 8 < 0\\x + 1 < 0\end{array} \right.\\\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 < x < 2\\x < - 1\end{array} \right.\\\, \Leftrightarrow - 4 < x < - 1\end{array}\]
Kết hợp \[2\] trường hợp trên, tập nghiệm của bất phương trình là \[\left[ { - 4;\,\, - 1} \right] \cup \left[ { - 1;\,\,2} \right]\].
Chọn B.
Câu 24 [TH] - Tích vô hướng của hai vectơ
Phương pháp:
Xác định VTPT của \[AH\] và \[BK\].
Áp dụng công thức: \[\cos \left[ {{{\vec n}_{AH}},\,\,{{\vec n}_{BK}}} \right] = \dfrac{{\left| {{{\vec n}_{AH}}.{{\vec n}_{BK}}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_{AH}}} \right|.\left| {{{\vec n}_{BK}}} \right|}}\]
Cách giải:
\[A\left[ { - 1;\,\,6} \right],\,\,B\left[ {0;\,\,2} \right],\,\,C\left[ {1;\,\,5} \right]\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \left[ {1;\,\,3} \right],\,\,\overrightarrow {AC} = \left[ {2;\,\, - 1} \right]\]
Vì \[AH \bot BC\] nên \[\overrightarrow {BC} \] là VTPT của đường thẳng \[AH\] suy ra \[{\vec n_{AH}} = \overrightarrow {BC} = \left[ {1;\,\,3} \right]\].
Vì \[BK \bot AC\] nên \[\overrightarrow {AC} \] là VTPT của đường thẳng \[BK\] suy ra \[{\vec n_{BK}} = \overrightarrow {AC} = \left[ {2;\,\, - 1} \right]\].
\[ \Rightarrow \cos \alpha = \cos \left[ {{{\vec n}_{AH}},\,\,{{\vec n}_{BK}}} \right]\]\[ = \dfrac{{\left| {{{\vec n}_{AH}}.{{\vec n}_{BK}}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_{AH}}} \right|.\left| {{{\vec n}_{BK}}} \right|}}\]\[ = \dfrac{{\left| {1.2 + 3.\left[ { - 1} \right]} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left[ { - 1} \right]}^2}} }}\]\[ = \dfrac{1}{{\sqrt {50} }} = \dfrac{1}{{5\sqrt 2 }}\]
Chọn D.
Câu 25 [TH] - Bất phương trình
Phương pháp:
Hai bất phương trình được gọi là tương đương nếu nó có cùng tập nghiệm.
Cách giải:
*] Xét đáp án A
\[{x^2}\left[ {x + 2} \right] < 0\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\x + 2 < 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x < - 2\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow x < - 2\]
\[x + 2 < 0 \Leftrightarrow x < - 2\]
\[ \Rightarrow \] Cặp bất phương trình \[{x^2}\left[ {x + 2} \right] < 0\] và \[x + 2 < 0\] tương đương.
*] Xét đáp án B
\[2{x^2}\left[ {x + 1} \right] \le 0\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} \ge 0\\x + 1 \le 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x \le - 1\end{array} \right.\]
\[x + 1 \le 0 \Leftrightarrow x \le - 1\]
\[ \Rightarrow \] Cặp bất phương trình \[2{x^2}\left[ {x + 1} \right] \le 0\] và \[x + 1 \le 0\] không tương đương
*] Xét đáp án C:
ĐKXĐ: \[x \ge 1\]
Vì \[x \ge 1 \Leftrightarrow 2x \ge 2\]\[ \Leftrightarrow 2x - 1 \ge 1 > 0\].
Khi đó, ta có:
\[\left[ {2x - 1} \right]\sqrt {x - 1} \ge x\left[ {2x - 1} \right]\]\[ \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} \ge x\]
\[ \Rightarrow \] Cặp bất phương trình \[\sqrt {x - 1} \ge x\] và \[\left[ {2x - 1} \right]\sqrt {x - 1} \ge x\left[ {2x - 1} \right]\] tương đương
*] Xét đáp án D:
\[2x + 1 + \dfrac{1}{{x - 2}} < \dfrac{1}{{x - 2}}\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\2x + 1 < 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x < - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow x < - \dfrac{1}{2}\]
\[2x + 1 < 0 \Leftrightarrow x < - \dfrac{1}{2}\]
\[ \Rightarrow \] Cặp bất phương trình \[2x + 1 + \dfrac{1}{{x - 2}} < \dfrac{1}{{x - 2}}\]và \[2x + 1 < 0\] tương đương.
Chọn B.
Câu 26 [TH] - Phương trình đường thẳng
Phương pháp:
Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng \[AB\] đi qua trung điểm của \[AB\] và nhận \[\overrightarrow {AB} \] là VTPT.
Cách giải:
Gọi \[M\left[ {{x_M};\,\,{y_M}} \right]\] là trung điểm của \[AB\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_M} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{1 + 3}}{2}\\{y_M} = \dfrac{{ - 2 + 6}}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 2\\{y_M} = 2\end{array} \right. \Rightarrow M\left[ {2;\,\,2} \right]\end{array}\]
\[A\left[ {1;\,\, - 2} \right],\,\,B\left[ {3;\,\,6} \right] \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left[ {2;\,\,8} \right]\]
Giả sử \[d\] là đường trung trực của \[AB\].
\[ \Rightarrow \] \[d\] đi qua \[M\left[ {2;\,\,2} \right]\] nhận \[\overrightarrow {AB} = \left[ {2;\,\,8} \right]\] là VTPT.
\[ \Rightarrow \] PTTQ của \[d\] là: \[2.\left[ {x - 2} \right] + 8.\left[ {y - 2} \right] = 0\]\[ \Leftrightarrow x + 4y - 10 = 0\]
Chọn C.
Câu 27 [TH] - Bất phương trình
Phương pháp:
Tìm ĐKXĐ và áp dụng nếu \[\left| a \right| > a\] thì \[a < 0\].
Cách giải:
ĐKXĐ: \[5 - x > 0 \Leftrightarrow x < 5\]
\[\dfrac{{\left| {{x^2} - 8x + 12} \right|}}{{\sqrt {5 - x} }} > \dfrac{{{x^2} - 8x + 12}}{{\sqrt {5 - x} }}\]
\[ \Leftrightarrow \left| {{x^2} - 8x + 12} \right| > {x^2} - 8x + 12\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 12 < 0\\ \Leftrightarrow 2 < x < 6\end{array}\]
Kết hợp với ĐKXĐ suy ra bất phương trình đã cho có nghiệm \[x \in \left[ {2;\,\,5} \right]\].
Mà \[x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {3;\,\,4} \right\}\].
Vậy bất phương trình đã cho không có nghiệm nguyên âm.
Chọn D.
Câu 28 [TH] - Bất phương trình
Phương pháp:
Bất phương trình \[\left[ {{m^2} - 4} \right]{x^2} + \left[ {m - 2} \right]x + 1 \le 0\] có nghiệm với mọi \[x \in R\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\]
Cách giải:
Bất phương trình \[\left[ {{m^2} - 4} \right]{x^2} + \left[ {m - 2} \right]x + 1 \le 0\] có nghiệm với mọi \[x \in R\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\]
+] \[a < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2\]
+] \[\Delta \le 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {m - 2} \right]^2} - 4.\left[ {{m^2} - 4} \right].1 \le 0 \\\Leftrightarrow - 3{m^2} - 4m + 20 \le 0 \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le \dfrac{{ - 10}}{3}\\m \ge 2\end{array} \right.\]
Vậy không có giá trị của \[m\] để bất phương trình có nghiệm với mọi \[x \in R\].
Chọn A.
Câu 29 [VD] - Phương trình bậc hai
Phương pháp:
Phương trình bậc hai có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right.\]
Cách giải:
Phương trình \[\left[ {m - 1} \right]{x^2} - 2\left[ {m + 1} \right]x + m + 4 = 0\] có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi
\[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\\{x_1}{x_2} > 0\\{x_1} + {x_2} > 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]\\4{\left[ {m + 1} \right]^2} - 4\left[ {m - 1} \right]\left[ {m + 4} \right] > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 2 \right]\\\dfrac{{m + 4}}{{m - 1}} > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 3 \right]\\\dfrac{{m + 1}}{{m - 1}} > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 4 \right]\end{array} \right.\]
Giải \[\left[ 1 \right]\]: \[m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1\]
Giải \[\left[ 2 \right]\]:
\[\begin{array}{l}4{\left[ {m + 1} \right]^2} - 4\left[ {m - 1} \right]\left[ {m + 4} \right] > 0\\ \Leftrightarrow \left[ {4{m^2} + 8m + 4} \right] \\- \left[ {4m - 4} \right]\left[ {m + 4} \right] > 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 4 - 4{m^2} - 16m \\+ 4m + 16 > 0\\ \Leftrightarrow - 4m + 20 > 0\\ \Leftrightarrow m < 5\end{array}\]
Giải \[\left[ 3 \right]\]:
\[\dfrac{{m + 4}}{{m - 1}} > 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m + 4 > 0\\m - 1 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m + 4 < 0\\m - 1 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m > - 4\\m > 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m < - 4\\m < 1\end{array} \right.\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 4\end{array} \right.\]
Giải \[\left[ 4 \right]\]:
\[\dfrac{{m + 1}}{{m - 1}} > 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m + 1 > 0\\m - 1 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m + 1 < 0\\m - 1 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\m > 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m < - 1\\m < 1\end{array} \right.\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 1\end{array} \right.\]
Kết hợp cả \[4\] điều kiện ta được \[m < - 4\] hoặc \[1 < m < 5\].
Chọn A.
Câu 30 [TH] - Phương trình đường thẳng
Phương pháp:
\[\left[ {{d_1}} \right],\,\,\left[ {{d_2}} \right],\,\,\left[ {{d_3}} \right]\] đồng quy nếu \[\left\{ \begin{array}{l}{d_1} \cap \,{d_2} = \left\{ A \right\}\\A \in \left[ {\,{d_3}} \right]\end{array} \right.\]
[xác định giao điểm của hai đường thẳng sau đó chứng minh giao điểm đó nằm trên đường thẳng thứ ba]
Cách giải:
\[\left[ {{d_1}} \right]:\,\,2x - y + 1 = 0\], \[\left[ {{d_{^2}}} \right]:\,\,x - y + 2 = 0\], \[\left[ {{d_{^3}}} \right]:\,\,\left[ {1 + {m^2}} \right]x - y + 2m - 1 = 0\]
Gọi \[\left[ {{d_1}} \right] \cap \left[ {{d_2}} \right] = A\left[ {{x_A};\,\,{y_A}} \right]\]. Tọa độ điểm \[A\left[ {{x_A};\,\,{y_A}} \right]\] là nghiệm của hệ phương trình:
\[\begin{array}{l}\,\left\{ \begin{array}{l}2{x_A} - {y_A} + 1 = 0\\{x_A} - {y_A} + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x_A} - {y_A} = - 1\\{x_A} - {y_A} = - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 1\\{y_A} = 3\end{array} \right. \Rightarrow A\left[ {1;\,\,3} \right]\end{array}\]
Để \[\left[ {{d_1}} \right],\,\,\left[ {{d_2}} \right],\,\,\left[ {{d_3}} \right]\] đồng quy thì \[A\left[ {1;\,\,3} \right] \in \left[ {{d_3}} \right]:\left[ {1 + {m^2}} \right]x - y \]\[+ 2m - 1 = 0\].
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ {1 + {m^2}} \right].1 - 3 + 2m - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 1 + {m^2} - 3 + 2m - 1 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {m - 1} \right]\left[ {m + 3} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\m + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 3\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy \[m \in \left\{ {1;\,\, - 3} \right\}\].
Chọn A.