Đề bài
Tính diện tích của hình cánh hoa, biết \[OA = R [h.bs.8].\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Trong đường tròn \[R,\] độ dài \[l\] của một cung \[n^\circ\] được tính theo công thức: \[l=\dfrac{\pi Rn}{180}.\]
+] Diện tích hình quạt tròn bán kính \[R,\] cung \[n^\circ\] được tính theo công thức: \[S=\dfrac{\pi R^2n}{360}\] hay \[S=\dfrac{lR}{2}\]
Lời giải chi tiết
Ta có \[12\] hình viên phân có diện tích bằng nhau tạo nên cánh hoa đó.
Xét hình viên phân giới hạn bởi cung \[\overparen{BO}\] và dây căng cung đó thì cung \[\overparen{BO}\] là cung của đường tròn tâm \[A\] bán kính \[R.\]
\[OA = AB = OB = R\]
\[ \Rightarrow \Delta AOB\] đều \[ \Rightarrow \widehat {OAB} = {60^0}\]
Diện tích hình quạt \[AOB\] là:
\[S'=\displaystyle {{\pi {R^2}.60} \over {360}} = {{\pi {R^2}} \over 6}\]
Kẻ \[AI \bot BO\] tại I.
Trong tam giác vuông \[AIO\] ta có:
\[AI = AO. \sin\widehat {AOI} \]\[= R.\sin {60^0} = \displaystyle{{R\sqrt 3 } \over 2}\]
\[S_{\Delta AOB}=\displaystyle{1 \over 2}AI.AB \]\[= \displaystyle{1 \over 2}.{{R\sqrt 3 } \over 2}.R = {{{R^2}\sqrt 3 } \over 4}\]
Diện tích \[1\] hình viên phân là:
\[S_1=S'-S_{\Delta AOB}\]
\[=\displaystyle{{\pi {R^2}} \over 6} - {{{R^2}\sqrt 3 } \over 4} = {{2\pi {R^2} - 3{R^2}\sqrt 3 } \over {12}}\]
Diện tích của hình cánh hoa:
\[S = 12. S_1= 12.\displaystyle{{2\pi {R^2} - 3\displaystyle{R^2}\sqrt 3 } \over {12}}\]\[ = {R^2}\left[ {2\pi - 3\sqrt 3 } \right]\] [đơn vị diện tích]