Đề bài
Quay tam giác vuông \[ABC\]\[\left[ {\widehat A = {{90}^o}} \right]\] một vòng quanh cạnh \[AB\] là được một hình nón. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón biết \[BC=12\,cm\] và\[\widehat {ABC} = {30^o}.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng công thức:
- Diện tích xung quanh của hình nón: \[{S_{xq}} = \pi rl\].
- Thể tích hình nón:\[\displaystyle V = {1 \over 3}\pi {r^2}h\].
[\[r\] là bán kính đường tròn đáy, \[ l\] là đường sinh, \[h\] là chiều cao].
Lời giải chi tiết
Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\], ta có:
\[AB = BC.\cos B = BC.\cos {30^o} \]\[\,= 12.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 6\sqrt 3 \,\left[ {cm} \right].\]
\[AC = BC.\sin B = BC.\sin {30^o} \]\[\,= 12.\dfrac{1}{2} = 6\,\left[ {cm} \right].\]
Quay tam giác vuông \[ABC\] một vòng quanh cạnh \[AB\] ta được một hình nón có chiều cao \[AB,\] bán kính đường tròn đáy là \[AC\] và đường sinh \[BC.\]
Diện tích xung quanh của hình nón tạo thành là:
\[{S_{xq}} = \pi .AC.BC = \pi .6.12 \]\[\,= 72\pi \,\left[ {c{m^2}} \right].\]
Thể tích củahình nón tạo thành là:
\[V = \dfrac{1}{3}.\pi .A{C^2}.AB = \dfrac{1}{3}.\pi {.6^2}.6\sqrt 3 \]\[\,= 72\sqrt 3 \pi \,\left[ {c{m^3}} \right].\]