Đề bài - bài 1 trang 148 vở bài tập toán 8 tập 2

Đề bài

Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau tại \[x = - \dfrac{1}{3}\]:

\[\left[ {\dfrac{{x + 3}}{{{{\left[ {x - 3} \right]}^2}}} + \dfrac{6}{{{x^2} - 9}} - \dfrac{{x - 3}}{{{{\left[ {x + 3} \right]}^2}}}} \right]\]\[\,.\left[ {1:\left[ {\dfrac{{24{x^2}}}{{{x^4} - 81}} - \dfrac{{12}}{{{x^2} + 9}}} \right]} \right]\]

Lời giải chi tiết

Biểu thức đã cho có dạng \[M=A.B\]

Ta có:

\[\begin{array}{l}
A = \dfrac{{x + 3}}{{{{\left[ {x - 3} \right]}^2}}} + \dfrac{6}{{{x^2} - 9}} - \dfrac{{x - 3}}{{{{\left[ {x + 3} \right]}^2}}}\\
= \dfrac{{{{\left[ {x + 3} \right]}^3} - 6\left[ {{x^2} - 9} \right] - {{\left[ {x - 3} \right]}^3}}}{{{{\left[ {x - 3} \right]}^2}{{\left[ {x + 3} \right]}^2}}}\\
= \dfrac{{{x^3} + 9{x^2} + 27x + 27 - 6{x^2} + 54 - {x^3} + 9{x^2} - 27x + 27}}{{{{\left[ {x - 3} \right]}^2}{{\left[ {x + 3} \right]}^2}}}\\
= \dfrac{{24{x^2}}}{{{{\left[ {{x^2} - 9} \right]}^2}}}
\end{array}\]

\[\begin{array}{l}
B = 1:\left[ {\dfrac{{24{x^2}}}{{{x^4} - 81}} - \dfrac{{12}}{{{x^2} + 9}}} \right] \\= 1:\dfrac{{24{x^2} - 12\left[ {{x^2} - 9} \right]}}{{\left[ {{x^2} - 9} \right]\left[ {{x^2} + 9} \right]}}\\
= 1:\dfrac{{24{x^2} - 12{x^2} + 108}}{{\left[ {{x^2} - 9} \right]\left[ {{x^2} + 9} \right]}}\\
= 1:\dfrac{{12{x^2} + 108}}{{\left[ {{x^2} + 9} \right]\left[ {{x^2} - 9} \right]}}\\
= 1:\dfrac{{12\left[ {{x^2} + 9} \right]}}{{\left[ {{x^2} + 9} \right]\left[ {{x^2} - 9} \right]}}\\
= \dfrac{{{x^2} - 9}}{{12}}
\end{array}\]

Vậy \[M = A.B = \dfrac{{24{x^2}}}{{{{\left[ {{x^2} - 9} \right]}^2}}}.\dfrac{{{x^2} - 9}}{{12}}\]

\[ = \dfrac{{24{x^2}\left[ {{x^2} - 9} \right]}}{{{{\left[ {{x^2} - 9} \right]}^2}.12}} = \dfrac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 9}}\]

Tại \[x = - \dfrac{1}{3}\] thì:

\[M=\dfrac{{2{{\left[ { - \dfrac{1}{3}} \right]}^2}}}{{{{\left[ { - \dfrac{1}{3}} \right]}^2} - 9}} = \dfrac{{2.\dfrac{1}{9}}}{{\dfrac{1}{9} - 9}} = \dfrac{{\dfrac{2}{9}}}{{ - \dfrac{{80}}{9}}} \]\[\,= - \dfrac{2}{{80}}=- \dfrac{1}{{40}}\]