Đánh giá các định lý toán học

Trong khoảng chưa đầy 30 năm đầu của thế kỷ 20, Khoa học đã được chứng kiến ba chấn động lớn : Vào năm 1905 và 1915 Einstein công bố Thuyết tương đối. Năm 1926, những công trình hoàn chỉnh đầu tiên của Cơ học lượng tử ra đời, với một số nguyên lý cơ bản, được coi mở ra một con đường mới, làm biến đổi hình ảnh về Vũ trụ vốn có ở con người, một cuộc biến đổi còn triệt để hơn cả sự biến đổi mà cuộc cách mạng Copernic đã tạo ra. đặc biệt vang dội là Nguyên lý bất định do nhà vật lý người Đức W. Heisenberg trình bày trong năm 1927, cùng dịp với Đại hội Copenhague, đánh dấu sự thành lập chính thức Lý thuyết Lượng tử. Bốn năm sau, năm 1931, Nhà toán học người Áo Kurt Göđel công bố một định lý làm chấn động Thế giới Toán học, được đánh giá là kỳ lạ nhất và cũng là bí hiểm nhất trong Toán học. Định lý có nội dung như sau : Đối với các hệ thống Toán học hình thức hóa với một hệ tiên đề đủ mạnh, thì, một là, hệ thống đó không thể vừa là nhất quán, vừa là đầy đủ. Hai là, tính nhất quán của hệ tiên đề không thể được chứng minh bên trong hệ thống đó.

Khác với hai lý thuyết Vật lý vừa nêu, định lý Toán học mang tên Kurt Gödel (hay còn gọi là định lý Bất toàn) không gây ra một không khí xôn xao sâu rộng như hai thuyết Vật lý cùng thời, và do đó rất ít người biết đến. Vì sao như vậy? Theo lý giải của nhiều học giả thì trước hết là người ta cho rằng, định lý Toán học chỉ có giá trị lý thuyết nhiều hơn. Nhưng có lẽ có một lý do khác mà không ít Nhà toán học không muốn đề cao tầm quan trọng của định lý, bỡi vì nhưng hệ quả Triết học của nó làm tiêu tan niềm xác tín đầy cao ngạo của họ đối với vai trò độc tôn của Toán học nói riêng và của Khoa học nói chung.

Với định lý Bất toàn, thì dù Toán học, xưa nay, vẫn tự hào là một hệ thống lôgic nghiêm ngặt với một nền tảng vững chắc nhất, cũng phải chịu một qui luật “Có thể sai” như các Khoa học khác !

Những biến đổi cách mạng tư duy trong Vật lý học hiện đại xuất phát từ sự thật rằng, không thể hy vọng đứng bên trong Thế giới duy lý mà biết hết mọi thứ. Thế giới Tự nhiên quả thực có nhiều thứ lạ lùng hơn mọi điều mà trí tuệ duy lý của chúng ta có thể nắm bắt được.

Suy rộng định lý Gödel, ta có thể hiểu là : Bất cứ một lý thuyết nào mà con người xây dựng nên, đều chỉ phản ảnh một tình huống nhất định của nhận thức. Từ bên trong một tình huống, không thể hiểu hết mọi chuyện trong tình huống đó, chỉ khi đứng ngoài tình huống đó thì may ra mới đạt tới một bức tranh sâu rộng hơn để có thể nhận ra toàn bộ mối quan hệ tạo nên cấu trúc bên trong của nó.

Trong cuộc sống đời thường, ta thường nghe câu triết lý : “ người trong cuộc không sáng suốt bằng kẻ đứng ngoài cuộc”. Đó là một trải nghiệm xuyên thời gian của Thế thái nhân tình, nhưng lại có nguồn gốc từ bản thể của Tự nhiên như một hệ quả Triết học của định lý bất toàn.

Hoặc nói cách khác, rằng : “Anh nói cho tôi biết người bạn thân thiết nhất của anh là người như thế nào, tôi sẽ nói cho anh biết, anh là người như thế nào”. Điều đó có nghĩa là, ta không bao giờ biết đầy đủ chính ta, nếu không đặt mình từ bên ngoài để nhìn lại mình.

Nếu tham vọng của Nhà toán học vĩ đại Hilbert muốn xây dựng một nền tảng Toán học nhất quán và phi mâu thuẫn, bị Định lý Gödel làm cho sụp đổ, thì trong công cuộc phát triển Kinh tế Xã hội, ở thời điểm hiện tại, nếu chưa xác định một cách nhất quán mô hình của nền kinh tế đất nước, thì việc hoạch định những dự án, dựa trên cơ sở “tư duy duy lý”, với một tầm nhìn hàng nửa thế kỷ, là một sự lựa chọn tiềm ẩn nhiều nguy cơ mất bền vững.

Những bài học phải trả giá đắt do dự báo sai về tầm nhìn phát triển, mà nhiều Quốc gia đã nếm trải, là một thực tế không thể không ghi nhớ.

Nhiều Nhà khoa học, kể cả các Nhà vật lý, đã nhận rõ là cần vượt ra ngoài biên giới của mọi qui giản về tư duy duy lý để có thể nhận thức đầy đủ hơn về Thế giới, mà Trí tuệ không bao giờ có thể thấu hiểu hòan toàn.

Trong một bài giảng của mình vào năm 1933, Einstein nói : “Nếu anh muốn biết phương pháp mà Nhà vật lý lý thuyết đã dùng, thi tôi cho anh một lời khuyên :Đừng nghe họ nói mà hãy xét những thành tựu của họ , Bởi vì đối với một Nhà phát minh, kiến trúc của trí tưởng tượng xuất hiện một cách tự nhiên như nó phải thế, chứ không phải là sáng tạo của tư duy”. Cùng mạch suy nghĩ này, trong một bài báo Khoa học Giáo sư Toán học Phan Đình Diệu viết : “Để cho Khoa học cung cấp cho con người nhiều hiểu biết hơn về Thiên nhiên, về Vũ trụ, về cuộc sống. đã đến lúc mà Tư duy cơ giới với Tất định luận, chỉ với những phương pháp phân tích, suy luận duy lý và qui giản… không còn phù hợp nữa, mà cần được bổ sung những quan điểm tư duy mới, sử dụng những công cụ và phương pháp mới, vận dụng thêm những năng lực cảm thụ khác vốn có, trên cơ sở các quan điểm và phương pháp mới đó để cảm nhận và tìm hiểu các đối tượng nhận thức của mình. Mà đối tượng nhận thức của con người thì trước hết phải là những vấn đề của đời sống bình thường, thuộc kích cỡ con người”.

Điều thú vị là định lý Gödel, ngoài động lực thúc đẩy một cuộc cách mạng tư duy về phương pháp luận khoa học, nó còn làm nảy sinh một nghịch lý về khái niệm “Mê tín” mới : Nhiều thế hệ các nhà khoa học mải mê trên con đường đi sâu mãi vào lòng vật chất của Thế giới , bằng tư duy qui giản, cắt vụn hiện thực, rồi xem cái mẩu được cắt ra đó là chính hiện thực, bằng những lời “đại ngôn”, làm không ít các Nhà khoa học và Triết học có lương tri phải lên tiếng, coi đó là sự “kiêu căng thái quá”. Và chính nó đã gây ra một ảo tưởng. rằng ngày nay mọi vấn đề của khoa học đời thường đều đã được giải quyết. Ảo tưởng đó đã trở thành niềm xác tín mang tính thần lực, mà người đời cũng xem nó là một thứ bệnh “Mê tín”. Hóa ra nhận thức cũng có sự đối xứng : “Mê tín Thần thánh” và “Mê tín Khoa học”. Mà mê tín nào thì cũng đã từng gây ra không ít đổ vỡ và bi kịch trần gian,

Trong lúc cuộc cách mạng tư duy cuốn hút trí tuệ thời đại trên con đường tiếp cận chân lý của hiện thực bằng Chiến lược Hệ thống, thì Triết lý Giáo dục lại đi theo một tiến trình ngược lại : Sự chia nhỏ manh mún gọi là “chuyên sâu”, sự phân Ban, lao sâu vào những cuộc thử nghiệm chuyên biệt…, ngay tại cấp học gọi là Phổ thông, với ý tưởng đi tìm đỉnh cao Tri thức. Ở đây, đối tượng của giáo dục là Con người để Làm người, như một tổng thể của hiện thực, đã bị xóa mất.

Edgar Morin Nhà triết học Giáo dục đã đặt Giáo dục trước những vấn đề thách thức trong một Thế giới toàn cầu hóa, mà sự hội nhập của các Quốc gia Dân tộc, là một tất yếu, trong đó, Ông nhắc lại câu nói của Nhà văn Mỹ Eliot, như một tiếng kêu : “Minh triết đâu rồi, chỉ còn lại Tri thức ! Tri thức đâu rồi, chỉ còn lại Thông tin !“. Hình như nền Giáo dục của chúng ta đang cò ít hơn thế nữa. Nó kiến tạo những Trí thức và Thông tin bị băm vụn, dần trở thành những giáo điều ngấm vào nhận thức của hôm nay. Cuối cùng , cũng không thể không nhớ đến câu nói nổi tiếng của Nhà Giáo dục vĩ đại J. Rousseau : “Việc học tập đích thực của chúng ta là học tập về thân phận của Con người”.

Edgar Morin, đang nói đến việc học tập thân phận Con người trong một Thế giới biến đổi chưa từng có như ngày hôm nay.

Định lý Gödel ra đời, đến nửa thế kỷ sau, người ta mới thấy ý nghĩa to lớn của nó đối với Khoa học và Triết học. Từ sự hạn chế của các hệ lôgic của chính bản thân Toán học, người ta vỡ lẽ ra lý do khiếm khuyết và hạn chế trong các cấu trúc lôgic nhân tạo.

Trong công nghệ tính toán, Computer với tư cách là một hệ lôgic cả phân cứng lẫn phần mềm, nó cũng chấp nhận sống chung với sự “bất toàn” như một phần cơ thể của chính nó : Đó là sự cố Treo máy, sự cố Virus, Chương trình tối ưu, mà bất kỳ ai sử dụng computer đều được nếm trải.

Alan Turing, cha đẻ của máy tính điện tử hiện đại, với mô hình Toán học Máy Turing, từ những năm 1950, ông đã tiên đoán “Sự cố Treo máy" như một bài toán nổi tiếng mãi về sau này. Đồng thời cũng cho biết rằng, không thể khắc phục tuyệt đối bằng việc viết ra một chương trình có khả năng loại bỏ bất kỳ chủng virus nào. Gần đây nhất, G. Chaitin, Nhà Toán học thuộc IBM, đã chứng minh một hạn chế nữa, rằng không thể viết một chương trình tối ưu cho một mục tiêu định trước. Chỉ có thể viết một chương trình tốt hơn một chương trình đã có. Tất cả những hạn chế này đều có cơ sở lôgic là Định lý bất toàn Gödel.

Một vấn đề cũng có sức thu hút trí tuệ trong Thế kỷ hai mươi mốt, đó là “Trí thông minh nhân tạo”, với câu hỏi nóng bỏng nhất : “Trong tương lai, chúng ta có thể chế tạo những Robot thông minh như con người hay không ?”. John Arrow, giáo sư Đại học Sussex (London), đã lấy tư tưởng của Định lý bất toàn viết nên tác phẩm, có tiêu đề Imposibihty (Bất khả), nêu lên luận đề Giới hạn của Khoa học và Khoa học về các Giới hạn, cũng đã lấy Định lý bất toàn Gödel làm cơ sở để trả lời câu hỏi nóng bỏng trên : Bộ não con người, với tư cách là một hệ lôgic, không bao giờ hiểu biết hết chính mình, thì cũng sẽ chẳng bao giờ chế tạo được “Bộ não” thông minh giống mình. Robot được trang bị “Bộ não nhân tạo”, dù thông minh đến đâu, thì cũng chỉ có thể “suy nghĩ” dựa trên một tập hợp hữu hạn các tiên đề (chương trình). Trong khi đó não con người có thể có nhưng phát kiến bất chợt : Những cảm nhận Trực giác xuất thần không dựa theo bất kỳ một hệ thống lý thuyết nào.

“Khoa học về Giới hạn” mà Barrow nêu lên, không hạ thấp vai trò Khoa học, mà chính là để định hướng đi cho Khoa học, phát triển mà không xa rời bản chất của hiện thực. Như Nhà Vật lý Vũ trụ Stephen Hawking đã từng nói : “Khoa học Vật lý có thể hoàn thành sứ mệnh của mình mà không có câu trả lời cho một vài câu hỏi cơ bản nhất của Tự nhiên”, cũng là vì lý do hạn chế đó.

Định lý Bất toàn Gödel là một trong những Định lý vĩ đại nhất được chứng minh trong Thế kỷ XX. Nhà Toán học người Mỹ William Denton tuyên bố: “Định lý Bất toàn Gödel xếp ngang hàng với thuyết Tương đối của Einstein và nguyên lý Bất định của Heisenberg ! “